Контрольная работа по "Финансовой математике". 6

ЗАДАНИЕ 1

Приведены данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года:

Требуется:

1)      Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1 = 0,3, α2 = 0,6, α3 = 0,3.

2)      Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3)      Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

       Случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

       Независимости уровней ряда остатков по d- критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;

       Нормальности распределения остаточной компоненты по R / S критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4)      Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на 1 год.

5)      Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1) Строим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора

Общий вид модели:

где – расчетное значение уровня для момента времени t с периодом упреждения k;

k – период упреждения;

L – период сезонности;

(t – L) -  индекс сезонного коэффициента за аналогичный период прошлого года;

Ft – мультипликативный индекс сезонности;

a0(t); a1(t) – параметры модели;

Находим начальные оценки параметров a0(0) и а1(0), построив линейную трендовую модель при n = 8. Для нахождения параметров строим систему нормальных уравнений:

Получили модель:

Находим начальные мультипликативные индексы сезонности:

Производим корректировку параметров по формулам:

, , - параметры адаптации экспоненциального сглаживания.

Расчет скорректированных параметров, мультипликативных индексов сезонности, расчетных значений представлен в таблице:

2) Оценим точность модели

              Рассчитываем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

S = 1 / n · ∑ | E(t) / y(t)| · 100% = 1/16*0,182*100%=1,14%

Ошибка меньше 7%, модель считается точной.

3) Оценим адекватность построенной модели

- Свойство случайности. используем критерий поворотных точек.

Строим график остатков. Всего 10 поворотных точек.

10 > 6, следовательно, критерий поворотных точек выполняется и остатки  имеют случайный характер распределения.

Свойство независимости. Применим критерий Дарбина-Уотсона

d1 = 1,10      d2 = 1,37                   2 < dрасч < 4      Следовательно находим d’

d’ = 4 – dрасч = 4 – 2,409 = 1,591

Т.к. 1,37 < d’ = 1,591 < 2 , свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция в ряду остатков отсутствует.

Свойство подчинения нормальному закону распределения. Используем R/S критерий.

Расчетное значение R/S критерия попадает внутрь критических значений  (3 < 3,851 < 4,21), следовательно, свойство выполняется.

Вывод: поскольку рядом остатков выполняются все свойства, то модель считается адекватной. Модель качественная.

4) Построим точечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на один год.

Yрасч (t+k) = [55,678 + 0,970 · k] · F(t-L+k) – адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса

Ft :    F(4;1) = 0,878

         F(4;2) = 1,080

         F(4;3) = 1,276

         F(4;4) = 0,775

t = 17; k = 1 Yрасч(17) = [a0(16)+ a1(16)*1]*F(4;1)=(55,678 + 0,970*1)*0.878 = 49,726

t = 18; k = 2  Yрасч(18) = [a0(16)+ a1(16)*1]*F(4;2)=(55,678 + 0,970*2)*1,080 = 62,246

t = 19; k = 3  Yрасч(19) = [a0(16)+ a1(16)*1]*F(4;3)=(55,678 + 0,970*3)*1,276 = 49,726

t = 20; k = 4 Yрасч(20) = [a0(16)+ a1(16)*1]*F(4;4)=(55,678 + 0,970*4)*0.775 = 49,726

ЗАДАНИЕ 2

              Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Рассчитать:

       Экспоненциальную скользящую среднюю;

       Момент;

       Скорость изменения цен;

       Индекс относительной силы;

       %R, %K, %D;

Расчеты проводить для всех дней, для  которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение:

1. Найдем экспоненциальную скользящую среднюю

ЕМАt = EMAt-1 + k · (Pt – EMAt-1)

Pt – цена закрытия дня t;  n – порядок скользящей средней

k – параметр сглаживания; n = 5   

k = 2 / (n + 1) = 2 / 6  0,333

При определении EMAt-1 берется простая скользящая средняя из порядка скользящей средней.

