Контрольная работа по "Экономическому моделированию". 2

Задача №1

Для изготовления продукции двух видов А и Б предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.

1. Построим математическую  модель оптимизации выпуска продукции  и запишем ее в форме задачи  линейного программирования:

Обозначим:

x₁ – количество производимой продукции А

x₂ – количество производимой продукции Б

Тогда производственная программа  выпуска изделий А и Б будет определяться вектором X=(x₁;x₂)

Искомая программа должна удовлетворять всем ресурсным ограничениям:

x₁+3x₂£363

4x₁+x₂£388

x₁+7x₂£394

Z=160x₁+553x₂®MAX

2. Используя графический  метод решения задачи линейного  программирования, найдем оптимальную  программу выпуска продукции:

I. x₁+3x₂=363

II. 4x₁+x₂=388

III. x₁+7x₂=394

Так как О.Д.Р. представляет собой некоторый замкнутый многоугольник, полученный путём пересечения полуплоскостей, отвечающих отдельным неравенствам задачи, определим по какую сторону от граничных прямых располагается искомая полуплоскость. Для этого в каждое из трёх неравенств – ограничений подставим пробную точку (0;0):

Þ

Т.к. точка (0;0) удовлетворяет  всем трём неравенствам, то искомые полуплоскости будут располагаться слева (ниже) граничных прямых (1) –(3).

Кроме основных ограничений  на ресурсы, в задаче имеются также  тривиальные неравенства Х₁³0; Х₂³0. Неравенству Х₁³0 отвечает полуплоскость, расположенная справа от оси Х₂, а граничная прямая, задаваемая уравнением Х₁=0 совпадает с осью Х₂. Граничная прямая Х₂=0 совпадает с осью Х₁, а множество точек удовлетворяющих неравенству Х₂³0 – это полуплоскость, лежащая выше оси ОХ. Изобразим О.Д.Р. графически:

Рис.1

Найдём теперь в этой области  точку максимума целевой функции  Z: grad Z=(160;553)= . Из начала координат, в направлении вектора откладываем вектор произвольной длины и перпендикулярно ему проведём через начало координат нулевую линию уровня.

Двигая эту линию в  направлении вектора  или параллельно самой себе, достигнем самой крайней точки О.Д.Р., это и будет точка максимума целевой функции Z:

Х^*=(Х₁^*;Х₂^*). В нашей задаче точка Х^* лежит на пересечении граничных прямых (I) и (II):

Х^*: Þ

Оптимальная производственная программа Х*=(86;44) состоит в выпуске 86 ед. продукции А и 44 ед. продукции Б.

Ожидаемая выручка от их реализации составит:

Z=160*86+553*44=38092 руб.

3. Запишем задачу, двойственную  к задаче оптимизации выпуска  продукции.

Исходная задача:

u₁Þ x₁+3x₂£363

u₂Þ 4x₁+x₂£388

u₃Þ x₁+7x₂£394

x₁³0; x₂³0

Z=160x₁+553x₂®MAX 

Двойственная задача:

x₁Þ u₁+4u₂+u₃³160

x₂Þ 3u₁+u₂+7u₃³553

u₁³0; u₂³0; u₃³0

W=363u₁+388u₂+394u₃®MIN

Здесь u₁, u₂, u₃ – двойственные оценки используемых ресурсов.

Используя условия «дополняющей нежесткости», найдём оптимальное решение двойственной задачи:

Условия «дополняющей нежесткости»:

1: Х_j×V_j=0;

При известном оптимальном  векторе Х^*=(86;44):

1: X₁×V₁=0 Þ X₁=86 Þ V₁=0 ~ u₁+4u₂+u₃=160

X₂×V₂=0 Þ X₂=25 Þ V₂=0 ~ 3u₁+u₂+7u₃=553

2: U₁×Y₁=0 Þ Y₁=394-X₁-7X₂=394-86-7*44=0, Þ U₁³0

U₂×Y₂=0 Þ Y₂=388-4X₁-X₂=388-4*86-44=0, Þ U₂³0

U₃×Y₃=0 Þ Y₃=363-X₁-3X₂=363-86-3*44=145, Þ U₃=0

Итак, получили систему уравнений:

  ⇒ Þ u^*=(0;21;76)

Оптимальные целевой функции  при этом

W^*=160*0+553*21+635*76=59873 руб.

Получены следующие результаты расчета модели:

X^*=(86;44)

U^*=(0;21;86)

Z^*=W^*=59873руб.

Проведем экономическую  интерпретацию полученных результатов  решения двойственной задачи:

Единицы измерения двойственных оценок определяются по формуле: (U_i)=(Z)/(b_i),

где (U_i); (Z); (b_i) - единицы измерения соответственно двойственной оценки оптимизируемого показателя и ресурса i-ого вида.

В нашей задаче оптимизируемый показатель – выручка Z, измеряемая в рублях, единицы измерения ресурсов заданы в исходных данных задачи.

Итак: (U₁)= руб./кг.;   (U₂)= руб./ст.-час;  (U₃)= руб./чел.-час.

Оптимальная оценка U₁=0 руб./кг означает, что ни увеличение, ни уменьшение месячного количества сырья не приведет к изменению оптимального количества сырья.

Оптимальная оценка ресурса  оборудования U₂=21 руб./ст.-час показывает, что если имеющийся фонд времени на оборудование увеличить (снизить) на 1 кг, то ожидаемая выручка может увеличиться (снизиться) на 21 руб.

Оптимальная оценка U₃=86 руб./чел.-час означает, что изменение максимальной суммарной выручки составит 86 руб.

Задача №2

Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б приведены в таблице:

Целью организации выпуска  новой продукции является получение  максимальной суммарной прибыли, которая  определяется как разность между  суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал  продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построить математическую  модель оптимизации выпуска продукции  с использованием кредита для  выплаты зарплаты рабочими с  произвольной почасовой ставкой  t (руб./чел.-час) оплаты труда.

2. Определить оптимальную  программу выпуска продукции,  максимальную прибыль, необходимый  размер кредита, сумму уплаченных  процентов и потребность в  трудовых ресурсах, если почасовая  ставка t оплаты труда равна руб./чел.-час.

3. Найти функцию спроса  на трудовые ресурсы, как функцию  почасовой ставки оплаты труда  t, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли и кредита, обеспечивающего ее получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 30 рублей за чел.-час. Найти функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики.

Решение.

2.1 Построение математической  модели оптимизации выпуска продукции.  Для построения модели введем  следующие обозначения:

х₁ – объем выпуска продукции А,

х₂ – объем выпуска продукции Б,

S – потребность в трудовых ресурсах,

t – почасовая ставка оплаты труда,

V – размер кредита,

Z – выручка от реализации произведенной продукции,

P – прибыль предприятия.

Выразим в математической форме основные условия и ограничения  рассматриваемой задачи.

Ограничения по использованию  сырья: 2x₁ + 2x₂ £ 152;

Ограничения по использованию  оборудования: 3x₁ + 4x₂ £ 240;

Потребность в трудовых ресурсах S определяется необходимыми затратами труда для выпуска продукции в объемах х₁ и х₂: S = 3x₁ + 4x₂ .

Размер необходимого кредита  определяется, исходя из потребности  в трудовых ресурсах S и почасовой ставки оплаты труда t, т.е. V=tS = t(3x₁ + 4x₂). Выручка от реализации произведенной продукции: Z = 138x₁ + 160x₂

Сумма расходов по обслуживанию кредита определяется размером возвращаемого  кредита и процентов по нему, т.е. равна

 
Прибыль предприятия определяется как разность между выручкой и  расходами по обслуживанию кредита, т.е.

Р = Z – 1.1V.

Подставляя в эту формулу  выражения для Z и V, получим

Р = (138x₁ + 160x₂)– 1,1 t(3x₁ + 4x₂) = (138 – 3,3t)х₁ + (160 – 4,4 t)х₂

Следовательно, математическая модель оптимизации выпуска продукции  с привлечением кредитных ресурсов для оплаты труда рабочих принимает  следующий вид:

Найти неизвестные значения объемов выпуска х₁, х₂, удовлетворяющих ограничениям

2x₁ + 2x₂ £ 152