Министерство  образования Российской Федерации

Челябинский государственный университет

Институт  экономики отраслей, бизнеса и  администрирования

Кафедра экономики отраслей и рынков

Контрольная работа

По дисциплине: « Математические методы в экономике»

Вариант № 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                 Выполнила: ст. гр.

                                                                 Проверила: преп.

Шатин И.А. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Челябинск

2011 

    Задание 1. Составить линейную оптимизационную модель и решить любым известным способом.

    Фирма выпускает три вида изделий. В  процессе производства используются три  технологические операции. На рис. 1.1 показана технологическая схема  производства изделий.

      Рис. 1. 1 Технологическая схема производства

    Фонд  рабочего времени ограничен следующими предельными значениями: для первой операции – 430 минут, для второй – 460 мин., для третьей – 420 мин. изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1, 2 и 3 составляет 3, 2 и 5 рублей соответственно.

    Построить математическую модель, позволяющую  найти наиболее выгодный суточный объем  производства каждого вида продукции.

    Решение:

    Пусть х₁, х₂ и х₃ – объем выпуска продукции соответственно первого, второго и третьего видов.

    Фонд  времени (ресурсы) имеет ограничение:

    Общая длительность первой операции не может  превышать 430 минут и составляет 1 минута на изделие 1, 2 минуты на изделие 2 и 1 минута на изделие 3. Значит, первое ограничение задачи будет выглядеть следующим образом: х₁ + 2х₂ + х₃ ≤ 430.

    Аналогичным образом составляются ограничения  и по остальным операциям: 3х₁ + 2х₃ ≤ 460 (для операции 2) и х₁ + 4х₂ ≤ 420 (для операции 3).

      Общая прибыль от реализации изделий составит: 3х₁ + 2х₂ + 5х₃. Данная функция является целью задачи и должна стремиться к максимуму. Кроме того, необходимо учитывать неотрицательность переменных задачи, так как объем не может быть отрицательным.

    Таким образом, математическая модель имеет вид:

    Z (x) = 3х₁ + 2х₂ + 5х₃ → max,

    Решим задачу симплексным методом.

    Для этого приведем задачу к каноническому  виду, вводя неотрицательные переменные х₄, х₅ и х₆ так, чтобы неравенства стали равенствами. В целевую функцию данные переменные войдут с нулевым значением, чтобы значение целевой функции не изменилось.

    Z (x) = 3х₁ + 2х₂ + 5х₃ + 0х₄ + 0х₅ + 0х₆→ max,

    Составляем  симплексную таблицу.

    Поскольку среди переменных х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆ имеются три единичных, базисных вектора, для данной задачи можно непосредственно записать опорный план. Выразим х₄, х₅ и х₆ через х₁, х₂ и х₃.

    Полагая, что переменные х₁, х₂ и х₃ равны нулю, получим базовый план:

    Х* = (0; 0; 0; 430; 460; 420), определяемый системой трехмерных единичными переменными х₃, х₄, х₅, которые образуют базис трехмерного векторного пространства.

    Все описные ниже вычисления  приведены  в таблице. Записываем опорное решение  в симплексную таблицу и вычисляем оценки разложений векторов условий по базису этого решения. Данное решение не является оптимальным. Вводим в базис переменную х₂ вместо х₄.

    Таблица 1.1

    В последней симплексной таблице в Z – строке нет отрицательных чисел. Это означает, что найденный опорный план является оптимальным и функция примет значение, равное Z = 1350 руб.

    Следовательно, план выпуска продукции, включающий изготовление 100 изделий вида II и 230 изделий вида III, является оптимальным. При данном плане выпуска изделий полностью используется фонд рабочего времени на проведение операций 1 и 3 и остается неиспользованным 20 минут на операции 2 типа.  
 
 

    Задание 2. Сетевое и календарное планирование

    Построение  структуры сетевого графика, построение календарного графика, расчет и представление  на графике временных характеристик  событий, расчет временных характеристик  работ (N = 1, a = 1, b = 0, c = 3)

    Рис. 2 Сетевое и календарное планирование

    Решение:

    Так как путь (2; 7) и (6; 9) равны нулю, то уберем их из графика.

    Рис. 3 Сетевое и календарное планирование

    Полный  путь – путь из исходной вершины в завершающую.

    Таких путей в графе на рис.1 несколько. Например

    π₁: (1; 2), (2; 5), (5; 7), (7; 10);

    π₂: (1; 2), (2; 5), (5; 7), (7; 8), (8; 9), (9; 10);

    π₃: (1; 3), (3; 5), (5; 6), (6; 8), (8; 9), (9; 10) и т.д.  

     Так как известно время, которое требуется для выполнения каждой работы, то мы можем сосчитать время необходимое для последовательного выполнения всех работ, входящих в путь.

    Для пути это время равно

    π₁: t(1; 2) + t(2; 5) + t(5; 7) + t(7; 10) = 1 + 3 + 4 + 4 = 12

    π₂: t(1; 2) + t(2; 5) + t(5; 7) + t(7; 8) + t(8; 9) + t(9; 10) = 1 + 3 + 4 + 2 + 3 + 10 = 23

    π₃: t(1; 3) + t(3; 5) + t(5; 6) + t(6; 8) + t(8; 9) + t(9; 10) = 10 + 1 + 2 + 3 + 3 + 10 = 29 и т.д.

    Время окончания всех работ проекта (завершение проекта) совпадает с суммой времен работ входящих в самый неблагоприятный  по длительности полный путь.

    Полный  путь называется критическим, если сумма времен выполнения работ в него входящих самая большая среди таких же времен всех других полных путей.

    Поиск критического пути начнем с вычисления ожидаемого времени выполнения событий. Процесс вычисления будет идти по слоям от I – го к X.

    В слое I находится единственная вершина 1. Ей присваиваем время t₁ = 0, это начало выполнения проекта. Переходим к слою II. В этом слое также одна вершина 4, в которую входит единственная дуга (1; 4). Следовательно, вершина 4 может быть выполнена за время t₄ = t₁ + t(1; 4) = 0 + 3 = 3. 

    III слой: t₂ = t₁ + t(1; 2) = 0 + 1 = 1

                   t₃ = t₁ + t(1; 3) = 0 + 10 = 10

    IV слой: t₅ = max {t₂ + t(2; 5); t₃ + t(3; 5)} = max {(1 + 3); (10 + 1)} = max {4; 11} = 11;

    V слой: t₆ = max {t₄ + t(4; 6); t₅ + t(5; 6)} = max{(3 + 1); (11 + 2)} = max {4; 13} = 13.

    t₇ = t₅ + t(5; 7) = (11 + 4) = 15.

    VI слой: t₈ = max {t₇ + t(7; 8); t₆ + t(6; 8)} = max {15 + 2; 13 + 3} = max {17; 16} = 17

    VII слой: t₉ = max {t₄ + t(4; 9); t₈ + t(8; 9)} = max {3 + 2; 17 + 3} = max{5; 20} = 20.

    VIII слой: t₁₀ = max {t₇ + t(7; 10); t₉ + t(9; 10)} = max {15 + 4; 20 + 10} = max {19; 30} = 30.

    Итак, время выполнения проекта равно  30. Величина t_i называется ожидаемым временем наступления события i. Расчеты осуществляются от слоя к слою, т.к. ожидаемое время вершины (события) из данного слоя зависит от времен выполнения работ, заканчивающихся в вершине и ожидаемых времен выполнения вершин предыдущих слоев.

    Теперь, двигаясь назад из завершающей вершины, находим дуги, на которых получилось время  . Эти дуги составят критический путь или критические пути, если их несколько. В нашем примере, t₁₀ = 30 получилось на дуге (9; 10); t₉ = 20 на дуге (8; 9); t₈ = 17 на дуге (7; 8); t₇ = 15 на дуге (5; 7); t₅ = 11 на дуге (3; 5); t₃ = 10 на дуге (1; 3). Таким образом, критический путь: π_КР = 30 на дугах: (1; 3), (3; 5), (5; 7), (7; 8), (8; 9), (9; 10).

    Резервы времени событий. Пусть t_ij означает наибольшее время на всевозможных путях из вершины i в завершающую вершину n, тогда T_in (предельное время наступления события i) можно определить по формуле:

    T_i = min{T_jn – t_ij}, i = N, 2 .

    Интервал [t_j; t_i] называется интервалом свободы, а его длина R(i) = t_i – t_j называется резервом времени события i.

    t_10n = 30, R(10) = 0;

    t_9n = min{t₁₀ – t(9; 10)} = min{30 – 10} = 20, R(9) = t_9n – t₉ = 20 – 20 = 0;

    t_8n = min{t₉ – t(8; 9)} = min{20 – 3} = 17; R(8) = t_8n – t₈ = 17 – 17 = 0;

    t_7n = min{t₁₀ – t(7; 10); t₈ – t(7; 8)} = min{30 – 4; 17 – 2} = min{26; 15} = 15; R(7) = t_7n – t₇ = 15 – 15 = 0;

    t_6n = min{t₈ – t(8; 6)} = min{17 – 3} = 14; R(6) = t_6n – t₆ = 14 – 13 = 1;

    t_5n = min{t₇ – t(5; 7); t₆ – t(5; 6)} = min{15 – 4; 13 – 2} = min{11; 11} = 11; R(5) = t_5n – t₅ = 11 – 11 = 0;

    t_4n = min{t₆ – t(4; 6); t₉ – t(4; 9)} = min{13 – 1; 20 – 2} = min{12; 18} = 12, R(4) = t_4n – t₄ = 12 – 3 = 9;

    t_3n = min{t₅ – t(3; 5)} = min{12 – 2} = 10; R(3) = t_3n – t₃ = 10 – 10 = 0;

    t_2n = min{t₅ – t(2; 5)} = min{11 – 3} = 8; R(2) = t_2n – t₂ = 8 – 1 = 7;

    t_1n = min{t₄ – t(1;4); t₃ – t(1; 3); t₂ – t(1;2)} = min{3 – 3; 10 – 10; 1 – 1} = 0; R(1) = t_1n – t₁ = 0.

    Полученные результаты сведём в таблицу и распишем ранние и поздние сроки начала и окончания работ.

    Таблица 2.1

    Ранние  и поздние сроки выполнения работ

     Задание 3.

    Самостоятельно  придумать и решить задачу по оценке эффективности стратегий, принятия решений в условиях неопределенности по критериям Вальда, Лапласа, Сэвиджа и Гурвица.

    Задача 

    Торговая  фирма разработала несколько  вариантов плана продаж товаров  на предстоящей ярмарке с учетом конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели дохода представлены в таблице.

    1. Определить оптимальную стратегию фирмы в продаже товаров на ярмарке;

    2. Если существует риск (вероятность реализации плана П₁ – 35%, П₂ – 25%, П₃ – 40%), то какую стратегию фирме следует считать оптимальной?

    Решение:

    1. а) Критерий Вальде. Рекомендуется  применять максиминную стратегию.  Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет  действовать наихудшим для человека образом.

    Фирме целесообразно использовать стратегию  П₁.

    б) Критерий максимума. Критерий является оптимистическим, считается, что природа  будет наиболее благоприятна для  человека.

    Фирме целесообразно использовать стратегию  П₂.

    в) Критерий Севиджа.

    Максимальный  элемент в первом столбце – 6, во втором и третьем – 5.

    Элементы  матрицы рисков находятся из выражения: r_ij = max(a_ij) – a_ij, откуда r₁₁ = 6 – 4 = 2; r₁₂ = 5 – 3 = 2; r₁₃ = 5 – 5 = 0;

         r₂₁ = 6 – 6 = 0; r₂₂ = 5 – 2 = 3; r₂₃ = 5 – 3 = 2;

          r₃₁ = 6 – 2 = 4; r₃₂ = 5 – 5 = 0; r₃₃ = 5 – (– 2) = 7.

    Матрица рисков имеет вид: .

    min {max (max(a_ij) – a_ij)} = min {2; 3; 7} = 2 – стратегия П₁.

    2. Критерий Гурвица. , где

    α – степень оптимизма.

    П₁: 0,35·min (4; 3; 5) + (1 – 0,35)·max (4; 3; 5) = 0,35·3 + 0,65·5 = 4,3

    П₂: 0,25·min (6; 2; 3) + (1 – 0,25)·max (6; 2; 3) = 0,25·2 + 0,75·6 = 5,0

    П₃: 0,4·min (2; 5; – 2) + (1 – 0,4)·max (2; 5; – 2) = 0,4·(– 2) + 0,6·5 = 2,2

    max (4,3; 5,0; 2,2) = 5 – стратегия П₂.

    Так как количество стратегий одинаково, то фирме без разницы, какую стратегию  выбирать – П₁ или П₂.