Дослідження операцій

МІНІСТЕРСТВО  НАУКИ І ОСВІТИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ   УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ  НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

“КРИВОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

КРИВОРIЗЬКИЙ  ЕКОНОМIЧНИЙ IНСТИТУТ

 

Індивідуальна робота  
з дисципліни 
«Дослідження операцій» 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кривий Ріг  – 2012 р.

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗМІСТ

 

1. Тема “Ігрові  методи в управлінні економікою  і бізнесом”.

2. Тема “Елементи  теорії масового обслуговування”.

2.1. СМО з відмовленнями  (задача управління запасами “Розрахунок  складської площі”).

2.2. СМО з очікуванням для аналізу та оптимізації продуктивності (на прикладі наливних пристроїв).

3. Список використаних  джерел.

 

1. Тема “Ігрові методи  в управлінні економікою і  бізнесом”.

 

1. Торгова фірма  розробила декілька варіантів  плану продажу товарів з врахуванням  кон’юнктури ринку і попиту споживачів. Отримані від їх можливих сполучень показники доходів представлені в таблиці.

а) Визначити оптимальну стратегію фірми по продажу товарів.

б) Якщо є ризик і ймовірність реалізації плану П -b% = 30%, П -c% = =35%, П -d% = 35% то, яку стратегію фірми слід вважати оптимальною?

Таблиця 1

 

План продажу	Величина доходу, грош. од.
	Д	Д	Д
П	2	3	3
П	4	2	1
П	3	2	4

 

Розв'язання.

 

а) У нашому випадку  маємо матрицю надбань, оскільки можливі результати характеризують величину доходу.

Для розв’язання задач  вибору в подібних умовах існує безліч різних критеріїв.

Критерій Вальда. Його ще називають критерієм вибору «найменшого з зол». Він відповідає песимістичному типові поведінки в умовах невизначеності. Відповідно до цього критерію кращою вважається альтернатива Х^*, що задовольняє умові:

Х^* = max_imin_jq_ij,

Для умов нашого прикладу:

Х^* = max_i (2, 1, 2) = 1, тобто кращими є альтернативи П₁ і П₃.

Критерій домінуючого  результату. Відповідає над оптимістичному типу поведінки. Відповідно до нього краща з альтернатив вибирається за правилами:

Х^* = max_imax_jq_ij,

Для умов нашого прикладу:

Х^* = max_i (3, 4, 4) = 4, тобто кращими є альтернативи П₂ і П₃.

Критерій Севіджа (мінімального жалю). Цей критерій відповідає більш оптимістичному типові поведінки ніж критерій Вальда. Він базується на розрахунку матриці «жалю» (S), елементи якої визначаються в такий спосіб:

S_ij = q_ij – minq_ij.

Далі за цією матрицею «жалів» за допомогою максимінного критерію вибирається альтернатива.

Будуємо матрицю жалів  для нашого прикладу.

Таблиця 2

План продажу	Величина доходу, грош. од.
	Д	Д	Д
П	1	2	2
П	3	1	0
П	2	1	3

 

Отже, Х^* = max_i (1, 0, 1) = 1, тобто кращими є альтернативи П₁ і П₃.

Критерій Гурвіца. Його ще називають критерієм «песимізму – оптимізму». Цей критерій базується на оцінці кожної альтернативи за допомогою комбінації найкращого і найгіршого результатів. Розраховується оцінка Z_i для альтернативи X_i за правилом:

Z_i = a · min_jq_ij + (1 – a) · max_iq_ij,

де a – показник песимізму (0 ≤ a ≤ 1).

При a = 1 цей критерій перетворюється в максимінний. Якщо ми вибираємо a близьким до 1, то ми дотримуємося песимістичного типу поведінки, найменш ризикованого.

Найкращу альтернативу вибирають за наступним правилом:

Х^* = max_iZ_i

Для нашого прикладу приймемо a = 0,5.

Отже,

Z₁ = 0,5 · 2 + 0,5 · 3 = 2,5

Z₂ = 0,5 · 1 + 0,5 · 4 = 2,5

Z₃ = 0,5 · 2 + 0,5 · 4 = 3

Х^* = max_i(2,5; 2,5; 3) = 3, тобто кращою є альтернатива П₃.

 

Систематизуючи  розглянуті нами критерії та результати, отримані з їх допомогою, обираємо за найбільш оптимальну стратегію фірми по продажу товарів план П₃.

 

 

б) Якщо є ризик і ймовірність реалізації плану П -b% = 30%, П -c% = =35%, П -d% = 35% то, яку стратегію фірми слід вважати оптимальною?

Якщо при ухваленні  рішення ОПР відомі ймовірності Рj станів Пj, то будемо вважати, що розглядається ситуація в умовах часткової невизначеності.

У цьому випадку для  прийняття рішення можна використовувати такий критерій.

Критерій  Байєса. Це критерій максимізації середнього очікуваного доходу. Критерій Байєса називається також критерієм максимуму середнього виграшу.

Як відомо, математичне  очікування М(Qi) випадкової величини Qi представляє собою середній очікуваний дохід, який позначається також Qi можна знайти за формулою:

Для кожної стратегії  Аi ( i-го варіанта рішення) слід розрахувати  середній очікуваний дохід (математичне очікування), і відповідно до критерію Байєса слід вибирати варіант (стратегію Аi ), для якого досягається найбільше значення:

Критерій Байєса використовують в ситуації, в якій приймається рішення, що задовальняє наступним умовам: ймовірність появи стану Пj відома і не залежить від часу; ухвалене рішення теоретично допускає нескінчену велику кількість реалізацій; допускається певний ризик при малих числах реалізацій.

 

Розв'язання.

 

Запишемо матрицю виграшів з додатковим рядком з ймовірностями  станів у вигляді таблиці 3.

Таблиця 3

Матриця виграшів гри

План продажу	Величина доходу, грош. од.
	Д	Д	Д
П	2	3	3
П	4	2	1
П	3	2	4
Рі	0,3	0,35	0,35

 

Знайдемо для кожної стратегії Пi середній очікуваний дохід за формулою:

М(Д₁) = 2 · 0,3 + 3 · 0,35 + 3 · 0,35 = 2,7

М(Д₂) = 4 · 0,3 + 2 · 0,35 + 1 · 0,35 = 2,25

М(Д₃) = 3 · 0,3 + 2 · 0,35 + 4 · 0,35 = 3

Максимальний  середній очікуваний дохід дорівнює 3 і відповідає плану П . Отже за даних умов оптимальною стратегією для фірми є план П .

 

2. Тема “Елементи теорії  масового обслуговування”.

 

2.1. СМО з відмовленнями  (задача управління запасами “Розрахунок  складської площі”).

Проектується склад із такими робочими характеристиками:

Вантажообіг товарного  складу (Q) складатиме - 260 тис. т;

період надходження  матеріалу (T_n) - 365 діб;

середня маса вантажу  в одній партії (q) - 750 т;

середній термін зберігання на складі (Т_зб) - 18 діб;

середня завантаженість на 1 м площі складу (р_к) - 2,8 т/м.

Визначити споживану (корисну) складську площу, яка б  забезпечила пропуск даного вантажообігу з імовірністю Р_п = 0,95.

 

Розв'язання.

 

Розглянемо  склад як систему, що складається  з п обслуговуючих комірок-площадок. Кожна площадка забезпечує одночасне обслуговування (зберігання) окремої партії вантажу. Відмовлення у прийманні нової партії матеріалів настає в момент зайнятості всіх комірок. Площу кожної комірки (F) вважатимемо такою, що вміщує одиницю партії вантажу:

 

F = q/p_k = 750 / 2,8 = 268 м²,

 

де q - середня  маса вантажу в одній партії; р_к, - середня завантаженість на 1 м² площі складу.

 

Вважатимемо вхідний  потік близьким до найпростішого. Якщо склад виявиться переповненим, то нові вхідні заявки вважаються втраченими для обслуговування, тому у якості модельної системи обслуговування необхідно вибрати СМО з відмовами.

Для відповіді  на сформульоване питання необхідно  визначити наступні операційні характеристики системи: середню інтенсивність надходження заявок; середню інтенсивність обслуговування; коефіцієнт завантаженості; мінімальну кількість обслуговуючих приладів та ймовірність втрати заявку.

1) Інтенсивність  надходження вантажу на склад  знайдемо за формулою:

 

 

де, Q-вантажообіг  складу; q-середня маса однієї партії; T_n – період надходження вантажу.

 

2) Інтенсивність  обслуговування однієї партії  складом знайдемо за формулою:

 

 

де Т середній термін зберігання на складі.

