Контрольная работа по дисциплине "Финансовая математика". 3

2.Найти точный простой процент  и итоговую сумму, если 7 000 денежных  единиц даны взаймы на 100 дней  при годовой процентной ставке 5 %.

P = 7 000 руб.

i = 0,05

t/T = 100/360

Процентные деньги в конце займа I = 7000* 0,05*(100/360) = 97,22 руб.

Общая сумма долга по займу будет равна S = 7000 + 97,22= 7097,22 руб.

 

2. В банк на депозитный счет вложены деньги в сумме 10 тыс. руб. сроком на два года с полугодовым начислением сложных процентов по ставке 25% годовых. Определить наращенную сумму и сравнить ее со случаем, если проценты начисляются ежеквартально.

с полугодовым начислением:

с ежеквартальным начислением:

16,242-16,018=0,224тыс.руб.

При ежеквартальном начислении наращенная сумма больше на 224 рубля.

 

3. Родители решили накопить за 18 лет на образование ребенка 100000 руб. Банк обеспечивает 8% годовых по вкладу. Сколько денег нужно вносить в конце каждого месяца?

 

 

4.Данные по вариантам приведены в таблицах ниже.

1. Найти показатели эффективности NPV (чистая современная стоимость проекта, или чистый приведенный доход), IRR (внутренняя норма доходности), DPP (срок окупаемости), PI (индекс доходности) двух предложенных инвестиционных проектов для каждой из указанных процентных ставок.
2. Сделать вывод об эффективности проектов. Отметить согласованность показателей эффективности в оценке проекта.
3. Описать изменение оценки проекта при изменении процентной ставки.
4. Указать и объяснить зависимость показателей эффективности от процентной ставки.
5. Сравнить проекты по критерию максимального NPV для каждой из указанных процентных ставок и по критерию максимального IRR. Обосновать преимущество выбранного проекта. Объяснить изменение результата сравнения проектов при изменении процентной ставки.
6. Рассчитать для проектов MIRR (модифицированную внутреннюю норму доходности) и установить приемлемость проектов по этому показателю.

 

Таблица 1

 

 

 

 

 

Номер проекта	Ставка	Значения денежного потока за год (Ctk)
		Год (tk)
2	4,0%	-100	-90	20	100	100	30	0	0
12	9,0%	-120	-3 0	-30	110	110	60	40	0

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

1.Найти показатели эффективности NPV (чистая современная стоимость проекта, или чистый приведенный доход), IRR (внутренняя норма доходности), DPP (срок окупаемости), PI (индекс доходности) двух предложенных инвестиционных проектов для каждой из указанных процентных ставок.

 

Чистый приведенный эффект - NPV

Чистая современная стоимость равна:

                         NPV = PV – I0                                              (2)

где  I0 – сумма первоначальных затрат, т.е. сумма инвестиций на начало проекта;

PV – современная стоимость денежного потока на протяжении экономической жизни проекта.

Общая накопленная величина дисконтированных доходов (PV) рассчитывается по формуле:

                          (3)

где r – норма дисконта;

n – число периодов реализации проекта;

CFt – чистый денежный поток платежей в периоде t.

                (4)

Рентабельности инвестиций RI

       Рентабельность  инвестиций – это показатель, позволяющий определить, в какой мере возрастает ценность фирмы (богатство инвестора) в расчете на 1 руб. инвестиций. Этот метод является по сути следствием метода чистой современной стоимости. Для расчета показателя PI используется формула:

            

     (5)

 

Дисконтированный срок окупаемости DPP

      Дисконтированный  срок окупаемости инвестиций  рассчитывается по

формуле:

                        DPP= Ic/(( PV/(1+r)n) (6)

Дисконтированные оценки срока окупаемости всегда больше простых оценок, т.е. DPP и PP.

Когда PV перекрывает Ic, то мы останавливаемся и значение года считаем искомым.

Проект 2

Таблица 2

Годы	Чистый денежный поток	(1 + r ) t	Дисконтированный денежный поток	Накопленный дисконтированный денежный поток
0-й	-100
1-й	-90	1,0400	-86,54	-86,54
2-й	20	1,0816	18,49	-68,05
3-й	100	1,1249	88,90	20,85
4-й	100	1,1699	85,48	106,33
5-й	30	1,2167	24,66	130,99
6-й	0	1,2653	0,00	130,99
7-й	0	1,3159	0,00	130,99
Итого			130,99

 

130,99 тыс. руб.

130,99-100=30,99 тыс. руб.

  Если рассчитана таким образом  чистая современная стоимость  потока платежей имеет положительный  знак (NPV>0), это означает, что проект прибыльный и имеет доходность, более высокую, чем ставка дисконта r, требуемая на рынке капиталов от инвестиций с таким условием риска.

  Наряду с абсолютным показателем  эффективности инвестиций NPV используются также и относительные – индекс рентабельности и внутренняя норма доходности.

Внутренняя норма доходности - IRR 

Под внутренней нормой прибыльности (иногда говорят доходности) понимают такое значение показателя дисконта, при котором обеспечивается нулевое значение чистого настоящего значения инвестиционных вложений. Математическое определение внутренней нормы прибыльности предполагает решение следующего уравнения: IRR = r, при котором NPV = f(r) = 0. Таким образом, IRR находится из уравнения:

      (5)

   Расчет ВНД инвестиций  проведен с помощью программы Microsoft Excel. ВНД= 0,05=5%.

 

130,99/100=1,31% 
         Если величина критерия PI>1, то современная стоимость денежного потока проекта превышает первоначальные инвестиции, обеспечивая тем самым наличие положительной величины NPV; при этом норма рентабельности превышает заданную, т.е. проект следует принять.

DPP = 100 / 85,48= 1,2

Проект 12

Таблица 3

Годы	Чистый денежный поток	(1 + r ) t	Дисконтированный денежный поток	Накопленный дисконтированный денежный поток
0-й	-120
1-й	-30	1,090	-27,52	-27,52
2-й	-30	1,188	-25,25	-52,77
3-й	110	1,295	84,94	32,17
4-й	110	1,412	77,93	110,09
5-й	60	1,539	39,00	149,09
6-й	40	1,677	23,85	172,94
7-й	0	1,828	0,00	172,94
Итого			172,94

 

172,94 тыс. руб.

 172,94-120=52,94 тыс. руб.

  Если рассчитана таким образом  чистая современная стоимость  потока платежей имеет положительный  знак (NPV>0), это означает, что проект прибыльный и имеет доходность, более высокую, чем ставка дисконта r, требуемая на рынке капиталов от инвестиций с таким условием риска.

  Наряду с абсолютным показателем  эффективности инвестиций NPV используются также и относительные – индекс рентабельности и внутренняя норма доходности.

Внутренняя норма доходности - IRR 

Под внутренней нормой прибыльности (иногда говорят доходности) понимают такое значение показателя дисконта, при котором обеспечивается нулевое значение чистого настоящего значения инвестиционных вложений. Математическое определение внутренней нормы прибыльности предполагает решение следующего уравнения: IRR = r, при котором NPV = f(r) = 0. Таким образом, IRR находится из уравнения:

      (5)

   Расчет ВНД инвестиций  проведен с помощью программы Microsoft Excel. ВНД= 0,8= 8%.

172,94/120=1,44 
         Если величина критерия PI>1, то современная стоимость денежного потока проекта превышает первоначальные инвестиции, обеспечивая тем самым наличие положительной величины NPV; при этом норма рентабельности превышает заданную, т.е. проект следует принять.

DPP = 120 / 39 = 3,07

2.Сделать вывод об эффективности проектов. Отметить согласованность показателей эффективности в оценке проекта

Таблица 4

Критерии	Проект 2	Проект 12	Нормативное значение	Вывод
NPV	30,99	72,94	> 0	Проект следует принять
RI	1,31	1,44	>1	Проект следует принять
IRR	5	8	>EД(4 и 9%)	Проект следует принять
DRR	1,2	3,07

 

 

Вывод: в качестве интегральных показателей, характеризующих результаты проекта, рассмотрены критерии эффективности проекта (NPV, IRR, PI и др.). Рассчитанный NPV равен 30,99 тыс.руб. и 72,94 тыс. руб..    имеет положительный знак (NPV>0), это означает, что проект прибыльный и имеет доходность, более высокую, чем ставка дисконта r, требуемая на рынке капиталов от инвестиций с таким условием риска. Рентабельность инвестиций RI – 1,37 и 1,44, если величина критерия PI>1, то современная стоимость денежного потока проекта превышает первоначальные инвестиции, обеспечивая тем самым наличие положительной величины NPV; при этом норма рентабельности превышает заданную, т.е. оба проекта следует принять, но наиболее выгодным является проект 12.

 

3.Описать изменение оценки проекта при изменении процентной ставки

 

Изменение процентной ставки изменяет эффективность инвестиционных проектов и оказывает влияние на суммарный объем капиталовложений. Во-первых, при заданном размере дохода на капитал, вложенный в инвестиционный проект, изменение процентных ставок меняет относительную привлекательность вложений в производство. Во-вторых, при привлечении займов для осуществления крупномасштабного проекта, незначительное изменение процентной ставки может вызвать значительное изменение в абсолютном значении суммы, необходимой для обслуживания кредита.

Общая накопленная величина дисконтированных доходов (PV) рассчитывается по формуле:

                        

где r – норма дисконта;

n – число периодов реализации проекта;

CFt – чистый денежный поток платежей в периоде t.

При росте процентной ставки снижается чистый дисконтированный доход предприятия, а так же требуется рост суммы, необходимой для обслуживания кредита.

 

4. Указать и объяснить зависимость показателей эффективности от процентной ставки

Общая накопленная величина дисконтированных доходов (PV) рассчитывается по формуле:

                        

где r – норма дисконта;

n – число периодов реализации проекта;

CFt – чистый денежный поток платежей в периоде t.

Существует зависимость обратно пропорциональная зависимость величины дисконтированного дохода от изменения процентной ставки, то есть при росте %, доход снижается и наоборот.

Под внутренней нормой прибыльности (иногда говорят доходности) понимают такое значение показателя дисконта, при котором обеспечивается нулевое значение чистого настоящего значения инвестиционных вложений. Если процентная ставка ниже внутренней нормы доходности, то данный проект следует принять.

 

5. Сравнить проекты по критерию максимального NPV для каждой из указанных процентных ставок и по критерию максимального IRR. Обосновать преимущество выбранного проекта. Объяснить изменение результата сравнения проектов при изменении процентной ставки.

Проект 2

Таблица 5

При ставке 9%

Годы	Чистый денежный поток	(1 + r ) t	Дисконтированный денежный поток	Накопленный дисконтированный денежный поток
0-й	-100
1-й	-90	1,0900	-82,57	-82,57
2-й	20	1,1881	16,83	-65,74
3-й	100	1,2950	77,22	11,48
4-й	100	1,4116	70,84	82,33
5-й	30	1,5386	19,50	101,82
6-й	0	1,6771	0,00	101,82
7-й	0	1,8280	0,00	101,82
Итого			101,82

 

Проект 12

Таблица 5

При ставке 4,0%

Годы	Чистый денежный поток	(1 + r ) t	Дисконтированный денежный поток	Накопленный дисконтированный денежный поток
0-й	-120
1-й	-30	1,040	-28,85	-28,85
2-й	-30	1,082	-27,74	-56,58
3-й	110	1,125	97,79	41,21
4-й	110	1,170	94,03	135,24
5-й	60	1,217	49,32	184,55
6-й	40	1,265	31,61	216,16
7-й	0	1,316	0,00	216,16
Итого			216,16

 

 

Проекты	Процентная ставка	NPV	IRR
Проект 2	4	30,99	1,31
	9	1,82	1,01
Проект 12	9	72,94	1,44
	4	116,16	1,8

 

Из таблицы видно, что проект 13 приносит наибольший чистый дисконтированный доход NPV и IRR у него выше.

При принятии решения выбора проекта, можно руководствоваться следующими соображениями:

а) рекомендуется выбирать вариант с большим NPV, поскольку этот показатель характеризует возможный прирост экономического потенциала предприятия (наращивание экономической мощи предприятия является одной из наиболее приоритетных целевых установок);

б) возможно также сделать расчет коэффициента IRR для приростных показателей капитальных вложений и доходов; при этом если IRR > СС, то приростные затраты оправданы и целесообразно принять проект с большими капитальными вложениями.

Наиболее предпочтительным критерием является критерий NPV. Основных аргументов в пользу этого критерия два:

Он дает вероятную оценку прироста капитала предприятия в случае принятия проекта; Он обладает свойством аддитивности, что позволяет складывать значения показателя NPV по различным проектам и использовать агрегированную величину для оптимизации инвестиционного портфеля.

Что касается показателя IRR, то он имеет ряд серьезных недостатков. Коротко охарактеризуем их:

1. В сравнительном анализе альтернативных  проектов критерий IRR можно использовать  достаточно условно.

2. Критерий IRR показывает лишь максимальный  уровень затрат, который может  быть ассоциирован с оцениваемым  проектом.

3. Одним из существенных недостатков  критерия IRR является то, что в  отличие от критерия NPV он не  обладает свойством аддитивности, т.е. для двух инвестиционных проектов  А и Б, которые могут быть  осуществлены одновременно: NPV (А + Б) = NPV(А) + NPV(Б), но IRR (А + Б) не равно

IRR(А) + IRR(Б).

5.Рассчитать для проектов MIRR (модифицированную внутреннюю норму доходности) и установить приемлемость проектов по этому показателю.

Формула для расчета модифицированной внутренней нормы доходности (MIRR): 

CFt - приток денежных средств  в периоде t = 1, 2, ...n;

It - отток денежных средств  в периоде t = 0, 1, 2, ... n (по абсолютной  величине);

r - барьерная ставка доли  единицы;

d - уровень реинвестиций, доли единицы (процентная ставка, основанная 

на возможных доходах от реинвестиции получен-ных положительных денежных потоков или норма рентабельности реинвестиций);

n - число периодов.

В левой части формулы - дисконтированная по цене капитала величина инвестиций (капиталовложений), а в правой части - наращенная стоимость денежных поступлений от инвестиции по ставке равной уровню реинвестиций. 
Отметим, что формула MIRR имеет смысл, если терминальная стоимость притоков превышает сумму дисконтированных оттоков денежных средств (приток денег больше их оттока).

Критерий MIRR всегда имеет единственное значение и может применяться вместо показателя IRR для оценки проектов с неординарными денежными потоками. Проект приемлем для инициатора, если MIRR больше барьерной ставки (цены источника финансирования).

Проект 2

(1 + MIRR)7 = (-90 * (1 + 0,04)6 + 20 * (1 + 0,04)5 + 100 * (1 + 0,04)4 +100* (1 + 0,04)3+30 * (1 + 0,04)2+0* (1 + 0,04)1+0) / 100= 1,72

MIRR = 8,08%.

Ответ: Модифицированная внутренняя норма доходности MIRR равна 10,23%, что больше нормы реинвестиций (4%), это означает, что проект можно реализовывать.

Проект 12

(1 + MIRR)7 = (40 * (1 + 0,09)6 + 40 * (1 + 0,09)5 + 110 * (1 + 0,09)4 +110* (1 + 0,09)3+70 * (1 + 0,09)2+50* (1 + 0,09)1+0) / 120= 2,63

MIRR = 14,84%.

Ответ: Модифицированная внутренняя норма доходности MIRR равна 25,03%, что больше нормы реинвестиций (9%), это означает, что проект можно реализовывать.