Министерство  образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

Филиал  в г. Барнауле

Кафедра математики и информатики 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Финансовая  математика

Вариант 1 
 
 
 
 

Выполнил: Ремигина Юлия Сергеевна

Факультет финансово-кредитный

Группа 4ФКп-5

№ зачетной книжки 07ффд10861

Проверила: Поддубная Марина Львовна 
 
 
 
 
 

Барнаул, 2011

Содержание:

Задание 1. 3

Задание 2. 11

Задание 3. 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 1.

    Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

    Решение:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания

    Для проведения вычислений по формулам Хольта необходимо знать начальные оценки a(0), b(0) коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года, а также коэффициенты сезонности F(), F(), F(), F(0) за весь предыдущий год.

    Зарезервируем для этих величин дополнительно 4 уровня () в расчетной таблице и выполним предварительный расчет.

    По  первым восьми наблюдениям построим вспомогательную линейную

модель  (РЕГРЕССИЯ)

Примем  a(0) = a = 31,7, b(0) = b = 0,9; занесем эти значения в нулевой уровень столбцов a(t) и b(t) основной расчетной таблицы.

    Коэффициент сезонности – это отношение фактического значения показателя Y к значению, найденному по линейной модели («Предсказанное Y» итогов Регрессии).

    Для первого квартала это в первом году и  во втором году. Оценкой коэффициента F() первого квартала предыдущего года служит среднее арифметическое: 

    Аналогично  найдем 
 
 

    Заполним  соответствующие уровни столбца  «F(t)» расчетной таблицы и перейдем к основному расчету.

    Согласно  условию задачи коэффициенты сглаживания  ; период сезонности L = 4.

    Примем  t = 0, k = 1, по основной формуле модели Хольта, рассчитаем 

    Перейдем  к t = 1, уточним коэффициенты 
 
 

    При t = 1, k = 1 по основной формуле модели Хольта получим 

    и т.д. для t = 2,3,…16. Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t), F(t), определяется количеством исходных данных n = 16.

    Результаты  вычислений приведем в таблице: 
 
 
 
 
 

Таким образом, модель Хольта-Уинтерса построена.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

    Предварительно  для каждого уровня исходных данных нужно вычислить остатки и относительные погрешности с помощью функции ABS. Дополним расчетную таблицу столбцами и .  
 
 
 
 
 
 
 
 

По столбцу  относительных погрешностей найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ). , значит, модель точная.

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

    Для использования критерия поворотных точек построим график остатков E(t).

Выделим на нем поворотные точки и подсчитаем их количество p=10.

    Вычислим  при n=16 

    Сравним , следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

• Оценить адекватность построенной модели на основе исследования независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении .

Для проверки независимости уровней  ряда остатков используем критерий Дарбина-Уотсона: 

    Подготовим  по столбцу остатков с помощью  функции СУММКВРАЗН ;  и с помощью функции СУММКВ сумму квадратов остаточной компоненты .

    Таким образом, .

    Полученное  значениеперейдем к ¢ и сравним ее с двумя критическими уровнями , которые определяются по таблице d-статистик Дарбина-Уотсона.

    ¢следовательно, свойство независимости ряда остатков выполняется.

    Для дополнительной проверки свойства независимости  ряда остатков используют первый коэффициент  автокорреляции.

    С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков

, следовательно, .

    Критическое значение для коэффициента автокорреляции .

    Сравнение показывает, что , следовательно, свойство независимости ряда остатков выполняется.

• Оценить адекватность построенной модели на основе исследования нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

    Для проверки свойства нормального распределения  остатков используем R/S-критерий.

    С помощью функций МАКС и МИН  для ряда остатков определим . Стандартную ошибку модели найдем с помощью функции СТАНДОТКЛОН .

    Тогда .

    Критический интервал определяется по таблице критических  границ отношения R/S и при n=16 составляет (3; 4,21).

    значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

    Данная  модель является точной  и адекватной – для нее выполняются все  свойства. Использование этой модели для прогнозирования будет целесообразным.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

    Этап  прогнозирования осуществляется по основной формуле модели Хольта-Уинтерса при фиксированном t=n и нарастающем значении периода упреждения k=1,2,3… 

    Для первого квартала будущего пятого года при t=16, k=1 найдем 
 
 
 

    Результаты  расчетов занесем в таблицу:

5. Отразить  на графике фактические, расчетные  и прогнозные данные.

    Задание 2.

    Даны  цены (открытия, максимальная, минимальная  и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания  принять равным пяти дням.

Рассчитать:

• экспоненциальную скользящую среднюю;
• момент;
• скорость изменения цен;
• индекс относительной силы;
• %R, %K и %D.

    Расчеты проводить для всех дней, для которых  эти расчеты можно выполнить  на основании имеющихся данных.

    Решение:

    Рассчитаем  экспоненциальную скользящую среднюю и результаты расчета занесем в таблицу:

    Расчет  возможен для t³5. Для определения начального значения При t=n=5 найдем (функция СРЗНАЧ).

    При t³6 по формуле экспоненциальной скользящей средней

    , 
 
 

Построим  график, на нем покажем исходные данные и экспоненциальную скользящую среднюю.

    С 5-го по 10-ый день график ЕМА расположен выше ценового графика, следовательно, тренд нисходящий; рекомендуется  продажа финансового инструмента.

    Рассчитаем  момент и скорость изменения цен:

    Момент: 
 

    Скорость  изменения цен: 
 

    Результаты  вычислений занесем в соответствующие  столбцы расчетной таблицы и  покажем на графиках.

Рассмотрим  график момента:

    С 6-ого по 10-ый день график момента расположен ниже линии нулевого уровня, тренд является нисходящим, рекомендуется продажа финансового инструмента.

    Рассмотрим  график изменения цен:

    С 6-ого по 10-ый день график изменения цен расположен ниже линии уровня 100%, тренд является нисходящим, рекомендуется продажа финансового инструмента.

    Рассчитаем  индекс относительной силы.

    Выполним  расчет по следующему алгоритму:

    Найдем  изменения цен закрытия для дней t³2.

    Из  выберем положительные (приросты) и модули отрицательных (убыль) – функция ЕСЛИ.

    Для t³6 рассчитаем суммы приростов и суммы убыли за 5 дней до дня t – функция СУММ.

    Вычислим  индекс относительной силы по формуле  и результаты занесем в таблицу: 
 
 
 

Результаты  расчета индекса относительной  силы покажем на диаграмме:

В 6-ой день график RSI расположен в критической зоне «перепроданности», рекомендуется остановить все финансовые операции, т.к. в скором времени ожидается разворот тренда.

С 7-го по 9-ый день график относительной силы расположен в нейтральной зоне, финансовые операции можно проводить, ориентируясь на сигналы других индексов (продажа).

В 10-ый день график RSI расположен в критической зоне «перепроданности», рекомендуется остановить все финансовые операции, т.к. в скором времени ожидается разворот тренда.

    Рассчитаем %R, %K и %D: Расчет возможен для t³5. Проведем его в таблице, занося в соответствующие столбцы результаты промежуточных вычислений.