Контрольная работа по "Финансовой математике". 60

Содержание

1. Задача 1 ………………………………………………………..............………2
2. Задача 2 ……………………………………....................................................15
3. Задача 3......…………………………………………………...........................27

Список литературы……………………………………………............................31

 

Задание 1.

Приведены поквартальные данные о  кредитах от коммерческого банка  на жилищное строительство (в условных единицах) за четыре года (всего 16 кварталов).

                                                                                                           Таблица 1.1

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Данные о кредитах	36	46	55	35	39	50	61	37	42	54	64	40	47	58	70	43

 

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную  модель Хольта – Уинтерса с  учетом сезонного фактора, приняв  параметры сглаживания  ₁=0,3;  ₂ =0,6; ₃=0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

       -случайности остаточной компоненты  по критерию пиков;

       -независимости уровней ряда остатков  по d-критерию (критические

        значения   d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту

      -автокорреляции при критическом  значении r₁=0,32;

      -нормальности распределения остаточной  компоненты по 

       R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4.   Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т. е. на 1 год.

5.   Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

Решение:

1. Мультипликативная модель Хольта – Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

, где k-период упреждения.

) – расчетное значение экономического  показателя для  t-периода;

a(t), b(t), F(t) – коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L – период сезонности (для квартальных данных L=4)

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1.1 Линейная модель имеет вид:

)=a(0)+b(0)*t. Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0) по формулам:

;

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1.1, находим значения a(0) и b(0).

 

Таблица 1.2

	t	y(t)	y(t)-y ̅	t-t ̅	(t-t ̅)^2	(y(t)-y ̅)*(t-t ̅)	y ̂(t)
	1	36	-8,875	-3,5	12,25	31,0625	41,92
	2	46	1,125	-2,5	6,25	-2,8125	42,76
	3	55	10,125	-1,5	2,25	-15,1875	43,61
	4	35	-9,875	-0,5	0,25	4,9375	44,45
	5	39	-5,875	0,5	0,25	-2,9375	45,30
	6	50	5,125	1,5	2,25	7,6875	46,14
	7	61	16,125	2,5	6,25	40,3125	46,99
	8	37	-7,875	3,5	12,25	-27,5625	47,83
сумма		359			42	35,5	359
среднее	4,5	44,875			5,25

 

С учетом полученных коэффициентов  линейная модель имеет вид:

)=41,0714+0,845*t.

Из этого уравнения  находим расчетные значения ) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 1.3).

Таблица 1.3

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	36	46	55	35	39	50	61	37
Yp(t)	41,92	41,92	41,92	41,92	41,92	41,92	41,92	41,92

 

Такое сопоставление позволяет  оценить приближенные значения коэффициентов  сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в таблице 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

Коэффициент сезонности есть отношение  фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному  по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений I квартала первого года, равное . Такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) . Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин. В результате расчета получим следующие данные:

;

;

Оценив значения а(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), переходим к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится по формулам:

;    ; .

Значения  параметров сглаживания согласно заданию: ;   ;   .

Мультипликативная модель Хольта – Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Тогда для момента времени   t = 0 , k = 1 имеем:

=(41,0714+0,845)*0,85991=36,04455

Для t=1:

=41,90113

_=0,840576

=0,859463

Для t=2:

46,1464

42,70102

0,828372

=1,078218

Для t=3

55, 70592

43,36391

=0,778726

1,272894

Для t=4:

34,450

Для t=5:

Для t=6:

Для t=7:

Для t=8:

Для t=9:

Для t=10:

Для t=11:

Для t=12:

Для t=13:

 

Для t=14:

.

Для t=15:

Для t=16:

Занесём полученные данные в таблицу.

Таблица 1.4 Модель Хольта-Уинтерса

2. Оценка точности модели.

Оценим точность нашей модели по средней относительной  ошибке аппроксимации:

,   

Условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 17,77 что дает среднюю величину 17,77/16=1,111%.

Следовательно, условие точности выполнено.

3. Проверка условия адекватности.

Для того, чтобы модель была адекватна  исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 1.5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого  каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 1.5. для этой строки ставится 1, в противном случае ставится 0. Общее число поворотных точек в нашей задаче равно p=10.

Таблица 1.5. Промежуточные расчеты  для оценки адекватности модели

 

 

Рассчитаем  значение q:

q = int [2× (N-2)/3 – 2× ]

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16     q = int [2× (16-2)/3 – 2× ] = 6.

Так как количество поворотных точек p больше q (p = 10; q = 6), то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

• Проверку независимости ряда остатков проводим двумя методами:

1. по d-критерию Дарбина – Уотсона;

2. по первому коэффициенту автокорреляции

1) По d-критерию Дарбина – Уотсона имеем:

Так как d > 2 , то имеет место отрицательная автокорреляция, поэтому уточним величину d, вычитая полученное значение из 4 (d` = 4 – d; d` = 1,58). Уточненное значение d` сравним с табличными значениями d<sub>1</sub>=1.10 и d<sub>2</sub> =1.37. Так как d<sub>2</sub><d`<2  (1.37 < 1,58 < 2), то условие независимости ряда остатков выполняется.

2) По первому  коэффициенту автокорреляции имеем, что

.

Так как  , то уровни ряда остатков независимы.

• Проверку соответствия ряда остатков нормальному распределению выполним по R/S-критерию: .

Из табл. 1.4 имеем, что  ;   

Тогда получим, что 

Подставив полученные значения, получим:   

Полученное значение R/S сравнивают с табличными значениями, которые даны (от 3 до 4,21). Так как 3 < 3,95 < 4,21, полученное значение R/S попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Так как выполняются все условия  адекватности модели, то данную модель можно считать удовлетворительной и использовать ее для расчета  прогнозных показателей Yp(t) на четыре квартала вперед.

4. Построение точечного прогноза на год.

Составим прогноз на четыре шага вперед (т. е. на 1 год, с t = 17 по t = 20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения a(16) и b(16), можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t).

Для t = 17 имеем:

Yp(17) = Yp(16+1) = [a(16) + 1×b(16)] × F(16+1-4) = [a(16) + 1×b(16)] × F(13) = (55,68 + 0,97) ×0,8778 = 49,73.

Аналогично находим Yp(18), Yp(19) и Yp(20):

Yp(18) = Yp(16+2) = [a(16) + 2×b(16)] ×F(16+2-4) = [a(16) + 2×b(16)] × F(14) = (55,68 + 2×0,97) × 1,0803 = 62,25;

Yp(19) = Yp(16+3) = [a(16) + 3×b(16)] ×F(16+3-4) = [a(16) + 3×b(16)] × F(15) = (55,68 + 3 ×0,97) × 1,2757 = 74,74;

Yp(20) = Yp(16+4) = [a(16) + 4×b(16)] × F(16+4-4) = [a(16) + 4×b(16)] × F(16) = (55,68 + 4 ×0,97) × 0,775 = 46,15

5. На нижеприведенном рисунке (рис. 1) проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения данных о кредитах на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис. 1 Сопоставление расчетных (Ряд 1) и фактических (Ряд 2) данных

 

 

Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

1. экспоненциальную скользящую среднюю;
2. момент;
3. скорость изменения цен;
4. индекс относительной силы;
5. %R, %K и %D .

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно  выполнить на основании имеющихся  данных.

Таблица 2.1 Исходные данные о ценах открытия и закрытия

Дни	Цены
	максимальная	минимальная	закрытия
1	600	550	555
2	560	530	530
3	536	501	524
4	545	521	539
5	583	540	569
6	587	562	581
7	582	561	562
8	573	556	573
9	610	579	592
10	645	585	645

 

Решение:

1. Расчет экспоненциальной скользящей средней.

При расчете экспоненциальной скользящей средней (EMA) учитываются все цены предшествующего периода, однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:

где k = 2/(n+1);

C_t   - цена закрытия t-го дня;

EMA_t  - значение EMA текущего дня t.

Начальное значение EMA рассчитывается как средняя арифметическая цен за определенное количество (n = 5)   предшествующих дней по формуле:

MA_t = (C_t-n+1 + C_t-n+2 +…+C_t)/n,

где C_t – цена закрытия  t-го дня;

MA_t  - значение скользящего среднего текущего дня t.

Расчеты представим в таблице (табл. 2.2) и изобразим на ценовом графике (рис. 2) экспоненциальную скользящую среднюю.

 

 

 

Таблица 2.2. Расчет EMA

 

Рис. 2. Экспоненциальная скользящая средняя

 

Вывод: наблюдается восходящий тренд  и тенденция повышения цен  c 4 по 10 день; графики не пересекаются, то есть не ожидается разворота тренда; поэтому рекомендуется покупать с 4 по 10 день.

2. Расчет момента (MOM).

Момент  – это разница между конечной ценой текущего дня C_t  и цены n дней тому назад C_t-n.

Где n = 5, а t = 6.

Дополним расчетную таблицу (табл. 2.3) столбцом (MOM) и изобразим на графике результаты расчетов (рис. 3).

Таблица 2.3 Расчет момента.

Рис. 3. Момент. Результат расчета

 

      Вывод: положительные значения MOM с шестого по десятый день свидетельствуют об относительном повышении цен; график МОМ не пересекает нулевой линии, следовательно, нет сигнала к развороту тренда, рекомендуется покупка с шестого по десятый день.

3. Расчет скорости изменения цен.

Рассчитаем  скорость изменения цен по следующей  формуле:

,

где ROC_t – значение скорости изменения цен текущего дня t, С_t – цена закрытия t-го дня, C_t-n – цена закрытия n дней назад.

;

  ;

;

;

Таблица 2.4. Расчет скорости изменения цен

 

Рис. 4. Скорость изменения цен

ROC также как и МОМ показывает сигнал к покупке.

4. Расчет индекса относительной силы.

Рассчитаем  индекс относительной силы по следующей  формуле (табл. 2.5):

где AU (AD)– сумма приростов (убыли) конечных цен за n дней.

Рассчитаем  повышение цены:

4-й  день: ;     

5-й  день: ;    

6-й  день: ;

8-й  день: ;

9-й  день: ; 

10-й  день: .

Понижение цены:

2-й  день:

3-й  день:

7-й  день:

Рассчитаем  сумму повышений AU:

6-й день: 15+30+12 = 57;

7-й день: 15+30+12=57; 

8-й день: 15+30+12+11 = 68; 

9-й день: 30+12+11+19=72;   

10-й день: 12+11+19+53=95.

Сумму понижений AD:

6-й день: 25+6=31;

7-й день: 19+6=25;

8-й день: 19;

9-й день: 19;

10-й день: 19.

Рассчитаем индекс относительной силы RSI:

;   ;

;    .

Таблица 2.5 Расчет значений параметров RSI

 

Рис. 5. Индекс относительной силы

 

Из графика RSI (рис. 5) видно, что индекс относительной силы входит в «зону перекупленности» (от 80 до 100) на 9-й день. Значит, цены сильно выросли, надо ждать падения и подготовиться к продаже. Сигналом к продаже будет служить момент выхода графика RSI из «зоны перекупленности».

5. Расчет индексов стохастических линий.

Индексы стохастических линий %R_t, %K_t, %D рассчитаем по формулам:

;     ;  ,

где %R_t, %K_t, %D – значения индексов текущего дня t; С_t - цена закрытия t-го дня; H₅(L₅) – максимальная (минимальная) цена за 5 предшествующих дней, включая текущий.

 

Таблица 2.6 Расчет стохастических линий

(Значения  H5 и L5 рассчитываем через функции Exel МАКС и МИН).

Рассчитываем %K:

; ;

; ;

Рассчитываем %R:

; ; ;

; ; .

Рассчитываем %D:

; ;

; .

Рис. 6 Стохастические линии

 

Вывод:

 По линии K%:

В 6 день критерий находится в зоне перекупленности, в 7 день выходит из зоны перекупленности - сигнал к покупке, в 10 день входит в  зону перекупленности, готовимся к  продаже.

 

По линии R%:

В 6 день критерий находится в зоне перекупленности, в 7 день выходит из зоны перекупленности - сигнал к покупке, в 10 день входит в  зону перекупленности, готовимся к  продаже.

 

По линии D%:

В 7 день критерий приближается к зоне перекупленности, в 8 день входит в зону перекупленности, в 9 день близок к зоне перекупленности, в 10 день входит в зону перекупленности - готовимся к продаже

 

Задание 3.

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные  в  таблице 3.1. В условии задачи значения параметров приведены в  виде переменных. Например, S означает некоторую сумму средств в рублях, Т_лет – время в годах, i – ставку в процентах и т. д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

Таблица 3.1Исходные данные

Сумма	Дата начальная	Дата конечная	Время в днях	Время в годах	Ставка	Число начислений
S	Tн	Тк	Тдн	Тлет	i	m
3 000 000	14.01.02	18.03.02	90	5	35	4

 

3.1. Банк выдал ссуду, размером 3 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 14.01.02, возврата 18.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 35% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным  числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с  точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с  приближенным числом дней ссуды.

3.2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит      3 000 000 руб. Кредит выдан под 35% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

3.3. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 3 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 35% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

3.4. В кредитном договоре на сумму 3 000 000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 35% годовых. Определить наращенную сумму.

3.5. Ссуда, размером 3 000 000 руб. предоставлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка 35% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 4 раза в году, исходя из номинальной ставки 35% годовых.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 35% годовых.

3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 3 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 35% годовых.

3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 3 000 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 35% годовых. Определить дисконт.

3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 3 000 000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 35%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

3.1. Используя следующие формулы

где I – сумма процентов,

S – первоначальная сумма денег,

i – ставка простых процентов,

n – срок ссуды (измеренный в долях года), который рассчитывается по формуле:

где t – срок операции (ссуды) в днях,

K – число дней в году (временная база) получим:

3.1.1) При k = 365, t=63 дня имеем:

3.1.2) При k = 360, t =63 дня имеем:

3.1.3) При k = 360, t=64 дня имеем:

3.2. Используя формулу (первоначальная сумма), , получим:

.

D (дисконт) = S – P= 3 000 000 – 2 758 620, 69 = 241 379, 31 руб.

3.3. Используя формулу  , где   , получим:

3.4. Используя формулу , получим следующее:

.

3.5. Используя формулу , получим:

3.6. Используя формулу , получим:

.

3.7. Используя формулу , получим:

.

3.8. Используя формулу , получим:

3.9. Используя формулу , получим:

3.10. Используя формулу , получим:

 

Список  литературы: