Контрольна работа по "Статистике"

 

                                

  Расчетная часть.

Имеются следующие выборочные данные (выборка 20%-ная механическая) о стоимости  основных производственных фондов и  выпуске продукции по 30 однородным  предприятиям одной из отраслей промышленности за год, млн. руб.:

№ предприятия п/п	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов	Выпуск продукции	№ предприятия п/п	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов	Выпуск продукции
1	37	36	16	37	42
2	30	36	17	35	37
3	20	30	18	38	42
4	38	39	19	36	39
5	47	46	20	29	31
6	45	41	21	36	38
7	34	36	22	37	38
8	24	29	23	48	45
9	45	45	24	37	35
10	54	51	25	46	44
11	36	40	26	50	53
12	33	36	27	38	41
13	25	28	28	45	46
14	37	39	29	60	55
15	31	35	30	50	48

 

Задание 1.

По исходным данным:

1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по признаку - среднегодовая стоимость основных производственных фондов,  образовав пять групп с равными интервалами.

Выполнение  Задания  1

Целью выполнения данного Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности основных фондов предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределения предприятий по признаку  Среднегодовая стоимость основных производственных фондов.

      1)Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле

,                                        

где – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда.

Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса

k=1+3,322lg n,                                                 

     где  n - число единиц совокупности.

        Число групп k задается в условии задания и =5

Определение величины интервала по формуле при  заданных k = 5,           x_max =60млн руб., x_min = 20млн руб.:

                              (млн.руб.)

    При h = 8 млн руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид

      

 

 

 

 

 

 

 

 Распределение предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов

№ группы	Группа предприятий по среднегодовой  стоимости основных производственных фондов	Число предприятий, Ед., fj	Доля предприятий в общем итоге, %
1	20-28	3	10,0
2	28-36	9	40,0
3	36-44	8	20,0
4	44-52	8	23,0
5	52-60	2	7,0
	Итого	30	100,0

Вывод: Анализ интервального ряда распределения изучаемой     совокупности предприятий показывает, что в результате группировки образовалось пять групп предприятий с равными интервалами равными 8 млн. руб.

 

                                                      Задание 2

По исходным данным:

1.Установите  наличие и характер связи между  признаками – среднегодовая стоимость  основных производственных фондов  и выпуск продукции методом  аналитической группировки, образовав  пять групп с равными интервалами  по факторному признаку.

Решение:

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи и оценка ее тесноты.

            Для нахождения связи между признаками  используем метод аналитической группировки, при котором  строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между  факторным признаком Х – среднегодовая стоимость основных производственных фондов и результативным признаком Y –выпуск продукции. Групповые средние значения получаем из таблицы 2, (столбец «Средний выпуск продукции по группе»).

Зависимость среднегодовой стоимости  основных производственных фондов от выпуска продукции

 

№ группы	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов	№ предприятия	Выпуск продукции	Средний выпуск продукции по группе
1	20-28	3	20
		8	24
		13	25
Всего		3	87
2	28-36	20	31
		2	35
		15	35
		12	36
		7	36
		17	37
		11	40
		19	39
		21	38
Всего		9	327
3	36 – 44	1	36
		14	39
		16	42
		22	38
		24	35
		4	39
		18	42
		27	41
Всего		8	312
4	44 – 52	6	41
		9	45
		28	46
		25	44
		5	46
		23	45
		26	53
		30	48
Всего		8	368
5	52 – 60	10	54
		29	60
Всего		2	106

 

 

Вывод.

 Анализ  данных таблицы 5 показывает, что  с ростом величины основных  производственных фондов от групп  к группе выпуск продукции  по каждой группе предприятий  увеличивается. Следовательно, между  исследуемыми признаками существует  прямая корреляционная связь. 

 

                                                 Задание 3

По результатам  выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:

1. Ошибку  выборки среднегодовой стоимости  основных производственных фондов  и границы, в которых будет  находиться среднегодовая стоимость  основных производственных фондов  в генеральной совокупности.

2. Ошибку  выборки доли предприятий со  среднегодовой стоимостью основных  производственных фондов 39 млн.руб.  и более и границы, в которых  будет находиться генеральная  доля.

Решение:

1 Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства  генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения  признаков единиц, отобранных из генеральной  совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять  два вида ошибок - среднюю  и предельную .

Средняя ошибка выборки - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[ ].

