ЛОГИКА

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО  КАК ВИД АРГУМЕНТАЦИИ

                          

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                       СОДЕРЖАНИЕ.

Введение…………………………………………………………….…….…….3                                                                                             

 

Глава I. Понятие доказательства в логике………………………….……..…..4                                     

        1.1. Структура доказательства……………………………………….…...8                                                  

        1.2. Прямое и косвенное доказательство……….………………….….…9                                 

1.3. Виды косвенных  доказательств………………….…….……………11                                        

        1.4.  Опровержение……………….…………………….……………….. 13                                                                    

Глава II. Ошибки в доказательстве……………………………………………14                                                   

Глава III. Правила доказательства…………………………………………….17                                                   

Заключение……………………………………………………….……………..20                                                                                        

Список литературы…………………………………………….……………….21

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                          ВВЕДЕНИЕ. 
 

   Невозможно  переоценить значение доказательств  в нашей жизни и особенно в  науке. И, тем не менее, доказательства встречаются не так часто, как  хотелось бы. К доказательствам прибегают  все, но редко задумываются над тем, что означает «доказать», почему доказательство «доказывает», всякое ли утверждение можно доказать или опровергнуть, все ли нужно доказывать.

   Об  И. Ньютоне рассказывают, что, будучи студентом, он начал изучение геометрии, как было принято в то время, с  чтения «Геометрии» Евклида. Знакомясь с формулировками теорем, он видел, что они справедливы, и не изучал доказательства. Его удивляло, что люди затрачивают столько усилий, чтобы доказать совершенно очевидное.

   Позднее ньютон изменил свое мнение о необходимости доказательств в математике и других науках и хвалил Евклида как раз за безупречность и строгость  его доказательств.

   Наше  представление о доказательстве как особой интеллектуальной операции формируется в процессе проведения конкретных доказательств. Изучая разные области знания, мы усваиваем и относящиеся к ним доказательства. На этой основе  мы постепенно составляем – чаще всего незаметно для себя – общее интуитивное представление о доказательстве как таковом, его общей структуре, не зависящей от конкретного материала, о целях и смысле доказательства.

   Целью данной работы является изучение такого важного логического понятия как доказательство, его видов, а также выявление некоторых простых и важных способов  избежания ошибок в доказательстве; а также представляются основные правила доказательства, которые помогают правильно обосновать истинность или ложность утверждений. 
 

Глава I. Понятие доказательства в логике.

   Под доказательством в логике понимается процедура установления истинности некоторого утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых  уже известна и из которых с необходимостью вытекает первое.

   Доказательство  – это рассуждение,  обосновывающее истинность некоторого суждения  путем выведения его  из других суждений, принимаемых за истинные.¹

   Доказательство  отличается от других рассуждений и  умозаключений  тем, что его целью  является обоснование истинности доказываемого  суждения, и поэтому от суждений, из которых выводится в конечном счете доказываемое суждение, также  требуется, чтобы они были истинными.

   В доказательстве различаются тезис – утверждение, которое нужно доказать, основание (аргументы) – те положения, с помощью которых доказывается тезис, и логическая связь между аргументами и тезисом.

   Понятие доказательства всегда предполагает, таким образом,  указание посылок, на которые опирается тезис, и тех логических правил, по которым осуществляется преобразования утверждений в ходе доказательства.²

   К примеру, нужно доказать тезис «Все металлы проводят электрический  ток». Подбираем в качестве аргументов утверждения, которые являются, во-первых, истинными и из которых, логически вытекает тезис. В качестве таких утверждений можно принять, в частности, следующие: «Все вещества, имеющие в своей кристаллической решетке свободные электроны, проводят электрический ток» и «Все металлы имеют в своей кристаллической решетке свободные электроны». Строим умозаключение:

      Все вещества, имеющие  в своей кристаллической  решетке свободные   электроны, проводят  электрический ток.

Все металлы имеют в своей кристаллической решетке свободные электроны.

_______________________________________________

Все металлы проводят электрический ток.

   Данное  умозаключение является правильным (оно представляет собой категорический силлогизм), посылки его истинны; значит, умозаключение является доказательством исходного тезиса.

   Доказательство  – это правильное умозаключение  с истинными посылками. Логическую основу каждого доказательства (его  схему) составляет логический закон. ³

   Доказательство  – это всегда в определенном смысле принуждение.

   Источником  «принудительной силы» доказательств  являются логические законы мышления, лежащие в их основе. Именно данные законы, действуя независимо от воли и  желаний человека, заставляют в процессе доказательства с необходимостью принимать одни утверждения вслед за другими и отбрасывать то, что несовместимо с принятым.

   Задача  доказательства – исчерпывающе утвердить обоснованность доказываемого тезиса.

   Раз в доказательстве речь идет о полном подтверждении, связь между аргументами  и тезисом должна носить дедуктивный характер.

   По  своей форме доказательство –  дедуктивное умозаключение или  цепочка умозаключений, ведущих  от истинных посылок к доказываемому  положению.

        Обычно доказательство  протекает в очень  сокращенной форме.

        Видя чистое небо, мы заключаем: «Погода будет хорошей». Это доказательство, но до предела сжатое. Опущено общее утверждение: «Всегда, когда небо чистое, погода будет хорошей». Опущена также посылка: «Небо чистое». Оба эти утверждения очевидны, их незачем произносить вслух.

       Встретив идущего  по улице человека, мы отмечаем: «Обычный  прохожий». За  этой констатацией  опять-таки стоит  целое рассуждение.  Но оно настолько  обычное и простое,  что протекает  почти неосознанно.

   Старая  латинская пословица говорит: «Доказательства ценятся по качеству, а не по количеству». В самом деле, дедукция  из истины дает только истину. Если найдены верные аргументы и из них дедуктивно  выведено доказываемое положение, доказательство состоялось, и ничего более не требуется.

   Нередко в понятии доказательства вкладывается  более широкий смысл: под доказательством  понимается  любая процедура обоснования  истинности тезиса, включающая дедукцию, так и индуктивное рассуждение, ссылки на связь доказываемого положения  с фактами, наблюдениями. Расширительное истолкование доказательства является обычным в гуманитарных науках. Оно встречается в экспериментальных, опирающихся на наблюдения  рассуждениях.

   Как правило,  широко понимается доказательство и в обычной жизни. Для подтверждения  выдвинутой  идеи активно привлекаются факты, типичные в определенном  отношении явления. Дедукции в этом случае, конечно, нет, речь может идти только об индукции. Но, тем не менее, предлагаемое  обоснование нередко называют доказательством.⁴

   Широкое употребление понятия «доказательство»  само по себе не ведет к недоразумениям. Но только при одном условии. Нужно постоянно иметь в виду, что индуктивное обобщение, переход от частных фактов к общим заключениям, дает не достоверное, а лишь вероятное значение.

   Определение доказательства включает два центральных понятия логики: понятие «истины» и понятие «логического следования». Оба эти понятия не являются в достаточной мере ясным, и, значит, определяемое через них понятие доказательства также не может быть отнесено к ясным.

   Многие  утверждения не являются ни истинными, ни ложными, то есть лежат вне «категории истины». Оценки, нормы, советы, декларации, клятвы, обещания и т.п. не описывают  каких-то ситуаций, а указывают, какими они должны быть, в каком направлении  их нужно преобразовать.

   От  описаний требуется, чтобы они соответствовали  действительности и являлись истинными.  Удачный ответ, приказ и т.п. характеризуется  как эффективный или целесообразный, но не как истинный. Высказывание «Вода кипит» истинно, если вода действительно кипит; команда же «Вскипятите воду!» может быть целесообразной, но не имеет отношения к истине. Очевидно, что оперируя выражениями,  не имеющими истинностного значения, можно и нужно быть и логичным и доказательным. Встает, таким образом, вопрос о существенном расширении понятия доказательства, определяемого в терминах истины. Им должны охватываться не только описания, но и утверждения  типа оценок или норм. Задача переопределения доказательства  пока не решена ни логикой оценок, ни деонтической (нормативной)  логикой. Это делает понятие доказательства не вполне ясным по своему  смыслу.

