Контрольная работа по "Экономико-математическое моделирование". 3

ВАРИАНТ 24

Предприятие осваивает выпуск 2-х новых изделий. Расходы по заработной плате, амортизационным отчислениям, материалам, лимиты, выделенные предприятию и прибыль на одно изделие приведены ниже. Решить задачу на максимум прибыли геометрически и аналитически, проанализировать полученные результаты.

РЕШЕНИЕ

1. Решение задачи графическим методом.

Составим математическую модель задачи.

Целевая функция будет иметь вид: F(x) =30x1+25x2 àmax

при ограничениях:          10x1+5x2≤500

                                          6x1+6x2≤360                                       

                                          5x1+8x2≤400

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 30x1+25x2 → max, при системе ограничений:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом). 
Построим уравнение 10x1+5x2 = 500 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 100. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 50. Соединяем точку (0;100) с (50;0) прямой линией. 
Построим уравнение 6x1+6x2 = 360 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 60. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 60. Соединяем точку (0;60) с (60;0) прямой линией. 
Построим уравнение 5x1+8x2 = 400 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 50. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 80. Соединяем точку (0;50) с (80;0) прямой линией.

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 30x1+25x2 → max.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 30x1+25x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (30; 25). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 
10x1+5x2≤500 
6x1+6x2≤360 
 
Решив систему уравнений, получим: x1 = 40, x2 = 20 
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: 
F(X) = 30*40 + 25*20 = 1700

2. Решение задачи  аналитическим методом

Двойственная задача линейного программирования. 
 Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы. 
 Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 30x1 + 25x2 при следующих условиях-ограничений. 
10x1 + 5x2≤500 
6x1 + 6x2≤360 
5x1 + 8x2≤400 
 Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). 
 В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5.  
10x1 + 5x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 500 
6x1 + 6x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 360 
5x1 + 8x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 400 
 Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

  Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом. 
 Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана. 
 Решим систему уравнений относительно базисных переменных: 
x3, x4, x5, 
 Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: 
X1 = (0,0,500,360,400) 
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

 
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

  1. Проверка критерия оптимальности. 
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. 
 2. Определение новой базисной переменной. 
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю. 
 3. Определение новой свободной переменной. 
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1 
и из них выберем наименьшее: 
min (500 : 10 , 360 : 6 , 400 : 5 ) = 50 
Следовательно, 1-ая строка является ведущей. 
 Разрешающий элемент равен (10) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

  4. Пересчет симплекс-таблицы. 
 Формируем следующую часть симплексной таблицы. 
Вместо переменной x3 в план 1 войдет переменная x1. 
Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x3 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=10 
На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1. 
В остальных клетках столбца x1 плана 1 записываем нули. 
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1. 
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. 
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ. 
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ 
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (10), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ. 
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

 
 
Получаем новую симплекс-таблицу:

  1. Проверка критерия оптимальности. 
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. 
 2. Определение новой базисной переменной. 
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю. 
 3. Определение новой свободной переменной. 
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2 
и из них выберем наименьшее: 
min (50 : 1/2 , 60 : 3 , 150 : 51/2 ) = 20 
Следовательно, 2-ая строка является ведущей. 
 Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

  4. Пересчет симплекс-таблицы. 
Формируем следующую часть симплексной таблицы. 
Вместо переменной x4 в план 2 войдет переменная x2. 
Строка, соответствующая переменной x2 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=3 
На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1. 
В остальных клетках столбца x2 плана 2 записываем нули. 
Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x2 и столбец x2. 
Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. 

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Получаем новую симплекс-таблицу:

  1. Проверка критерия оптимальности. 
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи. 
 Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Оптимальный план можно записать так: 
x1 = 40 
x2 = 20 
F(X) = 30•40 + 25•20 = 1700 
 Анализ оптимального плана. 
В оптимальный план вошла дополнительная переменная x5. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 3-го вида в количестве 40 
Значение 0 в столбце x1 означает, что использование x1 - выгодно. 
Значение 0 в столбце x2 означает, что использование x2 - выгодно. 
Значение 1 в столбце x3 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 1. 
Значение 31/3 в столбце x4 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 31/3.

Составим двойственную задачу к прямой задаче. 
10y1 + 6y2 + 5y3≥30 
5y1 + 6y2 + 8y3≥25 
500y1 + 360y2 + 400y3 → min 
y1 ≥ 0 
y2 ≥ 0 
y3 ≥ 0 
 Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов. 
 Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи. 
 Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1. 
Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим:

  Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных. 
Тогда Y = C*A-1 =

  Оптимальный план двойственной задачи равен: 
y1 = 1 
y2 = 31/3 
y3 = 0 
Z(Y) = 500*1+360*31/3+400*0 = 1700 
 Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно. 
 

  Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности.  
 Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели: 
10*40 + 5*20 = 500 = 500 
6*40 + 6*20 = 360 = 360 
5*40 + 8*20 = 360 < 400 
 1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y1>0). 
 2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y2>0). 
 3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y3 = 0. 
 Неиспользованный экономический резерв ресурса 3 составляет 40 (400-360). 
 Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду). 
 Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов. 
 Обоснование эффективности оптимального плана. 
При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим: 
10*1 + 6*31/3 + 5*0 = 30 = 30 
5*1 + 6*31/3 + 8*0 = 25 = 25 
 Анализ устойчивости оптимального плана. 
Проведем анализ устойчивости оптимального плана и оценим степень влияния изменения ресурсов на значение целевой функции. 
Чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой функции. 
Так как любые изменения коэффициентов целевой функции оказывают влияние на оптимальность полученного ранее решения, то наша цель - найти такие диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции (рассматривая каждый из коэффициентов отдельно), при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными. 
Пусть каждое значение параметра целевой функции изменится на ∆ сi. Найдем интервалы, при которых будет экономически выгодно использование ресурсов. 
Допустимые диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции определятся из соотношений: 
1-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах: 
∆c-1 = min [yk/d1k] для d1k>0. 
∆c+1 = |max[yk/d1k]| для d1k<0. 
 
 
где в знаменателе коэффициенты столбцов свободных переменных в оптимальном плане (коэффициенты структурных сдвигов, элементы обратной матрицы к базису оптимального плана). 
 Таким образом, 1-параметр может быть уменьшен на 5 или увеличен на 20 
Интервал изменения равен: 
(c1 - ∆c1-; c1 + ∆c1+) 
[30-5; 30+20] = [25;50] 
Если значение c1 будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не изменится. 
2-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах: 
∆c-2 = min [yk/d2k] для d2k>0. 
∆c+2 = |max[yk/d2k]| для d2k<0. 
 
 
 Таким образом, 2-параметр может быть уменьшен на 10 или увеличен на 5 
Интервал изменения равен: 
(c2 - ∆c2-; c2 + ∆c2+) 
[25-10; 25+5] = [15;30] 
 Если значение c2 будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не изменится. 
 Чувствительность решения к изменению запасов сырья. 
Из теоремы об оценках известно, что колебание величины bi приводит к увеличению или уменьшению f(X). 
 Оно определяется величиной yi в случае, когда при изменении величин bi значения переменных уi в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. 
 Поэтому необходимо найти такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы. 
 Найдем интервалы устойчивости ресурсов. 
1-ый запас может изменяться в пределах: 
∆b-1 = min[xk/dk1] для dk1>0. 
∆b+1 = |max[xk/dk1]| для dk1<0. 
 
 
 Таким образом, 1-ый запас может быть уменьшен на 200/3 или увеличен на 100 
Интервал изменения равен: 
(b1 - ∆b-1; b1 + ∆b+1) 
[500-200/3; 500+100] = [1300/3;600] 
2-ый запас может изменяться в пределах: 
∆b-2 = min[xk/dk2] для dk2>0. 
∆b+2 = |max[xk/dk2]| для dk2<0. 
 
 
 Таким образом, 2-ый запас может быть уменьшен на 60 или увеличен на 240/11 
Интервал изменения равен: 
(b2 - ∆b-2; b2 + ∆b+2) 
[360-60; 360+240/11] = [300;4200/11] 
 Нижняя граница для: ∆b-3 
∆b-3 = min[xk/dk3] для dk3>0. 
 
 Таким образом, 3-ый запас может быть уменьшен на 40 
3-ый вид ресурса в оптимальном плане недоиспользован, является недефицитным. Увеличение данного ресурса приведет лишь к росту его остатка. При этом структурных изменений в оптимальном плане не будет, так как двойственная оценка y3 = 0. Другими словами, верхняя граница b+3 = +∞ 
 
 Интервал изменения равен: 
(b3 - ∆b-3; +∞) 
[400-40; +∞] = [360;+∞] 
 В оптимальный план не вошла основная переменная x3, т.е. ее не выгодно использовать. Определим максимально возможное значение в рамках полученных двойственных оценок: 
x3 может изменяться в пределах:

 
-100 ≤ ∆b3 ≤ 200/3 
[400-200/3; 400] = [1000/3;400] 
 1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x1>0). 
 2-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x2>0). 
 Влияние запасов ресурсов на оптимальное решение прямой задачи. 
Величина двойственной оценки показывает, на сколько возрастает значение целевой функции F(x) при увеличении дефицитного ресурса на единицу.