Двойственные оценки

 Двойственные оценки — одно из основных понятий линейного программирования. Это оценки продуктов, ресурсов, работ, вытекающие из условий («объективно обусловленные ими», как писал первооткрыватель линейного программирования Л. В. Канторович) решаемой оптимизационной задачи.

Введён советским учёным Л. В. Канторовичем в 1959 году, и в основном используется при решении экономических задач методами математического программирования. Аналогичен терминам «оптимальные оценки», «объективно обусловленные (оптимальные) оценки», «теневые цены», «разрешающие множители». Двойственные оценки в экономических задачах показывают, к каким экономическим результатам приведёт появление в хозяйственном процессе дополнительной единицы того или иного производственного компонента. Размерность двойственных оценок соответствует размерности критерия оптимальности (натуральные или натурально-условные единицы измерения, денежные и т.д.). Двойственные оценки объективно вытекают из условий постановки и решения экономической задачи и целиком обусловлены совокупностью тех конкретных хозяйственных факторов, которые учтены при математической формализации производственно-экономической деятельности. Поэтому они являются эффективным средством анализа текущей хозяйственной деятельности, позволяют выявить и количественно оценить «узкие места», а при предположении некоторой устойчивости дают возможность наметить направления улучшения показателей работы хозяйственного объекта. 

 В зависимости от характера постановки задачи двойственные оценки могут отражать производственно-экономические условия деятельности отдельных участков (цехов), предприятий, отраслей, отдельных районов и народного хозяйства в целом. В последнем случае полученные оценки теоретически могут быть интерпретированы как цены оптимального народно-хозяйственного плана или как общественные (рентные) оценки ресурсов (природных, фондов, труда). Они характеризуют приращение критерия оптимальности социалистической системы (прирост благосостояния и уровня удовлетворения общественных потребностей), вызванное приростом производства того или иного вида продукции (или приращения ресурса), а также характеризуют предельно допустимый размер затрат на производство дополнительной единицы этой продукции. Это свойство двойственные оценки сохраняют лишь в условиях малых хозяйственных изменений, и их значения, как правило, меняются вместе с разработкой и изменением планов развития производства. Органическая связь этих оценок с планом четко прослеживается в экономико-математических задачах любого уровня, не только в статических, но и в динамических моделях, где они дают возможность сопоставления разновременных затрат и эффектов.

По мнению экономистов-математиков, каждый ресурс должен оцениваться с точки зрения приносимого им экономического эффекта. Любое экономическое решение на всех уровнях управления народным хозяйством должно основываться на соизмерении дополнительных затрат, необходимых для его реализации, с дополнительным эффектом, достигаемым благодаря этому решению. Двойственные оценки как раз и показывают, насколько   возрастает    (или уменьшается)   функционал   задачи (критерий оптимальности) при увеличении  (или уменьшении)   запаса соответствующего вида ресурса на одну единицу.

Иными словами, оценка показывает,  к  каким   экономическим последствиям   приведет   производство дополнительной единицы ресурса.

Двойственные  оценки уже сейчас широко применяются  в оптимизационных расчетах: при  решении задач размещения производства, наиболее рационального прикрепления поставщиков к потребителям, оптимального раскроя материалов и многих других. На их основе выработаны ценные методы экономико-математического анализа хозяйственных процессов, позволяющие глубже проникать в сущность этих процессов, оценивать перспективы развития, будущие последствия принимаемых сегодня решений.  

 Глубокую экономическую  интерпретацию двойственные оценки  получили также в работах А.  Л. Лурье и концепции народно-хозяйственных  дифференциальных затрат, разработанной  В. В. Новожиловым. Проблема двойственных оценок находится в стадии дальнейшей научной разработки и является предметом дискуссии советских и зарубежных экономистов.    

    Задача 1. Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на максимум, и почему?

 

Условие задачи:

Имеется два  вида корма I и II, содержащие питательные  вещества (витамины) , и . Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице.

 

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум питательных веществ	Число единиц питательных Веществ в 1 кг корма
		I	II
	9	3	1
	8	1	2
	12	1	6

 

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ед.

Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.

 

Решение:

Составим уравнения  прямой оптимизационной задачи на минимум  затрат. Корм первого и второго видов обозначим как х₁ и х₂ соответственно.

F(x) = 4x₁ + 6x₂ → min

Ограничения задачи:

3x₁ + 1x₂ ≥ 9

x₁ + 2x₂ ≥ 8

x₁ + 6x₂ ≥ 12

x₁ + x₂ = 1

x₁, x₂ ≥ 0

 

Определим множество решений  первого неравенства. Оно состоит  из решения уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой 3x₁ + 1x₂ – 9 =0. Построим прямую по двум точкам (0;9) и (3;0), которые легко определить в результате обнуления сначала одной переменной потом другой (на рисунке прямую обозначим цифрой 1).

Множество решений строгого неравенства – одна из полуплоскостей, на которую делит плоскость построенная прямая.

Аналогичный образом построим области решения двух других неравенств. Решениям второго уравнения  x₁ + 2x₂ – 8 = 0 служат точки (0;4) и (8;0)(на рисунке прямая под цифрой 2); третьего уравнения x₁ + 6x₂ – 12 = 0 - точки (0;2) и (12;0) (на рисунке прямая под цифрой 3).

Заштрихуем общую область  для всех неравенств.

Для нахождения экстремального значения целевой функции построим вектор – градиент, координаты которого являются частными производными функции F(x) = 4x₁ + 6x₂, т.е. (4;6). Для построения вектора соединим данную точку с началом координат. Т.к. задача решается на минимизацию функции, поэтому линию уровня, которая формируется перпендикулярно вектору – градиенту, будем перемещать в направлении, противоположенном направлению вектора. Линию перемещаем до ее пересечения с крайней точкой входящей в область допустимых значений, в данной задаче этой точкой является точка с координатами (2;3).

Решим систему  из двух уравнений ограничений, которые  дали искомую точку.

3x₁ +x₂ = 9

 x₁ + 2x₂ = 8

 

x₁ = 2, x₂ = 3

F(x) = 4x₁ + 6x₂ = 4*2 + 6*3 = 26 ден. ед.

 

Ответ: оптимальное решение найдено. Минимум расходов 26 ден. ед. достигается при использовании 2 единиц I вида корма и 3 единиц II вида корма.

При решении  задачи на максимум линию уровня следует  передвигать в направлении градиента. При этом max F(x) = ∞ и чтобы составить дневной рацион, в котором содержание корма каждого вида было бы не менее установленного предела, потребовалось бы неограниченное количество корма каждого вида и затраты бы при этом бесконечно возросли.

Задача 2. На основании информации, приведенной в таблице 1, решить задачу оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Условие задачи:

Пусть для выпуска  трех видов продукции  , , на предприятии используют три типа сырья , , . Объемы выделенного сырья, нормы расхода сырья и прибыль на единицу продукции при изготовлении каждого вида продукции приведены в таблице 1.

 

Таблица 1

Тип сырья	Нормы расхода  сырья на единицу  продукции			Запасы   сырья
	1	2	1	430
	3	0	2	460
	1	4	0	420
Цена изделия	3	2	5

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если запас сырья I вида увеличить на 5 единиц, а II – уменьшить на 5 единиц;
• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7 у.е, если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы соответственно.

 

Решение:

Пусть   х₁ – число единиц продукции I;

х₂ – число единиц продукции II;

х₃ – число единиц продукции III.

Прямая оптимизационная  задача имеет вид:

F(x) =3x₁+2x₂+5x₃→ max

при ограничениях

 х₁ + 2х₂ + х₃ ≤ 430

3х₁ + 2х₃  ≤ 460

 х₁ + 4х₂ ≤ 420

х₁, х₂, х₃ ≥ 0.

Оптимальный план выпуска найдем с помощью MS Excel.

Рассмотрим  технологию решения задачи в среде Excel.

1. Укажем адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).

Обозначим через  х₁, х₂, х₃ количество продукции каждого типа. В данной задаче оптимальные значения х₁, х₂, х₃ будут помещены в ячейки B2:D2, оптимальное значение целевой функции – в ячейке F2.

2. Введем исходные данные (рисунок 1)

 

Рис 1. Введены исходные данные

 

3. Введем зависимость для целевой функции

1. Выделить ячейку F2

2. Вызвать мастер функций, расположенный на панели инструментов
3. В окне категория выбрать категорию Математические
4. В окне функции выбрать строку СУММПРОИЗВ
5. В строку Массив1 ввести B2:D2
6. В строку массив2 ввести B3:D3

4.  Заполним  ячейки Е4:Е6

1. Выделить ячейку Е4
2. Вызвать мастер функций, расположенный на панели инструментов
3. В окне категория выбрать категорию Математические
4. В окне функции выбрать строку СУММПРОИЗВ
5. В строку Массив1 ввести B2:D2
6. В строку массив2 ввести B4:D4

Аналогичную операцию произведем с ячейками Е5:Е6

Рисунок 2. Введены зависимости  для всех ограничений

            

 

          5.  Запустить команду Поиск решения

1. Назначить ячейку для целевой функции (установить целевую ячейку), указать адреса изменяемых ячеек, ввести ограничения. (Рисунок 3)

 

Рис 3. Введены все условия  задачи

 

2. Ввести параметры для решения задачи линейного программирования

     В диалоговом окне поместить указатель мыши на кнопку параметры. На экране появится диалоговое окно Параметры Поиск решения. Установить флажки, как показано на рисунке 4

 

Рис 4. Ввод параметров

 

Поместить указатель  мыши на кнопку Выполнить. В результате Поиска решения появляется исходная таблица с заполненными ячейками В3:D3 для значений и ячейка F2 с максимальным значением целевой функции (рисунок 5).

 

Рис 5. Решение получено

 

Полученное  решение означает, что максимальный доход 1350 ден. ед. предприятие может получить при выпуске 100 изделий второго вида и 230 изделий третьего вида. При этом первый и второй типы сырья будут использованы полностью, а из 420 единиц третьего сырья будет использовано 400 единиц

 

 

 

 

 

Двойственная задача.

 

Обозначим переменные:

Пусть   y₁ – цена единицы ресурса продукции I;

y₂ – цена единицы ресурса продукции II;

y₃ – цена единицы ресурса продукции III.

Экономико-математическая модель двойственной задачи имеет вид:

G(y) = 430у₁ + 460у₂ + 420у₃ →min

при ограничениях:

 у₁ + 3у₂ + у₃ ≥ 3;

2у₁ + 4у₃ ≥ 2;

 у₁ + 2y₂  ≥ 5;

у₁, у₂, у₃ ≥ 0.           

 

В результате получилась пара взаимодвойственных задач.

Найдем оптимальный  план двойственной задачи, используя  теоремы двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы  двойственности

 

y_i(∑a_ijx_j - b_i) = 0

y₁(x₁ + 2x₂ + x₃ - 430) = 0

y₂(3x₁ + 2x₃ - 460) = 0

y₃(x₁ + 4x₂ - 420) = 0

 

Подставим полученные оптимальные значения х₁=0, х₂=100 и х₃=230 в полученные выражения

 

y₁(0 + 2*100 + 230 - 430) = 0

y₂(3*0 + 2*230 - 460) = 0

y₃(0 + 4*100 - 420) = 0, y₃=0, т.к. 400<420

 

В результате получим:

y₁(430 - 430) = 0

y₂(460 - 460) = 0

y₃(400 - 420) = 0, y₃=0, т.к. 400<420

 

Воспользуемся вторым соотношением второй теоремы  двойственности

x_j(∑a_ij - c_j) = 0, если  x_j=0, то ∑a_ij = c_j

В данной задаче х₂=100≥0 и х₃=230≥0, поэтому второе и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства:

2у₁ + 4у₃ = 2

у₁ + 2y₂  = 5

y₃=0

Решив данную систему, получаем:

y₁=1, y₂=2, y₃=0

Теневые цены первого, второго, третьего ресурсов соответственно равны 1, 2, 0.

Проверим выполнение первой теоремы двойственности

G(y) = 430*1 + 460*2 + 420*0 = 1350

F(x) = 1350

F(x) = G(x)

 

Исходя из первой теоремы двойственности можно сделать  вывод, что оптимальный план двойственной задачи определен верно.

 

Поясним нулевые значения переменных в оптимальном плане:

- выпуск изделий I вида нерентабелен, так как х₁=0;

- дефицитными  являются I и II вид сырья, так как y₁ и y₂ > 0;

- III вид сырья является избыточным, так как у₃=0.

 

Проведем анализ полученного оптимального плана исходной задачи с помощью  двойственных оценок.

Так как цена третьего сырья у₃=0, то сырье третьего типа не дефицитно.

Дефицитное  сырье первого и второго типа, так как в оптимальном плане  исходной задачи используется полностью. Сырье второго типа более дефицитно (у₂ =2), чем сырье первого типа (у₁ =1).

 

Определим, как изменится выручка  от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья первого  вида увеличить на 5 единиц, а второго  – уменьшить на 5 единиц.

При изменения  запаса сырья первого вида получим 430+5=435 ед., запаса сырья второго вида – 460-5=455 ед.

Из теоремы  об оценках известно, что колебание  величины приводит к изменению целевой функции F(x). Оно определяется величиной y_i в случае, когда при изменении величин b_i значения переменных y_i в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. В данной задаче увеличение запасов первого сырья и уменьшению запасов второго сырья приведет к уменьшению значения целевой функции на 5 ден. ед.

ΔF(x) = Δb_i * y_i

ΔF(x) = 5*1 – 5*2 = -5 ден. ед.

 

Оценить целесообразность включения  в план изделия четвертого вида ценой 7 ден. ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы.

В оптимальный  план задачи на получение максимума прибыли может быть включен лишь тот вариант, для которого прибыль, недополученная из-за отвлечения дефицитных ресурсов, т.е. величина , покрывается полученной прибылью c_j. Таким образом, характеристикой того или иного варианта служит разность , при этом если , то вариант выгоден; если , то вариант не выгоден.

 

Таблица 2

Тип сырья	Объективно обусловленные  оценки ресурсов	Нормы расхода сырья на ед. включаемой продукции,
	1	2
	2	4
	0	3
Цена изделия		7

 

Т.к. 3>0, то можно  сделать вывод о том, что продукцию Р₄ невыгодно включать в план, т.к. затраты на ее изготовление не покрываются получаемой прибылью.

 

 Задача 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

Условие:

В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос (млн. руб) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд этого показателя приведен в таблице №1

 

Таблица 3

Номер наблюдения
1	2	3	4	5	6	7	8	9
8	13	15	19	25	27	33	35	40

 

1. Проверить наличие аномальных наблюдений

Для выявления  аномальностей ряда наблюдения воспользуемся  методом Ирвина.

Рассчитаем  значение

Где ,

Для удобства вычисления промежуточные расчеты представим как в рисунке 6

Рисунок 6. Вычисление наличия  аномальных наблюдений

Все расчетные  значения меньше табличного значения критерия Ирвина (при n=9, =1,5), следовательно, можно говорить о том, что аномальных наблюдений не обнаружено.

 

2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

Коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели найдем из решения нормальной системы уравнений:

   

Известно, что 

Построим следующую  таблицу, используя MS Excel

Рисунок 7. Поиск коэффициентов а₀ и а₁

Также коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели можно найти с помощью надстройки MS Excel Анализ данных:

• Введем исходные данные как показано на рисунке 8.

 

Рисунок 8. Ввод исходных данных

 

• Оценим параметры модели с помощью надстройки MS Excel Анализ данных.

Выберем команду  Сервис – Анализ данных;

В диалоговом окне Анализ данных Выберем инструмент регрессия;

В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y следует ввести адрес диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал X введем адрес диапазона, который содержит значения независимой переменной t (рис 8).

 

Рисунок 9. Ввод исходных данных для Регрессии

 

Результат регрессионного анализа показан на рисунке 10

Рисунок 10. Результат  регрессионного анализа

 

Полученная линейная модель будет выглядеть следующим образом:

y(t) = 4,07 + 3,96t

Рисунок 10. Полученная линейная модель

 

3. Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания и . Выбрать лучшие значения параметров сглаживания.

Общий вид модели:

     

     

     

где  - параметры модели

- период упреждения (k=1)

- параметр сглаживания модели

- абсолютная ошибка

Построим адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания

 

 

 

 

 

Для удобства вычисления промежуточные расчеты сделаем с помощью MS Excel (рисунок 11)

Рисунок 11. Адаптивная модель Брауна с параметром сглаживания 

;   

 

Построим адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания

Для удобства вычисления промежуточные расчеты сделаем  с помощью MS Excel (рисунок 12)

Рисунок 12. Адаптивная модель Брауна с параметром сглаживания 

 

Относительные ошибки обеих моделей достаточно малы, следовательно, обе модели подходят для дальнейшего исследования.

 

4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

 

Случайность ряда остатков исследуем методом поворотных точек

сравним критическое m*=2 с количеством повторных точек полученных в адаптивной модели Брауна m=6 и в линейной модели m=6:

2 < 6, следовательно,  условие случайности уровней  ряда остатков соблюдается.

Результаты  данной проверки дают возможность провести проверку соответствия остаточной последовательности нормальному закону распределения. Воспользуемся RS- критерием. Размах вариации вычисляется по формуле:

В данной задачи размах вариации для линейной модели составит:

для адаптивной модели Брауна:

с параметром сглаживания 

с параметром сглаживания 

Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле:

Среднее квадратическое отклонение для линейной модели составит:

для адаптивной модели Брауна:

с параметром сглаживания 

с параметром сглаживания 

 

Критерий  для адаптивной модели Брауна составит: