Контрольная работа "Физике"

1. Кинематика поступательного движения. Система отсчета. Длина пути. Вектор перемещения.

Совокупность  тела отсчета и часов называется системой отсчета. С системой отсчета связывают систему координат. Наиболее часто

используется декартова система координат.

Линия, описываемая  точкой при движении в пространстве,

называется траекторией

 точки.

В зависимости от формы  траектории движение бывает прямолинейным

и криволинейным. Для того чтобы найти уравнение траектории точки, надо в уравнениях (1) и (2) исключить  время. Пусть материальная точка  переместилась вдоль некоторой  траектории из положения А в положение

В. и – радиусы вектора точек А и В. Вектор = -  , проведенный из начального положения точки в конечное положение, называется вектором перемещения или перемещением.

Перемещение является приращением радиус-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени.

Длина отрезка траектории АВ, пройденного материальной точкой,

называется длиной пути . Надо помнить, что перемещение - вектор,

а длина пути - скаляр.

При прямолинейном движении модуль перемещения равен пройденному

пути:

=

 

При криволинейном движении:

<

 

Но если перемещение происходит в течение бесконечно малого

промежутка времени, т.е. когда стремится к нулю, то в этом случае

модуль бесконечно малого перемещения можно принять равным бесконечно малой длине пути для  любого произвольного движения:

=                                                                 (3)

 

Если материальная точка  участвует в нескольких перемещениях, то результирующее перемещение равно векторной сумме перемещений, совершаемых материальной точкой в каждом из движений в отдельности:

 

=

 

 

2. Скорость. Средняя  скорость. Мгновенная скорость. Ускорение  и его составляющие.

Для характеристики быстроты и направления движения вводится

векторная величина – скорость. Пусть материальная точка в момент времени t находилась в положении А, её положение определяется  радиус-вектором (t).

При движении в течение  малого промежутка времени  точка пройдет по траектории путь и получит элементарное перемещение .

1. Средней скоростью перемещения   называется отношение приращения радиус-вектора точки к промежутку времени :

 

 

 

Направление вектора средней  скорости совпадает с направлением

Вектор средней  скорости – отношение перемещения к промежутку времени: 

;; ; 

Вектор средней скорости характеризует изменение положения  радиус-вектора.

 

 

 

2. Мгновенная скорость – это скорость точки в данный момент времени в данной точке траектории.

Для определения мгновенной  скорости необходимо найти перемещение точки за бесконечно малый промежуток времени . При средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью :

=                                           (4)

 

Таким образом, мгновенная скорость есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения.

 

 3. Средняя скорость пути (средняя путевая скорость).

Средняя путевая скорость – это физическая величина, равная отношению пути к промежутку времени, за который этот путь пройден:

 

 

Средняя путевая скорость – величина скалярная, определяющая какое расстояние проходит точка в единицу времени по траектории.

 

 

 

 

 
 
4. В случае неравномерного движения для описания изменения скорости с течением времени вводят физическую величину – ускорение.

 Ускорение характеризует быстроту изменения скорости по величине и направлению. Рассмотрим общий случай, когда скорость меняется по величине и направлению. Пусть материальная точка в положении А имела скорость . Через промежуток времени точка перешла в положение

В, где ее скорость оказалась равной ,

 или

 

 

 

 

 

 

 

3. Кинематика вращательного движения. Угловые скорость и ускорение. Связь между линейными и угловыми величинами

Угловой скоростью вращения твердого тела называется численно равный первой производной от угла поворота по времени,   

=  

 

и направленный вдоль оси  вращения таким образом, чтобы из его конца вращение тела было видно  происходящим против часовой стрелки. Направление вектора w совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом. 

 

Линейная  скорость v произвольной точки М вращающегося тела определяется как векторное произведение по формуле Эйлера 

 

 

 = [,] 

 

где r - радиус-вектор, проведенный в точку М из произвольной точки О оси вращения тела. Численное значение  линейной скорости точки М прямо пропорционально ее расстоянию R от оси вращения: 

 

v = r sin  = R 

 

где  - угол между векторами  и r.  

 

Угловым ускорением изменения  во времени вектора угловой скорости тела. При вращении вокруг неподвижной  оси направление вектора w сохраняется и 

 

e =  =  

 

причем вектор e совпадает но направлению с w в случае ускоренного вращения (e > 0) и противоположен ему по направлению в случае замедленного вращения (e < 0)

Линейное ускорение произвольной точки М (r) вращающегося тела равно 

 

 

 =  = d/dt | r | = | er | + |  | r ||

 

4. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела. Законы Ньютона. Масса. Сила.

Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается параллельно самой себе. Все точки тела, движущегося поступательно, в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения, а их траектории полностью совмещаются при параллельном переносе. Поэтому кинематическое рассмотрение поступательного движения абсолютно твердого тела сводится к изучению движения любой его точки. В самом общем случае поступательно движущееся твердое тело обладает тремя степенями свободы. 

 

Количественной мерой  инертности является масса тела. Отношение  масс взаимодействующих тел равно  обратному отношению модулей  ускорений. Второй закон Ньютона  устанавливает связь между кинематической характеристикой движения – ускорением, и динамическими характеристиками взаимодействия – силами.   , или, в более точном виде,   , т.е. скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на него силе. При одновременном действии на одно тело нескольких сил тело движется с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые возникли бы при воздействии каждой из этих сил в отдельности.

По второму закону Ньютона  независимо от того, находилось ли тело в покое или двигалось, изменение  его скорости может происходить  только при взаимодействии с другими  телам. Если на тело массой m в течение времени t действует сила F и скорость его движения изменяется от V0 доV, то ускорение тела равно   . На основании второго закона Ньютона для силы F можно записать    _=>  . Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. 

 

Из того, что тела независимо от своей массы падают с одинаковым ускорением, следует, что сила, действующая  на них, пропорциональна массе тела. Эта сила притяжения, действующая  на все тела со стороны Земли, называется силой тяжести. Сила тяжести действует  на любом расстоянии между телами.

Сила, возникающая на границе  взаимодействия тел при отсутствии относительного движения тел, называется силой трения покоя. Сила трения покоя  равна по модулю внешней силе, направленной по касательной к поверхности  соприкосновения тел и противоположна ей по направлению.

Сила, возникающая в результате деформации тела и направленная в  сторону, противоположную перемещениям частиц тела при этой деформации, называется силой упругости. 

 

Третий  закон Ньютона.

При любом взаимодействии двух тел отношение модулей приобретенных  ускорений постоянно и равно  обратному отношению масс. Т.к. при  взаимодействии тел векторы ускорений  имеют противоположное направление, можно записать, что   .

По второму закону Ньютона  сила, действующая на первое тело равна , а на второе . Таким образом,  . Третий закон Ньютона связывает между собой силы, с которыми тела действуют друг на друга. Если два тела взаимодействуют друг с другом, то силы, возникающие между ними приложены к разным телам, равны по величине, противоположны по направлению, действуют вдоль одной прямой, имеют одну и ту же природу.  

Второй закон Ньютона  устанавливает связь между кинематической характеристикой движения – ускорением, и динамическими характеристиками взаимодействия – силами. , или, в более точном виде,   , т.е. скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на него силе.

Первый закон Ньютона, он же закон инерции, гласит: “существуют  такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела”.

5. Закон сохранения импульса. Центр масс.

 Закон  сохранения момента импульса.

Векторное произведение радиус-вектора на импульс – момент импульса.

r – радиус  вектор, идущий из начала координат, импульс, который мы и определяем.

В замкнутой системе момент импульса сохраняется.

[rF] – Момент силы

Для вращательного  движения очень важно понятие  центра масс.

Центр масс – это точка, положение которой описывается радиус-вектором rc, который вычисляется по формуле:

(центром  инерции или центром масс системы  материальных точек называется  точка С(Xi,Yi,Zi), радиус-вектор которой связан с массами mi и радиус-векторами всех n точек соотношением (формула выше)).

Система отсчета центра масс – это такая система отсчета, в которой центр масс покоится.

Система материальной точки – это такая система отсчета, в которой сама материальная точка считается неподвижной.

Закон сохранения импульса  (ЗСИ).

Полный вектор импульса замкнутой системы есть величина постоянная при любых взаимодействиях  внутри данной системы. Только внешние  силы изменяют импульс системы.

 

6. Удар абсолютно упругих и неупругих тел.

ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные изменения. Во время столкновения тел между ними действуют кратковременные ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна. Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью законов Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все промежуточные значения этих величин.

С ударным взаимодействием тел  нередко приходится иметь дело в  обыденной жизни, в технике и  в физике (особенно в физике атома  и элементарных частиц). В механике часто используются две модели ударного взаимодействия – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе  механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит  во внутреннюю энергию тел (нагревание). Примером абсолютно неупругого удара  может служить попадание пули (или снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик с песком массой M, подвешенный на веревках (рис. 1.21.1). Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью   попадает в ящик и застревает в нем. По отклонению маятника можно определить скорость пули. Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через   Тогда по закону сохранения импульса

 

  При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:

 

  Отношение  M / (M + m) – доля кинетической энергии пули, перешедшая во внутреннюю энергию системы:

 

  Эта  формула применима не только  к баллистическому маятнику, но  и к любому неупругому соударению  двух тел с разными массами.  При m << M   почти вся кинетическая энергия пули переходит во внутреннюю энергию. При m = M   – во внутреннюю энергию переходит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы (m >> М) отношение   Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения механической энергии:

где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений следует:

 

  Измеряя  на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость пули υ.

1

Рисунок 1.21.1. Баллистический маятник.

Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел. Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара. При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняетсязакон сохранения механической энергии. Простым примером абсолютно упругого столкновения может бытьцентральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя (рис. 1.21.2). Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.

2

Рисунок 1.21.2. Абсолютно упругий центральный удар шаров.

В общем случае массы m1 и m2 соударяющихся  шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии

 

  Здесь  υ1 – скорость первого шара  до столкновения, скорость второго  шара υ2 = 0, u1 и u2 – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде:

m1υ1 = m1u1 + m2u2.

 

  Мы  получили систему из двух уравнений.  Эту систему можно решить и  найти неизвестные скорости u1 и  u2 шаров после столкновения:

 

  В  частном случае, когда оба шара  имеют одинаковые массы (m1 = m2), первый шар после соударения останавливается (u1 = 0), а второй движется со скоростью u2 = υ1, то есть шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами). Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость (υ2 ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ2 относительно «неподвижной» системы. В этой системе второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей имеет скорость υ1' = υ1 – υ2. Определив по приведенным выше формулам скорости u1 и u2 шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе. Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения. Центральный (лобовой) удар очень редко реализуется на практике, особенно если речь идет о столкновениях атомов или молекул.

При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой. Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударения двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров (рис. 1.21.3).

3

Рисунок 1.21.3. Нецентральное  упругое соударение шаров одинаковой массы. d – прицельное расстояние.

После нецентрального соударения шары разлетаются под некоторым углом  друг к другу. Для определения  скоростей   и   после удара нужно знать положение линии центров в момент удара или прицельное расстояние d (рис. 1.21.3), то есть расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости   налетающего шара. Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей   и  шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При m1 = m2 = m эти законы принимают вид:

 

  Первое  из этих равенств означает, что  векторы скоростей  ,   и   образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, то есть он прямоугольный. Угол между катетами   и   равен 90°.

 

 

7. Центр масс. Закон его  движения. Уравнение движения тела  переменной массы. Формула Циолковского.

Центром масс системы материальных точек называется точка  , радиус-вектор   которой определяется из соотношения

 , (36)

 и   - масса и радиус-вектор  той точки,   - масса системы.

Соответственно  координаты центра масс равны

,   и   . (37)

Для сплошного тела массой   координаты его центра масс

,  ,  , (38)

 - элемент массы  тела,   - координаты этого элемента.

Закон движения центра масс: произведение массы   системы на ускорение   центра масс равно сумме внешних сил, действующих на эту систему

 . (39)

 Уравнение  движения тела переменной массы       

Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением  ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива). 
      Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m–dm, а скорость увеличится до величиныv+dv. Изменение импульса системы за время dt будет равно:

 
где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:

 
      Если на систему действуют внешние  силы, то   или dp = Fdt. Тогда Fdt = mdv + udm, или 
 
                                                                       (2.12) 
 
где член   называют реактивной силой F_p. Если вектор u противоположен v, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится. 
      Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид: 
 
                                                                           (2.13) 
 
Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского. 
      Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая F = 0 и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:

 
откуда

 
или

 
где С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени v=0, а стартовая масса ракеты составляет m₀, то C = u*ln m₀. Следовательно, 
 
                                        (2.14) 
 
      Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского. Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы: 
      а) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса m₀; 
      б) чем больше скорость истечения газов u, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты. 
      Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости v и u намного меньше скорости света c.

 

8. Полная механическая  энергия системы. Закон сохранения  механической энергии.

Полной механической энергией E называют сумму потенциальной и кинетической энергий.E = E_п + E_к.

Сумма кинетической и потенциальной энергий  системы тел называется полной механической энергией системы.	E = Ep + Ek
Учитывая, что при совершении работы A = DEk и, одновременно, A = - DEp, получим: DEk = - DEp или D(Ek + Ep)=0 - изменение суммы кинетической и потенциальной энергий (т.е. изменение полной механической энергии) системы равно нулю.	DEk = - DEp
Значит, полная энергия системы  остается постоянной:   E = Ep + Ek = const. В замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется. (Или: полная механическая энергия системы тел, взаимодействующих силами упругости и гравитации, остается неизменной при любых взаимодействиях внутри этой системы).	E = Ep + Ek = const
Например, для тела, движущегося  под действием силы тяжести (падение; тело, брошенное под углом к  горизонту, вертикально вверх или  движущееся по наклонной плоскости  без трения):  .