Величина  средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной  и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле

                                                                                        

 

где – общая дисперсия выборочных значений признаков,

       N – число единиц в генеральной совокупности,

        n – число единиц в выборочной совокупности.

Для предельной ошибки выборочной средней  выражается формулой

                                                                              

        По условию выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, так как выборка 20% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает: 30: 0,2 = 150, т.е 150 предприятий.

                   Значения  средней  , а также дисперсии

              = 34,733 (млн.руб.) ,    = 70,329 (млн.руб)

 

Построим таблицу, где представим необходимые значения  параметров,

Р	t	n	N
0,683	1,000	30	150	38,6	81,351

Расчет средней ошибки выборки:

,

 

Расчет  предельной ошибки выборки:

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

                                           ,                                

 

                                                        

 

          Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

                                                      38,6 – 2,169 38,6+2,169

 

36,431 млн.  руб. 

40,769 млн.руб.

         Вывод. На основании проведенного выборочного обследования по 30 однородным предприятиям одной из отраслей промышленности за год с вероятностью 0,683 можно утверждать, что ошибка выборки среднегодовой стоимости основных фондов для генеральной совокупности  составит 1,369 млн.руб., а среднегодовая стоимость основных производственных фондов предприятий находится в пределах от 36,431млн. руб. до 40,769 млн.руб.

 

2   Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

                                                                                   

где  m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

        n – общее число единиц в совокупности.

По условию  Задания 3 исследуемым свойством  является равенство или превышение среднегодовой стоимости основных фондов предприятий величины 44 млн.руб.

Число предприятий с заданным свойством  определяется из табл. 1, таких предприятий 9:

m=9

Расчет выборочной доли:

Для собственно-случайной  и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

                                                  

где  w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

       (1-w) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

        N – число единиц в генеральной совокупности,

        n– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная  ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:

                                                      

 

0,225

0,375

или

22,5%

37,5%

 

               Вывод. С вероятностью 0,683 можно утверждать, что в генеральной совокупности предприятий доля предприятий со среднегодовой стоимостью основных фондов 44 млн.руб. и более будет находиться в пределах от 22,5% до 37,5%.

                 

 

 

 

 

 

 

 

   Задание 4.

Имеются следующие  данные по отрасли:

Показатели	Базисный период	Отчетный период
Выпуск продукции, млн.руб.	14,4	15,8
Среднесписочная численность работников, чел.	130	125
Среднегодовая стоимость  основных производственных фондов, млн.руб.	16,0	18,0

 

Определите:1. Уровни производительности труда, эффективности использования основных производственных фондов (фондоотдачи), фондовооруженности труда за каждый период.

2.   Абсолютное и относительное изменение  всех показателей в отчетном  периоде по сравнению с базисным.

Результаты  расчетов представьте в таблице.

3.  Взаимосвязь  индексов фондоотдачи, фондовооруженности и производительности труда.

4.  Абсолютное  изменение выпуске продукции  в результате изменения численности  работников, производительности труда  и обоих факторов вместе.

Сделайте  выводы.

Решение:

По данным таблицы 12 найдем уровни производительности труда, эффективности использования  основных производственных фондов (фондоотдачи), фондовооруженности труда за каждый период.

1.Уровень производительности труда найдем по формуле (14) из теоретической части:         ,где

W – Производительность труда,

Q – Выпуск продукции,

T – Среднесписочная численность работников

Для базисного периода:

                                      (тыс.руб./чел.)

                                         Для отчетного периода:

                                      (тыс.руб./чел.)

Индекс  производительности труда:

 или 114,1%.

Вывод: Производительность труда в отчётном периоде по сравнению с базисным повысилась на 14,1%, что в абсолютном изменении составляет 15,63 тыс. руб. на одного работника (126,4 – 110,77 =15,63).

4.1.2. Фондоотдача основных фондов, определяется по формуле (3) из теоретической части:

f= ,                                               

где  f- фондоотдача,

     Q – выпуск продукции;

     Ф – среднегодовая стоимость  основных фондов.

Для базисного периода:

                                                                (тыс.руб.)

Для отчетного периода:

                                      (тыс.руб.)

4.1.3. Фондовооружённость труда определяется по формуле (13) из теоретической части:

                                ,      где

– Фондовооружённость труда,

       Ф – среднегодовая стоимость основных фондов,

          T – Среднесписочная численность работников

Для базисного периода:

 (тыс.руб./чел.)

Для отчетного периода:

(тыс.руб./чел.)

2  Абсолютное и относительное изменение показателей найдем через следующие показатели динамики:

Абсолютный прирост(сокращение) (∆_у)  –

абсолютное  отклонение – характеризует, на сколько в абсолютном выражении увеличился или уменьшился уровень ряда за определенный промежуток времени. Показатель рассчитывается как разница между сопоставляемыми уровнями:      ∆_у = у_i – у_о,                                                                           

Значение  показателя со знаком “+” означает увеличение уровня, со знаком “-“ –  снижение.

Темп роста (снижения) Т_р (Т_сн) – относительное отклонение, показатель, показывает сколько процентов составляет один уровень от другого, принятого за базу. Выражается в процентах:

                                                                                                               

Темп прироста (сокращения) Т_пр (Т_сокр)  – относительное отклонение, показатель, характеризующий относительную скорость изменения уровней ряда в единицу времени. Он показывает, на сколько процентов один уровень больше (или меньше) другого, принятого за базу сравнения. Рассчитывается путем вычитания 100% из соответствующего темпа роста.

                                                    Т_пр = Т_р-100 (%)                         

                                                    Т_сокр = Т_сн-100 (%)                     

Результаты  расчетов представлены в таблице:

Абсолютное и относительное  изменение всех показателей в  отчетном периоде по сравнению с  базисным.

№ строки	Показатель	Период		Изменения
		Базис- ный	Отчет- ный	Абсолют-ное отклонение (+;-)	Относительное отклонение %
					Темп роста (снижения), Тпр	Темп прироста (сокращения), Тр (+;-)
А	Б	1	2	3=2-1	4=2:1*100	5=4-100%
1	Выпуск продукции, млн.руб.	14,4	15,8	1,4	109,7	9,7
2	Среднесписочная численность работников, чел.	130	125	-5	96,2	-3,8
3	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	16,0	18,0	2	112,5	12,5
4	Уровень производительности труда, тыс.руб./чел	110,77	126,4	15,63	114,1	14,1
5	Отдача всех основных производственных фондов, млн. руб.	0,9	0,88	-0,02	97,5	-2,5
6	Фондовооруженность, тыс.руб./чел	123,07	144,00	20,93	117,07	17,07

 

 

 

 

3. Между индексами фондовооруженности работников, фондоотдачи основных фондов и производительности труда существует тесная взаимосвязь. Если перемножить результаты фондоотдачи и фондовооружённости, получим результат уровня производительности труда одного работника.

 

I *  I    ₌ I   _,след                                                          

I Фо  *  I Фв   ₌  I W                                                                  

Проверяем тождество:

1,141 = 1,171*0.975

1,141 = 1,141

 

Вывод: Производительность труда в отчётном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 15,63 тыс.руб/чел. (14,1%), в том числе из-за увеличения фондовооружённости труда на 20,93 тыс.руб/чел. (17,1%) и уменьшения фондоотдачи на 20 тыс.руб. (2,5%).

      4 Абсолютное изменение выпуска продукции в результате изменения численности работников вычислим по формуле:                            

 

                                                                                                               

  (125 - 130) * 0,110 = - 0,55    -  за счет снижения  численности работников на 5 человек  выпуск продукции снизился на 0,55 млн. руб. в отчетном периоде  по сравнению с базисным.

 

Абсолютное  изменение выпуска продукции  в результате изменения производительности труда вычислим по формуле:

 

                            

 

(126,4 –110,7) * 125 = 1,95  -  за счет роста производительности  труда на 15,63 тыс.руб/чел. в отчетном периоде по сравнению с базисным  выпуск продукции возрос на 1,95   млн. руб.

 

Абсолютное  изменение выпуска продукции  в результате изменения обоих  факторов вместе:                                                       

                           + = 1,95   - 0,55 = 1,4   -

выпуск продукции  в целом возрос на 1,4млн. руб.

 

Абсолютное  изменение выпуска продукции  в отчетном периоде по сравнению  с базисным:

                              

                               

    

Вывод: Увеличение выпуска продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным составило в абсолютном выражении 1,4 млн. руб., в том числе за счет:

-  увеличения  производительности труда на 15,63 тыс.руб/чел. выпуск продукции увеличился  на 1,95 млн. руб,

- снижения  численности работников на 5 человек  – произошло  снижение выпуска  продукции на 0,55 млн. руб.