 

3) Коефіцієнт  завантаженості системи:

 

 

Отже, мінімальна кількість комірок на складі повинна  бути n =16.

4) Обчислимо  ймовірність (Р ) заповнення складу і неможливість приймання вантажу для різної кількості комірок-площадок, починаючи з n=16. Для цього знайдемо:

Ймовірність простоювання системи (всі обслуговуючі прилади вільні):

Ймовірність втрати заявку (всі обслуговуючі прилади  зайняті):

 

P_відм=P₃=

 

Заповнення  складу і необхідність відмовлення  у прийманні вантажу відбудуться  тоді, коли всі комірки-площадки будуть зайнятими.

Ймовірність приймання  вантажу (Р_n) при наявності хоча б однієї вільної комірки-площадки модна визначити за формулою:

 

Р_n=1-P_відм.

 

Розрахунки будемо здійснювати за допомогою Excel. Результати обчислення ймовірності (Р_відм) відмовлення від приймання вантажу для різних значень корисної площі складу занесено у таблицю:

Таблиця 4

 

№ з/п	Кількість умовних комірок-площадок, n	Ймовірність відмови Р3	Ймовірність прийому 1-Р3	Корисна площа F, м2
1	16	0,18	0,82	4288
2	17	0,14	0,86	4556
3	18	0,11	0,89	4824
4	19	0,09	0,91	5092
5	20	0,06	0,94	5360
6	21	0,05	0,95	5628

 

Відповідь: При  кількості умовних комірок-площадок n=21 (корисної площі складу, що складатиме 5628 м²) забезпечується ймовірність 0,95 приймання вантажу на склад.

 

2.2. СМО з очікуванням для аналізу та оптимізації продуктивності (на прикладі наливних пристроїв).

Визначити оптимальну кількість наливних пристроїв автомобільної естакади розподільчої нафтобази за такими вихідними даними:

Річна реалізація нафтобази (Q)      360 тис.т;

середня маса нафтопродуктів у автоцистерні (q)   10 т;

продуктивність  одного наливного пристрою (v)   6,5 автоцистерн за годину;

нафтобаза працює на рік (Д_н)       365 днів;

протягом доби нафтобаза працює (t_н)     10 год.;

кожен автомобіль в середньому на рік працює (t_а)   1430 год.;

збитки від  простоювання автомобіля складає на рік (З_н.а)  2800 грн.;

збитки від  простоювання одного наливного пристрою складає на рік (З_н.п.)             1250 грн.

 

Розв’язання.

 

Розв’язання практичної задачі необхідно починати з вибору моделі СМО. Вибір здійснюється на основі аналізу вхідного потоку заявок на обслуговування – наявності або  відсутності пріоритетів в обслуговуванні, обмежень на формування черги та режим роботи обслуговуючих прикладів.

Структуру вхідного потоку заявок у даному випадку можна  зобразити у вигляді великої  кількості незалежних потоків, кожен  із яких утворений одним із постійних  замовників нафтобази (автотранспортні підприємства, автозаправочні станції тощо). Причому інтенсивність (частота замовлень) кожної складової вхідного потоку, як правило, вносить відносно незначний вклад у сумарну величину потоку. Тому в умовах задачі можна прийняти припущення про те, що вхідний потік заявок є найпростішим.

Розв’яжемо  задачу у припущенні про показниковий закон тривалості обслуговування наливних пристроїв. На практиці гіпотезу про  показниковий закон тривалості обслуговування каналів СМО приймають на основі статистичного аналізу. В умовах задачі не говориться про дисципліну обслуговування черги заявок, про обмеження довжини черги та тривалості перебування заявки у черзі. Тому у якості моделі системи обслуговування вибираємо модель СМО з очікуванням, вважаючи, що будь-яка заявка, що надійшла до системи, буде обслуженою.

Для відповіді  на питання задачі необхідно обчислити  наступні операційні характеристики системи: середню інтенсивність надходження  заявок, коефіцієнт завантаженості, середню  тривалість обслуговування, середню тривалість очікування та середню кількість вільних від обслуговування заявок обслуговуючих прикладів.

1. Обчислимо середню інтенсивність надходження автомобілів на нафтобазу:

 

 

 

2. Визначаємо коефіцієнт завантаженості системи:

 

 

Отже, з умови n , визначаємо min кількість наливних пристроїв:

 

n

 

3. Знаходимо середню тривалість обслуговування автомобіля одним наливним пристроєм:

 

  

При кількості  наливних пристроїв 2, 3, 4 і 5 обчислюємо наступні показники:

4. Ймовірність того, що всі обслуговуючі прилади (наливні пристрої) вільні:

при

 

6. Ймовірність того, що всі наливні пристрої зайняті:

 

 

7. Середня тривалість очікування t у черзі:

 

 

8. Середня кількість N наливних пристроїв, вільних від обслуговування:

 

 

8) річне простоювання  автомобілів у черзі на обслуговування (налив):

 

 

де t - середня тривалість очікування для одного автомобіля у черзі; А-кількість автомобілів, що прибувають за рік на нафтобазу для наливу:

А=Q/q = 360000 / 10 = 36000.

 

9. Збитки від простоювання автомобілів у черзі за рік (річні збитки):

 

 

10) Збитки від  простоювання наливних пристроїв:

 

 

11)Сумарні збитки від  простоювання транспортних засобів  та наливних пристроїв:

 

 

Обчислені показники  якості обслуговування та сумарні збитки занесемо у таблицю:

 

Таблиця 5

 

Показники	Кількість наливних пристроїв п
	2	3	4	5
Ро	0,13	0,201	0,212	0,214
Рз	0,67	0,251	0,081	0,022
Nо	0,46	1,46	2,46	3,46
tоч, год	0,224	0,026	0,005	0,00098
tг.оч, год	8064	936	180	35,28
Уа, грн	15790	1833	352,45	69,1
Ун, грн	575	1825	3075	4325
У, грн	16365	3658	3427,5	4394,1

 

Відповідь: Мінімальні сумарні збитки нафтобаза матиме у тому випадку, коли естакада міститиме 4 наливних пристрої.

Розглянутий приклад може свідчити про те, наскільки помилковими можуть бути рішення, які приймаються на основі середніх показників. Дійсно, якщо відомо, що за годину в середньому прибуває 10 автомобілів, а кожен наливний пристрій може обслужити 6,5 автомобілів, то при наявності двох наливних пристроїв маємо навіть 30 %- ий резерв:

 

(2 – 1,54) / 1,54 * 100 = 30%

 

Проте розрахунки, виконані у задачі з урахуванням  випадкового характеру надходження  автомобілів на нафтобазу, показують, що при наявності двох наливних пристроїв кожен автомобіль простоюватиме в середньому близько 13,5 хвилин (60 * 0,224 = 13,5), і збитки від такого простоювання складатимуть за рік більше, ніж 16 тис. грн.

 

Список використаних джерел

 

1. Афанасьєв Є.В. Економіко-математичне моделювання ризику великих промислових підприємств з монопродуктовим виробництвом: Монографія. – 2-ге вид., доп. і перероб. – Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2005. – 230 с.
2. Вітлінський В.В., Наконечний С.І. Ризик у менеджменті. К.: ТОВ «Борисфен-М», 1996 - 325 с.
3. Гафт М.Г. Принятие решений при многих критериях» М.: Знание, 1979 - 64 с.
4. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом: (Учеб. пособие) / Л.Г. Лабекер, Л.О. Бабешко. – М.: Дело, 2001. – 464 с.
5. Исследование операций в экономике: (Учебное пособие для вузов) / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин и др.; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи; ЮНИТИ, 1997. – 407 с.
6. Костевич Л.С. Теория игр. Исследование операций. Минск.: Высшая шк., 1982 - 231 с.
7. Лысенко Ю.Г., Овечко Г.С., Овечко А.В., Кравченко В.Н., Беленко Д.В. Имитационное моделирование экономических систем: Учебное пособие; изд. 1-е / Под ред. д-ра экон. наук., проф. Ю.Г.Лысенко. – Донецк: ООО “Юго-Восток, Лтд”, 2007. – 287 с.
8. Основи теорії оптимального управлений / Под ред. В.Ф. Кротова. М.: Высш. шк., 1990 - 430 с.
9. Ризикологія в економіці та підприємництві: (Монографія) / В.В. Вітлінський, Г.І.Великоіваненко. – К.: КНЕУ, 2004. – 480 с.
10. Ульянченко О.В. Дослідження операцій в економіці: Підручник для студентів вузів / Харк. нац. аграр. ун-т ім. В.В. Докучаєва. – Харків: Гриф, 2002. – 580 с.