Контрольная работа по дисциплине "Математика". 2

Задача 1.

10 вариантов  контрольной работы, написанные  каждый на отдельной карточке, перемешиваются и распределяются  случайным образом среди 8 студентов, сидящих в одном ряду, причем  каждый получает по одному  варианту. Найти вероятности следующих  событий:

A = {варианты с номерами 1 и 2 останутся неиспользованными}

B = {варианты 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам}

C = {будут распределены последовательные номера вариантов}

 

Решение:

P = , n = A108

1) событие A = {варианты с номерами 1 и 2 останутся неиспользоваными}

m = 8!   P(А) =

2) Событие B = {варианты с номерами 1 и 2 достанутся сидящим рядом студентам}

Один вариант можно выбрать единственным способом, 2 вариант - единственным способом, остальные 6 вариантов можно выбрать A86 способами.

m = 1∙1∙ A86         P(В) =

3) Событие C = { будут распределены последовательные номера вариантов}

m = 3∙8!

P(С) =

 

Ответ: P(А) = 0,022,  P(В) = 0,011,    P(С) = 0,1,    P(D) = 0,067

 

 

Задача 2.

На обувной фабрике в отдельных цехах производятся подметки, каблуки и верхи ботинок. Дефективными оказываются 0,5% каблуков, 2% подметок и 4% верхов. Произведенные каблуки, подметки и верхи случайно комбинируются в цехе, где шьются ботинки. Найти вероятность того, что изготовленная пара ботинок будет содержать дефекты? Не будет содержать дефекты? Будет хотя бы один дефект?

 

Решение:

р1 = 0,995 – вероятность изготовления качественного каблука = событие К


q1 = 0,005 – вероятность изготовления бракованного каблука = событие

 

р2 = 0,98 – вероятность изготовления качественной подметки = событие П


q2 = 0,02 – вероятность изготовления бракованной подметки = событие

 

р3 = 0,96 – вероятность изготовления качественного верха = событие В


q3 = 0,04 – вероятность изготовления бракованного верха = событие

 

1) Событие А = {изготовленный ботинок не содержит дефектов}, А = К∙П∙В

Так как события К, П, В независимы друг от друга, то вероятность совмещения этих событий

р(А) = р(К)∙р(П)∙р(В) = 0,995∙0,98∙0,96 = 0,936

Событие = {изготовленная пара ботинок не содержит дефектов} состоит из совмещений событий (АА): р = р(А)∙р(А) = (0,936)2 = 0,876

2) Вероятность противоположного события: {изготовленная пара ботинок содержит дефекты} равна: q = 1 – p = 1 – 0,876 = 0,124

3) Будет  хотя бы один дефект?

 р = 1 – р1∙р2∙р3 = 1 – 0,995∙0,98∙0,96 = 1 – 0,936 = 0,064

 

 

Задача 3.

Всхожесть семян некоторого растения в среднем составляет 70%. Посеяно 10 семян. Какова вероятность того, что взойдут: а) ровно 8 семян; б) по крайней мере 8 семян? Найти вероятность наивероятнейшего числа взошедших семян.

Решение:

Вероятность всхожести семян р = 0,7. q = 0,3,  n  = 10.

а) р10(8) = С108∙р8∙q2 = С102∙р8∙q2 = ∙0,78∙0,32 = 0,233

б) р10(k ≥ 8) = р10(k = 8) + р10(9) + р10(10) = 0,233 + С109∙р9∙q1 + С1010∙р10∙q0 = 0,233 + 10∙0,79∙0,3 + +1∙0,710 = 0,233 + 0,121 + 0,028 = 0,382

в) np – q ≤ k0 ≤ np + q

k0 - наивероятнейшее число (целое) взошедших семян, np = 10∙0,7 = 7.

6,7≤ k0 ≤ 7,7   k0 = 7

Pn(k0) = р10(7) = С107∙р7∙q3 =120∙0,77∙0,33 = 0,267

 

Ответ: р10(8) =0,233; р10(k ≥ 8) = 0,382;  р10(k = 7)= 0,267

 

Задача 4.

ОТК проверяет 475 изделий на брак. В среднем годные изделия составляют 95%. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число бракованных изделий среди проверенных.

 

Решение:

n = 475

Если А = {изделие годное}, то р(А) = 0,95,  q(А) = 0,05,   γ = 0,95

Согласно интегральной теореме Лапласа:

р(| – р |≤ ε) ≈ 2Ф , где m – число бракованных изделий в партии из n изделий.

р = q(А) – вероятность появления бракованного изделия.

Тогда – ε ≤ – р ≤ ε; – ε∙n ≤ m –n р ≤ ε∙n;  nр – ε∙n ≤ m ≤ nр+ ε∙n;

n∙(p – ε) ≤ m ≤ n∙(р+ ε)

Найдем ε. Известно, что р(| – р |≤ ε) = 0,95. Значит 2Ф = 0,95, Ф = 0,475.

= 1,96,  ε = 1,96∙0,01 = 0,0196

475∙(0,05 – 0,0196) ≤ m ≤ 475∙(0,05 + 0,0196)

14,44 ≤ m ≤ 33,06

 

Ответ: с вероятностью 0,95 можно утверждать, что число бракованных изделий в партии из 475 изделий находится в границах от 14 до 33 шт.

 

Задача 5.

Партия, насчитывающая 50 изделий, содержит 6 бракованных. Из всей партии случайным образом выбрано 5 изделий. Составить закон распределения случайной величины Х – числа бракованных изделий в выборке. Составить функцию распределения Х и вычертить ее график. Рассчитать Мо(х) и D(x).

 

Решение:

Из пяти, выбранных случайным образом изделий, может быть бракованных или 0, или 1, или 2, или 3, или 4, или 5, т.е. СВ Х – число бракованных изделий в выборке, может принимать значения от 0 до 5.  х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 = 3, х5 = 4, х6 = 5. Из 50 изделий – 44 стандартные и 6 бракованных.

р1(х1 = 0) =

 р2(х2 = 1) =

р3(х3 = 2) =

р4(х4 = 3) =  р5(х5 =4) =

р6(х6 =5) =

Закон распределения случайной величины Х:

хi

0

1

2

3

4

5

∑pi

pi

0,513

0,384

0,094

0,0087

0,0003

0

1,0


 

Функция распределения Х: F(x) = p(X < x).


 

 

  0,  если         x ≤ 0


 0,513  если  0 < x ≤ 1

 0,897 если  1 < x ≤ 2

F(x)=  0,991  если  2 < x ≤ 3

 0,9997если  3 < x ≤ 4

1,0  если        x> 4

 

 

Математическое ожидание СВ Х:

MO(x) = ∑xipi = 0∙0,513 + 1∙0,384 +2∙0,094 + 3∙0,0087 +4∙0,0003 = 0,384 +0,188 +0,0261 +0,0012= 0,5993 ≈ 0,6

MO(x) =0,6

Дисперсия СВ Х:

D(x) = ∑xi2∙ pi – [MO(x)]2=1∙0,384 +4∙0,094 + 9∙0,0087 +16∙0,0003 – (0,5993)2 = 0,384 +0,376 + +0,0783 +0,0048 – 0,3592 = 0,484

 

Ответ: MO(x) =0,6;   D(x) = 0,484.

 

Задача 6.

Плотность вероятности случайной величины Х задана следующим образом:


a cos2x при | x | ≤ π/2

f(x) =

0, при |x | > π/2

 

Найти вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная величина Х примет значения больше, чем π/4. Предварительно следует найти постоянную а.

 

Решение:

1) Постоянную а находим из условия:

    =>    

=

=1        a = 2/π

Вероятность того, что в одном испытании СВ Х примет значение x > π/4 равна:

р1(х> π/4)= 1 - р1(х< π/4)= 1 -

Искомая вероятность: р = р12 = 0,092 = 0,0081

 

Задача 7.

Стрельба из орудия ведется вдоль определенного направления. Средняя дальность полета снаряда 10000 м.  Предполагая, что дальность полета d распределена по нормальному закону с дисперсией 1600 м2, найдите, какой процент выпускаемых снарядов дает перелет от 100 до 200 м.

 

Решение:

a = 10000 см,  σ = м2

k1 = a +100;     k2 = a + 200;

р(α < x < β) = p(a + 100 < x < a + 200) = Ф - Ф = Ф(200/40) – Ф(100/40) = Ф(5) – Ф(2,5) = 0,5 – 0,4938 = 0,0062

Ответ: 0,6% снарядов дадут перелет от 100 до 200 метров.

 

Задача 8.

Оценить вероятность того, что число лиц, имеющих высшее образование, в группе из 800 человек отличается от своего математического ожидания меньше, чем на 30.

 

Решение:

Имеем: n = 800; ε = 30, ε2 = 900

р(|x – M(x)| < 30) ≥ 1-

M(x)= np; D(x) = npq

Так как p и q неизвестно, учитываем, что p∙q ≤ 0,25

D(x) ≤ 800∙0,25  D(x) ≤ 200

р(|x – M(x)| < 30) ≥ 1-

р(|x – M(x)| < 30) ≥ 0,078

 

Задача 9.

Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,002.  Найти вероятность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет более, чем на трех веретенах.

 

Решение:

N = 1000,   p = 0,002,    np = 2 < 10

P1000(k > 3) = 1 – p1000(k ≤ 3) = 1 – p1000(0) – p1000(1) – p1000(2) – p1000(3);

pn(k) = 1 - - - - = 1 – 0,1353(1 +2 +2 +4/3) =

= 1-0,857 = 0,143    

Ответ: вероятность того, что в течение 1 мин обрыв нити произойдет более, чем на трех веретенах, равна 0,143.

 

Задача 10.

Телефонный номер состоит из шести цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

 

Решение:

 

Ответ: р = 0,1512

 

 

Типовой расчет №2

Задача 1.

Дано распределение абонентов по потребляемой мощности электроэнергии (квт.ч):

Интервалы мощности

5-10

10-15

15-20

20-25

25-30

30-35

35-40

40-45

Число абонентов

3

13

70

190

290

230

130

62


Требуется:

  1. построить гистограмму и полигон относительных частот;
  2. найти эмпирическую функцию распределения и вычертить ее график;
  3. рассчитать моду и медиану;
  4. пользуясь упрощенным методом (методом «условных вариант»), вычислить выборочную среднюю дисперсию, стандартное отклонение, коэффициент вариации, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
  5. по виду гистограммы и полигона относительных частот, по величине выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса сделать выбор закона распределения случайной величины Х – потребляемой мощности электроэнергии;
  6. найти точечные оценки параметров выбранного закона распределения.

Решение:

1) относительной  частотой события называется величина  где n = ∑ni = 3 +13+

+70 +190 +290 +230 +130 +62 = 988

Интервальное распределение в относительных частотах:

Интервалы мощности

5-10

10-15

15-20

20-25

25-30

30-35

35-40

40-45

∑ ωi

ωi

0,003

0,013

0,071

0,192

0,204

0,233

0,132

0,062

1,0


 

Дискретное распределение в относительных частотах (по середине каждого интервала):

xi

7,5

12,5

17,5

22,5

27,5

32,5

37,5

42,5

∑ ωi

ωi

0,003

0,013

0,071

0,192

0,204

0,233

0,132

0,062

1,0


 

Графиком интервального распределения будет гистограмма относительных частот.

h = 5 – ширина интервала.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для дискретного распределения строят полигон относительных частот:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Эмпирическая  функция распределения равна относительной частоте события Х < х:

F*(x) = ωi , где  ωi – относительная частота события

Х ≤ хi.


 

0,

если х ≤

5

 

0,003

если х ≤

10

 

0,016

если х ≤

15

 

0,087

если х ≤

20

 

0,279

если х ≤

25

F*(x)=

0,573

если х ≤

30

 

0,806

если х ≤

35

 

0,938

если х ≤

40

 

1,0

если х ≤

45

 

1,0

если х >

45


 

 

 

3)

Мо = 28

Ме = 29

 

4) Переходим к «условным» вариантам для упрощения вычислений характеристик распределения:

ui = (xi – c):h, где c = 27,5; h = 5.

Распределение СВ  х в «условных» вариантах:

ui

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

∑

ωi

0,003

0,013

0,071

0,192

0,294

0,233

0,132

0,062

1,0

ui∙ ωi

-0,012

-0,039

-0,142

-0,192

0

0,233

0,264

0,186

0,298

ui2∙ ωi

0,048

0,117

0,284

0,192

0

0,233

0,528

0,558

1,96

ui3∙ ωi

-0,192

-0,351

-0,568

-0,192

0

0,233

1,056

1,674

1,66

ui4∙ ωi

0,768

1,053

1,136

0,192

0

0,233

2,112

5,022

10,516


 

= 0,298 = 0,3;    ( )2 = 0,09;     = 1,96;     = 1,66;     = 10,52

Выборочная средняя: 0,3∙5 + 27,5 = 29

Выборочная дисперсия: (1,96 – 0,09)∙25 = 46,75

Стандартное отклонение: 6,8

Коэффициент вариации: 23,4%

Коэффициент асимметрии:

Коэффициет эксцесса:

=

5) По виду гистограммы и полигона относительных частот, по величине выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса делаем предположение о нормальном законе распределения СВ х – потребляемой мощности.

6) Точечной  оценкой для параметра «а» нормального распределения служит выборочная средняя а = = 29,5. Точечной оценкой параметра σ нормального распределения служит «исправленное» стандартное отклонение σ = = 6,8.

 

Задача 2.

Предполагая, что случайная величина Х из задачи 1 распределена по нормальному закону, записать функцию распределения и функцию плотности Х. Найти интервальные оценки параметров распределения Х, приняв за доверительную вероятность 0,95.

 

Решение:

Для нормального распределения:

1) Функция плотности Х:

;

2) Функция распределения: F(x) = 0,06

3) Интервальными  оценками являются доверительные интервалы, которые с вероятностью 0,95 содержат истинное значение параметра.

Доверительный интервал для а:

- ≤ а ≤ + ,  

Параметр t0,95;988 определим по таблице:

t = 1,96

= 1,96∙ = 0,4

28,6 ≤ а ≤ 29,4

 

Доверительный интервал для σ:

σ(х)(1 – qγ,n) ≤ σ ≤ σ(х)(1 + qγ,n)

Параметр q0,95;988 находим по таблице: q0,95;988 = 0,089

6,2 ≤ σ ≤ 7,4

 

 

Задача 3.

Выборочным путем проверено качество 100 деталей из партии 5000 шт. Среди них 3% оказалось нестандартных. Определить границы, в которых заключена доля нестандартных деталей во всей партии, если результат необходимо гарантировать с вероятностью, равной 0,9545. Решить задачу при условии: а) выборка повторная; б) выборка бесповторная.

 

Решение:

Имеем: n = 1000, N = 5000, n/N = 0,2;   рв = р  = 0,03 – вероятность того, что деталь нестандартна.

γ = 0,9545, Ф(t) = 0,9545:2 = 0,4773, t = 2,0

а) Выборка повторная. Предельная ошибка выборочной доли нестандартных изделий:

Δ =

0,02 ≤ рг ≤ 0,04

При повторной выборке доля нестандартных деталей в партии из 5000 штук с вероятностью 0,9545 находится в границах от 20% до 40%.

б) Выборка бесповторная.

0,02 ≤ рг ≤ 0,04

При бесповторной выборке доля нестандартных деталей в партии из 5000 штук с вероятностью 0,9545 находится в границах от 2% до 4%.

 

Задача 4.

 Проверить, используя критерий χ2 гипотезу о согласии наблюдений, представленных в задаче 1, с законом нормального распределения, приняв за уровень значимости 0,05.

 

Решение:

Критерий согласия χ2набл. = , где fi – теоретическая частота попадания СВ Х в каждый интервал.

Если СВ Х распределена по нормальному закону, то fi = pi∙n = 988∙pi, где pi, - вероятность попадания СВ Х в тот или иной интервал.

pi, = Ф(zi+1) – Ф(zi), где zi =

Рабочая таблица для вычислений: = 29; = 6,8

Границы групп по х 

ni

Границы групп по z

Ф(z) по границам

p

fi

Ci2

-∞;

15

16

-∞;

-2,06

-0,5;

-0,4803

0,020

19,0

0,62

15;

20

70

-2,06;

-1,32

-0,4803;

-0,4066

0,074

73,0

0,12

20;

25

190

-1,32;

-0,59

-0,4066;

-0,2224

0,184

182

0,35

25;

30

290

-0,59;

0,15

-0,2224;

0,0596

0,282

279

0,43

30;

35

230

0,15;

0,88

0,0596;

0,3106

0,251

248

1,31

35;

40

130

0,88;

1,62

0,3106;

0,4474

0,137

135

0,18

40;

+∞

62

1,62;

+∞

0,4474;

0,5

0,053

52

1,92

   

∑988

        

∑1,0

∑988

∑4,93


 

Группы с n < 5 объединяем с соседними.

Cнабл2 = 4,93.

Для α = 0,05 и числа степеней свободы k = 5 (7 интервалов минус два параметра, определенных по выборке) находим из таблицы критических точек C2 распределения:

C2крит. = 11,1    

Так как Cнабл2 < C2крит, то гипотеза о согласии наблюдений задачи №1 с законом нормального распределения - принимаем.

 

Задача 5.

 Дано распределение предприятий кондитерской промышленности по основным фондам (хi в тыс. ден.ед.) и выпуску продукции (уi в млн. ден.ед.):

 

Х            У     

0-20

20-40

40-60

60-80

80-100

10-30

2

4

2

    

30-50

4

8

4

    

50-70

  

2

4

2

  

70-90

    

2

3

2

90-110

    

1

2

1


 

Требуется:

  1. установить форму корреляционной зависимости между Х и У;
  2. вычислить тесноту связи между Х и У и сделать вывод о степени тесноты и направлении связи;
  3. проверить значимость тесноты;
  4. составить уравнения линий регрессии;
  5. сделать прогноз о выпуске продукции, если основные фонды будут находиться в пределах от 110 до 120 тыс.ден.ед.

 

Решение:

1) Построим  график зависимости условных средних от у (по середине интервалов):

33,3

37,1

53,8

80,0

87

у

10

30

50

70

90



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения линий регрессии будем искать в виде уравнений прямых линий.

 

2) Дополним корреляционную таблицу новыми строками и столбцами для дальнейших расчетов:

 

Х      У

10

30

50

70

90

nх

х∙nх

х2∙nх

nxy∙y∙x

20

2

4

2

    

8

160

3200

4800

40

4

8

4

    

16

640

25600

19200

60

  

2

4

2

  

8

480

28800

24000

80

    

2

3

2

7

560

44800

39200

100

    

1

2

1

4

400

40000

28000

nу

6

14

13

7

3

∑43

∑2240

∑142400

∑115200

у∙nу

60

420

650

490

270

∑1890

      

у2∙nу

600

12600

32500

34300

24300

∑104300

      

 

= 43,95  = 2425,6  = 2609,3 ( )2 = 1931,6

= 52,1  = 3311,6 ( )2 = 2714,4

 

= = 24,4

= = 22,2

Тесноту связи между х и у характеризует выборочный коэффициент корреляции:

 

= 0,6

Связь между х и у тесная (r → 1,0) и прямая: чем больше х, тем больше у.

 

3) Значимость  или случайность выборочного коэффициента корреляции проверяем при помощи критерия Стьюдента:

Тнабл. = 4,8

По таблицам критических точек распределения Стьюдента найдем Ткрит. для 41 степени свободы: при любом уровне значимости:  Ткрит. < Тнабл., т.е. гипотезу о независимости случайных величин х и у отбрасываем. СВ Х и СВ У коррелированны, выборочный коэффициент корреляции значим.

 

4) Уравнения линий регрессии:

У на Х: 

- 43,95 = 0,6∙22,2/24,4∙(х -52,1)  

= 0,54х + 15,5

 

Х на У:

 

-52,1 = 0,6∙24,4/22,2∙(у – 43,95)

= 0,66у + 23

5)

110 тыс. ден.ед. ≤ х ≤ 120 тыс. ден.ед.

110∙0,54 + 15,5 ≤  ≤ 120∙0,54 + 15,5

(75 ≤  ≤ 80,3) млн. ден.ед.

 

 

 

Литература:

 

В.Е. Гмурман

«Теория вероятностей и математическая статистика». М.1999 г.

 

 


Контрольная работа по дисциплине Математика. 2 📙 Контрольная → 🆔 54374

Контрольная работа по дисциплине Математика. 2 📙 Контрольная → 🆔 54374

Контрольная работа по дисциплине "Математика". 2