Исследование структуры совокупности

Исходные данные

Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одного из регионов в отчетном году (выборка 5%-ная, механическая):

Таблица 1. Исходные данные

Задание 1. Исследование структуры совокупности

По исходным данным необходимо выполнить следующее:

1. Построить статистический ряд распределения предприятий по признаку «Размер нераспределенной прибыли», образовав пять групп с равными интервалами.
2. Графическим методом и путем расчетов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.
3. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Сделать выводы по результатам выполнения пунктов 1, 2, 3 задания.

4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным, сравнить ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

Выполнение Задания 1

Целью выполнения данного Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределений предприятий по признаку «Размер нераспределенной прибыли».

1. Построение интервального ряда распределения предприятий по размеру нераспределенной прибыли

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение предприятий по размеру нераспределенной прибыли, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле:

                                                              h = (xmах – xmin) / n                                               (1)

где xmax, xmin – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k – число групп интервального ряда.

Для заданных исходных данных xmax=34,4 тыс. чел., xmin=13,4 тыс. чел. С учетом заданного k=5 величина интервала:

h = (15 – 5) /5 = 2.

При h = 2 млрд.руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2. Границы интервалов ряда распределения

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать количество предприятий, входящих в каждую группу. Если значение признака лежит на границе интервалов, будем относить его к «следующей» группе. Процесс группировки единиц совокупности по признаку «Размер нераспределенной прибыли» представлен в таблице 3:

Таблица 3. Разработочная таблица для построения интервального

ряда распределения и аналитической группировки

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется итоговая таблица 4, представляющая интервальный ряд распределений предприятий по размеру нераспределенной прибыли.

Таблица 4. Распределение предприятий по размеру

нераспределенной прибыли

Помимо частот групп в абсолютном выражении рассчитаем дополнительные характеристики интервального ряда распределения: частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле (табл. 5).

Таблица 5. Структура предприятий по размеру

нераспределенной прибыли

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по размеру нераспределенной прибыли не является равномерным: преобладают предприятия с нераспределенной прибылью от 9,00 млрд.руб. до 11,00 млрд.руб (это 11 предприятий, доля которых составляет 36,67%); на 30% предприятий размер нераспределенной прибыли менее 9,00 млрд.руб., а на 66,67% – менее 11,00 млрд.руб.

1.2. Нахождение моды и медианы  полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рисунок 1. Определение моды графическим методом

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

 (2)

где   хМo – нижняя граница модального интервала,

h –величина модального интервала,

fMo – частота модального интервала,

fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл.4 модальным интервалом построенного ряда является интервал 9,00 – 11,00 млн. руб., так как его частота максимальна (f3 = 11).

Расчет моды по формуле:

Мо = 9 + ( 2 * ( ( 11 - 5) / ( ( 11 – 5 ) + ( 11 – 7 ) ) = 10,20

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенный размер нераспределенной прибыли характеризуется средней величиной 10,20 млрд.руб.

Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, гр. 5).

Рисунок 2. Определение медианы графическим методом

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

,                                       (3)

где    хМе – нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

fМе – частота медианного интервала,

SMе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

Согласно табл.5 медианным интервалом является интервал  
9,00 – 11,00 млн. руб., так как именно в этом интервале накопленная частота Sj=20 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

Расчет значения медианы по формуле (4):

Ме = 9 + 2 * ( ( 30 / 2 – 9 ) / 11 ) = 10,09.

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий, половина предприятий имеют размер нераспределенной прибыли не более 10,09 млрд.руб., а другая половина – не менее 10,09 млрд.руб.

3. Расчет характеристик ряда  распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , σ, σ2, Vσ на основе табл. 5 строится вспомогательная таблица 6 ( – середина j-го интервала).

Таблица 6

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Расчет средней арифметической взвешенной:

          (4)                         

Расчет среднего квадратического отклонения:

         (5)           

Расчет дисперсии:

σ2 =2,312 = 5,34 (6)

Расчет коэффициента вариации:

               (7)                     

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что размер нераспределенной прибыли составляет 10 млрд.руб., отклонение от среднего объема в ту или иную сторону составляет в среднем 2,31 млрд.руб. (или 23,1%), наиболее характерные значения размера нераспределенной прибыли находятся в пределах от 7,69 млрд.руб. до 12,31 млрд.руб. (диапазон ).

Значение Vσ = 23,1% не превышает 33%, следовательно, вариация размер нераспределенной прибыли в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =10,00 млрд.руб., Мо=10,20 млрд.руб.., Ме=10,09 млрд.чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение размера нераспределенной прибыли (10 млрд.руб..) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

4. Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

                             (8)

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по различным формулам заключается в том, средняя арифметическая простая определяется по фактическим  значениям  исследуемого  признака  для  всех  30-ти предприятий, а при вычислении средней для интервального ряда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

Задание 2

По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Размер нераспределенной прибыли и Инвестиции в основные фонды, образовав по каждому признаку пять групп с равными интервалами, используя методы:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2. Оценить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
3. Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

Выполнение Задания 2

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи и оценка ее тесноты.

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.

По условию Задания 2 факторным является признак Размер нераспределенной прибыли (X), результативным – признак Инвестиции в основные фонды (Y).

1. Установление наличия и характера  связи между признаками Размер нераспределенной прибыли и Инвестиции в основные фонды методами аналитической группировки и корреляционной таблицы

1а. Применение метода аналитической  группировки

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х (Размер нераспределенной прибыли) и результативным признаком (Инвестиции в основные фонды).

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 7.

Вывод. Анализ данных табл. 7 показывает, что с увеличением размера нераспределенной прибыли от группы к группе систематически возрастает и инвестиции в основные фонды, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

Таблица 7

Зависимость инвестиций в основные фонды от размера нераспределенной прибыли

1б. Применение метода корреляционной  таблицы.

Корреляционная таблица представляет собой комбинацию двух рядов распределения. Строки таблицы соответствуют группировке единиц совокупности по факторному признаку Х, а графы – группировке единиц по результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по факторному признаку и в k-ый интервал по результативному признаку. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему. Расположение частот по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему говорит об обратной связи.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Величина интервала и границы интервалов  для  факторного  признака  Х – Размер нераспределенной прибыли известны из табл. 7. Для результативного признака Y – Инвестиции в основные фонды величина интервала определяется по формуле  при k = 5,  уmax = 2,112 млрд. руб., уmin = 0,352млрд.руб.:

Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y имеют следующий вид (табл. 8):

Таблица 8

Границы интервалов распределения результативного признака

Подсчитывая с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ) число предприятий, входящих в каждую группу (частоты групп), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 9).

Таблица 9

Распределение предприятий по объему выпуска продукции

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 10).

Таблица 10

Корреляционная таблица зависимости объема выпуска продукции от среднесписочной численности работников

Вывод. Анализ данных табл. 10 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между размером нераспределенной прибыли и инвестициями в основные фонды.

2. Измерение тесноты корреляционной  связи с использованием коэффициента  детерминации и эмпирического  корреляционного отношения

Для измерения тесноты связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле