Контрольная работа по "Финансовой математике". 41
Условие задачи:
Семья среднего достатка решила купить дом. В результате обсуждения удалось определить шесть критериев (показателей, характеристик, факторов), которым должен удовлетворять дом.
У членов семьи были следующие критерии:
- размеры дома: размеры комнат; число комнат; общая площадь дома;
- окрестности: интенсивность движения транспорта; безопасность; хороший вид; ухоженные окрестности;
- когда построен дом;
- двор: пространство перед домом, сзади, сбоку, а также расстояние до соседей;
- наличие современного оборудования: посудомоечной машины; мусоропровода; кондиционирования воздуха; системы сигнализации и других подобных устройств в доме;
- финансовые условия: возможность закладной; условия продажи и банковский кредит; низкие налоги.
Рассматриваются альтернативы домов А, Б, В.
Задача заключается в выборе одного из трех домов-кандидатов.
На первом (высшем) уровне иерархии находится общая цель – «Дом». На втором уровне находится шесть факторов, или критериев, уточняющих цель, и на третьем (нижнем) уровне находятся три дома-кандидата, которые должны быть оценены по отношению к факторам (критериям) второго уровня (Рис. 3).
Размер дома К1 |
А |
Б |
В |
||||
А |
1 |
6 |
8 |
||||
Б |
1/6 |
1 |
4 |
||||
В |
1/8 |
1/4 |
1 |
||||
Окрестности К3 |
А |
Б |
В |
Удобное автобусное сообщение К2 |
А |
Б |
В |
А |
1 |
8 |
6 |
А |
1 |
7 |
1/5 |
Б |
1/8 |
1 |
1/4 |
Б |
1/7 |
1 |
1/8 |
В |
1/6 |
4 |
1 |
В |
5 |
8 |
1 |
Двор К5 |
А |
Б |
В |
Общее состояние К7 |
А |
Б |
В |
А |
1 |
5 |
4 |
А |
1 |
1/2 |
1/2 |
Б |
1/5 |
1 |
1/3 |
Б |
2 |
1 |
1 |
В |
1/4 |
3 |
1 |
В |
2 |
1 |
1 |
Финансовые условия К8 |
А |
Б |
В |
||||
А |
1 |
1/7 |
1/5 |
||||
Б |
7 |
1 |
3 |
||||
В |
5 |
1/3 |
1 |
Общее удовлетворение домом (цель) |
Размер дома К1 |
Удобное автобусное сообщение, К2 |
Окрестности, К3 |
Двор,К5 |
Общее состояние К7 |
Финансовые условия, К8 |
Размер дома, К1 |
1 |
5 |
3 |
6 |
1/3 |
1/4 |
Удобное автобусное сообщение К2 |
1/5 |
1 |
1/3 |
3 |
1/5 |
1/7 |
Окрестности, К3 |
1/3 |
3 |
1 |
3 |
6 |
1/5 |
Двор, К5 |
1/6 |
1/3 |
1/3 |
1 |
1/5 |
1/6 |
Общее состояние К7 |
3 |
5 |
1/6 |
5 |
1 |
1/2 |
Финансовые условия, К8 |
4 |
7 |
5 |
6 |
2 |
1 |
Решение:
Этап 1. Структуризация.
Структуру решаемой задачи можно представить в виде иерархической структуры, показанной на Рис. 1.
Дом |
|||||||||
Размер дома, К1 |
Удобное автобусное сообщение К2 |
Окрестности, К3 |
Двор, К5 |
Общее состояние К7 |
|||||
Дом А |
Дом Б |
Дом В | |||||||
Рис. 1. Иерархическая структура проблемы
Этап 2. Выполнение попарных экспертных сравнений элементов каждого уровня иерархий.
В таблице 1 приведены расчетные величины для определения максимального собственного значения и главного собственного вектора полученной матрицы А (алгоритм расчета этих величин описан в этапе 3 алгоритма).
Аналогично получены матрицы парных сравнений элементов А1, А2, А3 относительно критерия К1 (таблица 1), К2 (таблица 2), критерия К3 (таблица 3), критерия К5 (таблица 4), критерия К7 (таблица 5) и критерия К8 (таблица 6).
Таблица 1
Матрица парных сравнений альтернатив по первому критерию
Размер дома К1 |
А |
Б |
В |
Компоненты собственного вектора |
Нормализованный вектор приоритетов W1 |
А |
1 |
6 |
8 |
3,63 |
0,17 |
Б |
1/6 |
1 |
4 |
0,87 |
0,04 |
В |
1/8 |
1/4 |
1 |
0,31 |
0,01 |
сумма |
1,29 |
7,25 |
13,00 |
4,82 |
|
λmax=0,639 |
ИС=-1,18 |
ОС=-2,03 |
Таблица 2
Матрица парных сравнений альтернатив по второму критерию
Удобное автобусное сообщение К2 |
А |
Б |
В |
Компоненты собственного вектора |
Нормализованный вектор приоритетов W2 |
А |
1 |
7 |
1/5 |
1,12 |
0,048 |
Б |
1/7 |
1 |
1/8 |
0,27 |
0,012 |
В |
5 |
8 |
1 |
3,42 |
0,15 |
сумма |
6,14 |
16 |
1,33 |
4,81 |
|
λmax=0,686 |
ИС=-0,81 |
ОС=-1,4 |
Таблица 3
Матрица парных сравнений альтернатив по третьему критерию
Окрестности К3 |
А |
Б |
В |
Компоненты собственного вектора |
Нормализованный вектор приоритетов W3 |
А |
1 |
8 |
6 |
3,63 |
0,17 |
Б |
1/8 |
1 |
1/4 |
0,31 |
0,01 |
В |
1/6 |
4 |
1 |
0,87 |
0,04 |
Сумма |
1,29 |
13,00 |
7,25 |
4,82 |
|
λmax=0,70 |
ИС=-1,15 |
ОС=-1,98 |
Таблица 4
Матрица парных сравнений альтернатив по пятому критерию
Двор К5 |
А |
Б |
В |
Компоненты собственного вектора |
Нормализованный вектор приоритетов W5 |
А |
1 |
5 |
4 |
2,71 |
0,17 |
Б |
1/5 |
1 |
1/3 |
0,41 |
0,03 |
В |
1/4 |
3 |
1 |
0,91 |
0,06 |
сумма |
1,45 |
9,00 |
5,33 |
4,03 |
|
λmax= 0,79 |
ИС=-1,11 |
ОС=0 |
Таблица 5
Матрица парных сравнений альтернатив по седьмому критерию
Общее состояние К7 |
А |
Б |
В |
Компоненты собственного вектора |
Нормализованный вектор приоритетов W7 |
А |
1 |
1/2 |
1/2 |
0,63 |
0,063 |
Б |
2 |
1 |
1 |
1,26 |
0,126 |
В |
2 |
1 |
1 |
1,26 |
0,126 |
сумма |
5 |
2,5 |
2,5 |
3,15 |
|
λmax=0,945 |
ИС=-0,55 |
ОС=-0,95 |
Таблица 6
Матрица парных сравнений альтернатив по восьмому критерию
Финансовые условия К8 |
А |
Б |
В |
Компоненты собственного вектора |
Нормализованный вектор приоритетов W8 |
А |
1 |
1/7 |
1/5 |
0,31 |
0,07 |
Б |
7 |
1 |
3 |
2,76 |
0,64 |
В |
5 |
1/3 |
1 |
1,26 |
0,29 |
Сумма |
13,00 |
1,48 |
4,20 |
4,32 |
|
λmax=3,08 |
ИС=0,04 |
ИС=0,07 |
Аналогично строиться матрица парных сравнений для второго уровня иерархий, элементами которого являются критерии К1, К2, К3, К5,К7, К8. Эта матрица показана в таблице 7 . Матрица сравнений критериев выбора дома приведена в таблице 7.
Таблица 7
Матрица парных сравнений критериев
Общее удовлетворение домом (цель) |
Размер дома К1 |
Удобное автобусное сообщение, К2 |
Окрестности, К3 |
Двор,К5 |
Общее состояние К7 |
Финансовые условия, К8 |
Компоненты собственного вектора |
Нормализванный вектор приоритетов W |
Размер дома, К1 |
1 |
5 |
3 |
6 |
1/3 |
1/4 |
1,96 |
0,025 |
Удобное автобусное сообщение, К2 |
1/5 |
1 |
1/3 |
3 |
1/5 |
1/7 |
0,18 |
0,002 |
Окрестности, К3 |
1/3 |
3 |
1 |
3 |
6 |
1/5 |
1,54 |
0,02 |
Двор, К5 |
1/6 |
1/3 |
1/3 |
1 |
1/5 |
1/6 |
0,086 |
0,001 |
Общее состояние К7 |
3 |
5 |
1/6 |
5 |
1 |
1/2 |
1,85 |
0,024 |
Финансовые условия, К8 |
4 |
7 |
5 |
6 |
2 |
1 |
11,89 |
0,156 |
Сумма |
8,7 |
21,33 |
9,83 |
24 |
9,73 |
2,26 |
17,506 |
λmax=1,06 ИС=-0,14 ОС=-0,11
Этап 3. Определение вектора приоритетов.
В качестве вектора приоритетов для каждого уровня иерархии принят нормализованный главный собственный вектор матрицы попарных сравнений. Для расчета этих векторов используется приближенный метод 4 из [1] оценки через средние геометрические.
Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов. Чем больше i-я компонента СВ, тем больше влияние i-го элемента в комплексе всех элементов анализируемого уровня иерархии на выделенный элемент С вышестоящего уровня.
Для нижнего уровня альтернатив (дома А,Б,В) алгоритм расчета собственного вектора, относящийся к матрице парных сравнений из таблицы 1, показан в таблице 8. В таблице 1 показан также результат расчета – нормализованный собственный вектор W1=(3,63;0,87;0,31).
Аналогично рассчитывается нормализованные собственные векторы для матриц парных сравнений Ас.2, Ас.3, Ас.4, Ас.5 , Ас.6, из таблиц 2,3, 4,5 и 6.
Для второго уровня иерархии,
включающего критерии К1, К2, К3, К5, К7, К8,
оценка нормализованного собственного
вектора, характеризующие приоритеты
этого уровня по влиянию на единственный
элемент верхнего (первого) уровня, т.е.
цель выбора, производится по описанному
выше алгоритму. Для матрицы парных сравнений Ас.7 из таблицы
7, получены данные расчета:W7=(1,96;0,18;1,54;0,
Таким образом, все векторы приоритетов для второго и третьего уровней иерархии получены.
Этап 4. Определение максимальных собственных значений и степени согласованности матриц парных сравнений.
Прежде чем перейти к синтезу оптимальной альтернативы с учетом всех элементов второго и третьего уровней иерархии, нужно убедиться в достаточном уровне согласованности всех матриц суждений Ас.1,Ас.2, Ас.3, Ас.4, Ас.5 , Ас.6, Ас.7. Для этого нужно вычислить максимальные собственные значения этих матриц. В теории МАИ приводится следующий алгоритм [1] расчета . Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца – на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются:
,
где k – номер матрицы парных сравнений (суждений); – вектор-строка столбцовых сумм матрицы суждений с номером k; – нормализованный собственный главный вектор матрицы суждений Ас.k, принадлежащий наибольшему собственному значению .
Таблица 8
Матрица парных сравнений альтернатив по первому критерию К1
К1 |
А1 |
А2 |
А3 |
Компоненты собственного вектора |
Компоненты нормализованного вектора приоритетов
|
А1 |
|||||
А2 |
|||||
А3 |
|||||
Сумма по столбцам |
|||||
В () умножение производится по правилу скалярного произведения векторов.
Например, для матрицы суждений Ас.1 из таблицы 1 получим:
λ1maх=s1*w11+s2*w12+s3*w13=1,
Максимальные собственные значения всех матриц суждения приведены соответственно в таблицах 1,2,3,4,5,6 и 7.
Этап 5. Определение индексов согласованности и отношений согласованности для матриц суждений.
В общем случае под согласованностью понимается то, что при наличии основного (базового) массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них. Или другими словами, отношения элементов всей матрицы А не должны быть противоречивыми.
Из теории МАИ известно, что согласованность положительной обратносимметричной матрицы эквивалентна требованию
.
Заметим, что всегда верно, поэтому
.
Тогда степень согласованности матрицы суждений можно оценить мерой, называемой индексом согласованности (ИС)
.
Знаменатель – это число всех возможных парных сравнений данного элемента в фиксированной строке i для квадратной матрицы n-го порядка.
Следовательно, ИС имеет смысл отклонения от абсолютной согласованности, приходящегося на одно парное сравнение.
Вводится критерий, называемый отношением согласованности (ОС):
,
где СС – индекс случайной согласованности.
СС определяется путем задания оценок по шкале отношений для случайно выбранных суждений при парных сравнениях и соответствующих им обратных величин для матрицы А Значения СС в теории МАИ заранее вычислены и представлены в таблице 9.
Таблица 9
Случайная согласованность для случайных матриц
Порядок матрицы n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Случайная согласованность СС |
0 |
0 |
0,58 |
0,9 |
1,12 |
1,24 |
1,32 |
1,41 |
1,45 |
1,49 |
Приемлемая величина ОС – порядка 10% или менее. Если ОС выходит из этих пределов, то ЛПР должно провести более глубокие исследования задачи и проверить свои суждения, т.е. назначение величин в матрице парных сравнений.
В качестве примера приведем оценки для матрицы суждений Ас.1 из таблицы 1:
ИС1= (λmax-n)n-1=(0,639-3)/3-1=-1,
ОС1=ИС1/СС=-1,18/0,58=-2,03
.
Величины значения индекса согласованности и отношений согласованности для матриц суждений Ас.1, Ас.2, Ас.3, Ас.4, Ас.5, Ас.6, Ас.7 показаны соответственно в таблицах 1,2,3,4,5,6 и 7.
Этап 6. Синтез приоритетов уровней.
В математической теории иерархий разработан метод оценки воздействия уровня на соседний вышестоящий уровень путем композиции соответствующего вклада (приоритетов) элементов данного уровня по отношении к каждому элементу соседнего верхнего уровня. Композиция распространяется снизу-вверх. В принципе, можно рассматривать также распространение композиции сверху-вниз.
Математически «композиция» отображается оператором умножения. Как известно [3] в математической логике операция умножения отображает совместное действие сомножителей.
Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты (приоритеты альтернатив А,Б,В по каждому критерию) перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии критериями на которые воздействует этот элемент. Процедура продолжается до самого нижнего уровня. В формализованном виде процедура синтеза приоритетов имеет следующий вид.
Общий вектор приоритетов взаимного влияния уровня 3 альтернатив (А,Б,В) и уровня 2 критериев (К1, К2, К3, К5,К7,К8) на общую цель (уровень 1) равен:
,
где В – матрица компонент нормированных векторов приоритетов альтернатив первого уровня; – нормированный вектор приоритета критериев второго уровня (таблица 7).
В (9) умножение производится по правилам умножения матрицы на вектор:
. (10)
Для нашего примера:
Ws; = |
|
· |
|
= | ||||||||||||||||||||||||||||
= |
0.03482 |
||
0.104118 | |||
0.049674 |
Этап 7. Выбор оптимально альтернативы.
Алгоритм оптимального выбора прост:.
Попт:mах(Ws1; Ws2; Ws3)=(0,034;0,104;0,049)=0,104
Таким образом, алгоритм оптимального многокритериального выбора приводит к выбору дома Б для покупки, так как ему соответствует наибольшее значение компоненты вектора общего приоритета Ws1=0,104
Достоинством метода анализа иерархий является направленность на сравнение реальных альтернатив. Метод может применятся в тех случаях, когда эксперты не могут дать абсолютной оценки альтернатив по критериям, а пользуются более слабыми сравнительными измерениями.
Cписок литературы:
а) основная:
1. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1993. – 320 с.
2. Анфилатов В. С. Емельянов А. А. Кукушкин А. А. Системный анализ в управлении. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 368 с.
3. Волкова В. Н., Денисов А. А. Теория систем: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 2014. – 511 с.
4. Исмагилова Л. А., Орлова Е. В. Стратегия и принятие решений. – Уфа: УГАТУ, 2005. – …………..
б) дополнительная:
5. Многокритериальный выбор решений на основе метода анализа иерархий: Методические указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине «Системный анализ в управлении и экономике» Сост. Исмагилова Л. А., Орлова Е. В. – Уфа: УГАТУ, 2012. – 22 с.
6. Дрогобыцкий И. Н. Системный анализ в экономике: Учебник. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. – 423 с.
7. Системный анализ и принятие решений: Словарь-справочник: Учебное пособие для вузов / Под ред. В. Н. Волковой, В. Н. Козлова. – М.: Высшая школа, 2004. – 616 с.
8. Моисеев Н. И. Математические задачи системного анализа: Учебное пособие для вузов. – М.: Наука. Физмалит, 1981. – 48 с.
9. Беллман Р. Введение в теорию матриц: Учебное пособие для вузов. – М.: Наука. Физмалит, 1976. – 352 с.
10. Справочник по математике для экономистов. – М.: Высшая школа, 1997.
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