   Не  существует, далее, единого понятия  логического следования. Логических систем, претендующих на определение  этого понятия, в принципе, бесконечно много. Ни одно из имеющихся в современной логике определений логического закона и логического следования не свободно от критики и от того, что принять называть «парадоксами логического следования».⁵

   Образцом  доказательства, которому в той или  иной мере стремятся следовать во всех науках, является математическое доказательство. Долгое время считалось,  что оно представляет собой  ясный и бесспорный процесс. В нашем веке  отношение к математическому доказательству изменилось. Сами математики разбились на группировки, каждая из которых придерживается своего истолкования доказательства. Причиной этому  послужило, прежде всего, изменение представления о лежащих в основе доказательства логических принципах. Исчезла уверенность в их единственности и непогрешимости. Полемика по поводу математического доказательства показала, что нет критериев доказательства, не зависящих ни от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий. Математическое доказательство является парадигмой доказательства вообще, но даже в математике  доказательство не является абсолютным и окончательным.

1.1. Структура доказательства.

   В структуру  доказательства входят: тезис, аргументы и демонстрация.

   Тезис – суждение, истинность которого обосновывается.

   Аргументы, доводы – суждения, с помощью которых обосновывается тезис.

Аргументы, используемые в доказательствах бывают следующих  видов:

1. Установленные  общие положения.
• философские принципы;
• принципы рассматриваемой области науки;
• правила нравственности;
• нормы права.
2. Суждения, принимаемые в качестве очевидных.
• аксиомы научной теории;
• знания о психологии человека, зафиксированные, например, в пословицах, изречениях;
• в юридической практике – презумпции, например, презумпции невиновности.
3. Удостоверенные суждения о фактах.
• в науке – это данные наблюдения и эксперимента;
• в юридических доказательствах – проверенные показания свидетелей или протокол осмотра места преступления.

Демонстрация  – это логическая связь между аргументами и тезисом.

Различают три вида демонстрации: дедуктивная, индуктивная и по аналогии. 

1.2. Прямое и косвенное  доказательство.

   Доказательство, не понятое как целое, ни в чем  не убеждает. Даже если его выучить  наизусть, предложение за предложением, к имеющемуся знанию предмета это  ничего не прибавит.

   Все доказательства делятся по своей структуре, по общему ходу мысли на прямые и косвенные.

   Прямое  доказательство – это доказательство, в котором истинность тезиса выводится из истинности аргументов без введения дополнительных предложений.

   При прямых доказательствах задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис.

   Косвенное доказательство – это доказательство, в котором тезис обосновывается  при помощи  введения дополнительных суждений, несовместимых с тезисом.

Косвенные доказательства устанавливают справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.

       Например, нужно доказать, что кометы подчиняются  действию законов  небесной механики. Известно, что эти  законы универсальны: они распространяются на все тела в любых точках космического пространства. Очевидно, также, что кометы являются телами. Отметив это, строим умозаключение:

                Все космические  тела попадают  под действие законов  небесной  механики.

               Кометы – космические тела.

               Следовательно, кометы  подчиняются данным  законам.

   Это прямое доказательство, осуществляемое в два шага: подыскиваются подходящие аргументы и затем демонстрируется, что из них логически вытекает тезис.

   В построении прямого доказательства  можно выделить два связанных между собой этапа: отыскание тех признанных обоснованных утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление логической связи между найденными аргументами и тезисом. Нередко первый этап  считается подготовительным, и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис.  

   В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того, чтобы прямо отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным.

   Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного.

        Например, врач, убеждая пациента, что тот не болен гриппом, рассуждает так. Если бы действительно был грипп, имелись бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т.п. Но ничего подобного нет, значит, нет и гриппа.

         Это все же не косвенное доказательство. Вместо прямого обоснования тезиса выдвигается антитезис, что у пациента на самом деле грипп. Из антитезиса выводятся следствия, но они опровергаются объективными данными. Это говорит, что допущение о гриппе неверно. Отсюда следует, что тезис «Гриппа нет» истинен.⁶

   Таким образом, косвенное доказательство проходит следующие этапы: выдвигается  антитезис и из него выводятся  следствия с намерением найти  среди них хотя бы одно ложное; устанавливается, что в числе следствий действительно есть ложное; делается вывод, что антитезис неверен; из ложности антитезиса делается заключение, что тезис является истинным.

1.3.  Виды косвенных  доказательств.

   В зависимости от того, как показывается ложность  антитезиса, можно выделить несколько вариантов косвенного доказательства.

   Косвенные доказательства можно разделить  на два вида в зависимости от отношений  тезиса к вводимому  дополнительному  суждению, которое можно называть допущением косвенного доказательства: 1. рассуждение от противного; 2. разделительное доказательство.

   Иногда  ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами, эмпирическими  данными. Так обстояло, в частности, дело в примере с выступлением, вызвавшим острую дискуссию.

   Еще один путь – анализ самой логической структуры следствий антитезиса. Если  в числе следствий встретились и утверждение, и отрицание одного и того же, можно сразу заключить, что антитезис неверен. Ложным он будет и в том случае, если из него выводится противоречивое высказывание о тождестве утверждения и отрицания.

  Например, для косвенного  доказательства тезиса  «Феодализм не  обеспечивает подлинной  справедливости в  отношениях между  людьми»  выдвигается  антитезис: «Феодализм  обеспечивает реальную  справедливость». Из последнего выводится как то, что при феодализме имеется равенство реальных политических и юридических прав, так и то, что такое равенство оказывается в значительной мере формальным, не говоря уже о коренном неравенстве людей по отношению к средствам производства. Раз из антитезиса вытекают утверждение и отрицание одного и того же, значит, он неверен, а правильным является  противоположное утверждение – тезис.

   Это – намеренно упрощенный пример, но доказательства, идущие по такой  схеме, нередки. Если имеется в виду только та их часть, в которой показывается ошибочность некоторого предположения,  они именуются приведением к абсурду (нелепости). Привести некоторое утверждение к абсурду – значит продемонстрировать ложность этого утверждения, выведя из него противоречие.

   Следует учитывать, что существует одна разновидность  косвенного доказательства, которая  не требует искать ложные следствия. В этом случае для доказательства утверждения достаточно показать, что  оно логически  вытекает из собственного отрицания.

       В романе И.С.  Тургенева «Рудин»  есть такой диалог.

• Стало быть, по-вашему, убеждений нет?
• Нет – и не существует.
• Это ваше убеждение?
• Да.
• Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно не первый случай.

Ошибочному  мнению, что таких  убеждений нет, противопоставляется его отрицание: есть, по крайней мере, одно убеждение, а именно убеждение, что убеждений нет. Коль скоро утверждение «Убеждения существуют» вытекает из своего собственного отрицания, это утверждение, а не его отрицание, является истинным и доказанным.

   Во  всех рассмотренных выше косвенных  доказательствах выдвигаются две  альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге подтверждается тезис. Если же число рассматриваемых возможностей не ограничивать двумя – доказываемым утверждением и его отрицанием, то это будет так называемое разделительное косвенное доказательство. Оно применяется в тех случаях, когда можно быть уверенным, что доказываемое положение входит в число всех рассматриваемых возможностей. Доказательств ведется следующим образом:  одна за другой исключаются все альтернативы, кроме одной, которая и является  доказательным тезисом. В стандартных косвенных доказательствах  альтернативы – тезис и антитезис – исключают друг друга в силу законов логики.  В разделительном же доказательстве взаимная несовместимость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые ситуации, определяются не логическими, а фактическими обстоятельствами. Отсюда понятна обычная ошибка разделительных доказательств: выдвинутые возможности, вместе взятые, не исчерпывают всех возможных альтернатив.

   Косвенное доказательство  представляет собой эффективное средство обоснования выдвигаемых положений. Однако его специфика в определенной мере ограничивает его применимость. Имея дело с этим доказательством, мы все время вынуждены сосредотачивать свое внимание не на тезисе, справедливость которого следует обосновать, а на его отрицании, являющемся ошибочным предположением. Не удивительно поэтому, что после того, как такое доказательство проведено, ход его иногда рекомендуют тут же забыть, оставив в памяти, только доказанный тезис. Нужно отметить, что найденное косвенное доказательство какого-то положения, как правило, удается перестроить в прямое доказательство этого положения.

1.4.  Опровержение.

   Важно уметь не только доказать правильное положение, но и опровергнуть ошибочное. Операция опровержения столь же распространена, как и операция доказательства, и  является как бы зеркальным отображением последней.

   Опровержение – это рассуждение, направленное против выдвинутого тезиса и имеющее целью  установление его ложности или  недоказанности.

   Наиболее  распространенный прием опровержения – выведение из опровергаемого утверждения  следствий, противоречащих  истине. Хорошо известно, что если даже одно-единственное  логическое следствие некоторого положения ложно, то ложным является и само положение.

   Другой  прием установления ложности тезиса – доказательство истинности его  отрицания. Утверждение и его  отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что верным является отрицание тезиса, вопрос об истинности самого тезиса автоматически отпадает.

                  Например, достаточно  показать одного  белого медведя,  чтобы опровергнуть  убежденность в  том, будто медведи  бывают только бурыми.

   Если  тезис выдвигается с каким-то обоснованием, операция опровержения может быть направлена также против обоснования. В этом случае нужно  показывать, что приводимые аргументы  ложны и несостоятельны.

   Опровержение  может быть направлено, также на саму связь аргументов и тезиса. В этом случае надо показывать, что тезис не вытекает из доводов, приведенных в его подтверждение. Если между аргументами и тезисом нет логической связи, то нет и доказательства тезиса с помощью приводимых аргументов. Из этого не вытекает, конечно, ни то, что аргументы ошибочны, ни то, что тезис ложен.

Глава II.  Ошибки в доказательстве.

   Логическая  культура предполагает  не только умение рассуждать последовательно и доказательно, с соблюдением требований  логики, но и способность обнаруживать в рассуждении логические ошибки и подвергать их квалифицированному анализу.

   Такие ошибки многообразны по сути.

   Доказательство  представляет собой логически необходимую  связь аргументов и выводимого из них тезиса. Ошибки в доказательстве подразделяются на относящиеся к аргументам, к тезису и их связи.

   1.Ошибки  в отношении аргументов.

   Наиболее  частой является содержательная ошибка – попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов (посылок). Законы логики гарантируют истинное заключение, только когда все принимаемые посылки верные. Если хотя бы одна из них ошибочна, уверенности в истинности выводимого тезиса нет, а значит, нет и доказательства. Неверное положение делает несостоятельным всякое доказательство, в котором оно используется.

   Употребление  ложных, недоказанных или непроверенных  аргументов нередко сопровождается оборотами: «как известно», «давно установлено», «совершенно очевидно» и т.д. Слушателю  и читателю  как бы оставляется  одно: упрекать себя за незнание того, что давно и всем известно.

   Довольно  распространенной ошибкой является круг в доказательстве: справедливость доказываемого положения обосновывается посредством этого же положения, высказанного, возможно, в несколько иной форме. Если же за предпосылку доказательства принимается то, что еще нужно доказать, доказываемая мысль выводится из самой себя и получается не доказательство, а пустое хождение по кругу. Эту ошибку иногда называют порочный круг.

        Например, один из  героев Мольера  глубокомысленно  пояснил, что опиум усыпляет, поскольку обладает снотворным действием, а его снотворная сила проявляется в том, что он усыпляет. Здесь только чуть приоткрытый круг.

Избежать ошибок, связанных с аргументами доказательства, помогает выполнение следующих трех простых требований:

• в качестве аргументов следует использовать только истинные утверждения;
• их истинность должна устанавливаться независимо от тезиса;
• в своей совокупности аргументы должны быть достаточными для того, чтобы из них с логической  необходимостью вытекал тезис.