EMA5 = ∑ Pi / 5 = (555 + 530 + 524 + 539 + 569) / 5 = 543,4

EMA6 = EMA5 + k · (P6 – EMA5) = 543,4 + 0,333 · (581 – 543,4) = 555,92

EMA7 = EMA6 + k · (P7 – EMA6) = 555,92 + 0,333 · (562 – 555,92) = 557,94

EMA8 = EMA7 + k · (P8 – EMA7) = 557,94 + 0,333 · (573 – 557,94) = 562,95

EMA9 = EMA8 + k · (P9 – EMA8) = 562,95 + 0,333 · (592 – 562,95) = 572,62

EMA10 = EMA9 + k · (P10 – EMA9) = 572,62 + 0,333 · (645 – 572,62) = 596,72

Поскольку линия экспоненциальной скользящей средней находится ниже ценового графика, то ценовой тренд считают восходящим («бычий» тренд).

2. Рассчитаем момент   МОМt = Pt – Pn

Pt – цена закрытия текущего дня; 

Pn – цена закрытия n дней назад, включая текущий

n = 5

MOM5 = P5 – P1 = 569 – 555 = 14      MOM6 = P6 – P2 = 581 – 530 = 51

MOM7 = P7 – P3 = 562 – 524 = 38      MOM8 = P8 – P4 = 573 – 539 = 34

MOM9 = P9 – P5 = 592 – 569 = 23      MOM10 = P10 – P6 = 645 – 581 = 64

Критический уровень для момента это 0. Т.к. все значения момента больше 0, то тренд считается восходящим.

3. Рассчитаем скорость изменения цен

ROCt = Pt / Pn · 100%

Pt – цена закрытия текущего дня

Pn – цена закрытия n дней назад, включая текущий

n = 5

ROC5 = P5 / P1 · 100% = 569 / 555 · 100% = 102,52 %

ROC6 = P6 / P2 · 100% = 581 / 530 · 100% = 109,62 %

ROC7 = P7 / P3 · 100% = 562 / 524 · 100% = 107,25 %

ROC8 = P8 / P4 · 100% = 573 / 539 · 100% = 106,31 %

ROC9 = P9 / P5 · 100% = 592 / 569 · 100% = 104,04 %

ROC10 = P10 / P6 · 100% = 645 / 581 · 100% = 111,02 %

Графически график момента и скорости изменения цен одинаков.

Критический уровень для скорости изменения цен это 100%. Поскольку значения скорости изменения цен больше 100%, то можно сделать вывод, что тренд восходящий.

4. Рассчитаем индекс относительной силы

RSIt = 100 – 100 / (1 + RSt)             RS = AU / AD

AU – сумма приростов конечных цен за n дней.

АD - сумма убылей конечных цен за n дней

n = 5

Критические линии возьмем равные 25 и 75%.

RS5 = AU(1-5) / AD(1-5) = (15 +30) / (25 + 6) = 1,452

RSI5 = 100 – 100 / (1 + 1,452) = 59,217 %

RS6 = AU(2-6) / AD(2-6) = (15 +30 + 12) / (25 + 6) = 1,839

RSI6 = 100 – 100 / (1 + 1,839) = 64,776 %

RS7 = AU(3-7) / AD(3-7) = (15 +30 + 12) / (6 + 19) = 2,28

RSI7 = 100 – 100 / (1 + 2,28) = 69,512 %

Значение индекса относительной силы на 5-ый, 6-ой и 7-ой день не выходит за пределы критических значений (25 и 75%), то есть рынок относительно спокоен, нет больших скачков, нет риска.

RS8 = AU(4-8) / AD(4-8) = (15 +30 +12 + 11) / 19 = 3,579

RSI8 = 100 – 100 / (1 + 3,579) = 78,161 %

RS9 = AU(5-9) / AD(5-9) = (30 + 12 + 11 + 19) / 19 = 3,789

RSI9 = 100 – 100 / (1 +  3,789) = 79,119 %

RS10 = AU(6-10) / AD(6-10) = (12 + 11 + 19 + 53) / 19 = 5

RSI10 = 100 – 100 / (1 +5) = 83,333 %

              На 8-ой день цены устанавливаются в зоне перекупленности и находятся там на 9-ый и 10-ый дни. Рынок считается перекупленным тогда, когда цена находится около верхней своей границы, то есть их дальнейшее повышение практически невозможно. Момент выхода цены из зоны перекупленности служит сигналом к продаже по самым высоким ценам.

5. Рассчитаем % R, % K, % D

% R, % K, % D – стохастические линии

В отличии от MOM, ROC и RSI стохастические линии строятся с использованием более полной информации при их расчете используют минимальные и максимальные цены.

Ct – цена закрытия текущего дня t

Ln – минимальная цена за n дней, включая текущий

Hn - максимальная цена за n дней, включая текущий

n = 5

              C5 – L5(1-5) ___                     569 – 501 

% K5 = H5(1-5) – L5(1-5)   · 100%  =    600 – 501  · 100%  = 68,69 %

              C6 – L5(2-6) ___                     581 – 501 

% K6 = H5(2-6) – L5(2-6)   · 100%  =   587 – 501  · 100%  = 93,02%

              C7 – L5(3-7) ___                     562 – 501 

% K7 = H5(3-7) – L5(3-7)   · 100%  =   587 – 501  · 100%  = 70,93 %

              C8 – L5(4-8) ___                     573 – 521 

% K8 = H5(4-8) – L5(4-8)   · 100%  =   587 – 521  · 100%  = 78,79 %

              C9 – L5(5-9) ___                     592 – 540 

% K9 = H5(5-9) – L5(5-9)   · 100%  =   610 – 540  · 100%  = 74,29 %

                C10 – L5(6-10) ___                     645 – 561 

% K10 = H5(6-10) – L5(6-10)   · 100%  =   645 – 561  · 100%  = 100 %

             __H5(1-5) – C5__                    600 – 569

% R5 =  H5(1-5) – L5(1-5)  · 100 %  = 600 – 501  · 100 %  = 31,31%

             __H5(2-6) – C6__                    587 – 581

% R6 =  H5(2-6) – L5(2-6)  · 100 %  = 587 – 501  · 100 %  = 6,98 %

             __H5(3-7) – C7__                    587 – 562

% R7 =  H5(3-7) – L5(3-7)  · 100 %  = 587 – 501  · 100 %  = 29,07 %

             __H5(4-8) – C8__                    587 – 573

% R8 =  H5(4-8) – L5(4-8)  · 100 %  = 587 – 521  · 100 %  = 21,21 %

             __H5(5-9) – C9__                    610 – 592

% R9 =  H5(5-9) – L5(5-9)  · 100 %  = 610 – 540  · 100 %  = 25,71 %

             __H5(6-10) – C10__                    645 – 645

% R10 =  H5(6-10) – L5(6-10)  · 100 %  = 645 – 561  · 100 %  = 0

Индикаторы % K и % R показывают, куда больше тяготеет цена закрытия. Цена закрытия близка к максимальной, т.е. происходит рост цен.

% D рассчитывается аналогично % К, с той лишь разницей, что при его построении оперируют с трехдневной суммой.

            (569 – 501) + (581 – 501) + (562 – 501)

%D7 = (600 – 501) + (587 – 501) + (587 – 501)  · 100 % = 39,11%

            (581 – 501) + (562 – 501) + (573 – 521)

%D8 = (587 – 501) + (587 – 501) + (587 – 521) · 100 % = 29,41%

            (562 – 501) + (573 – 521) + (592 – 540)

%D9 = (587 – 501) + (587 – 521) + (610 – 540) · 100 % = 31,53 %

              (573 – 521) + (592 – 540) + (645 – 561)

%D10 = (587 – 521) + (610 – 540) + (645 – 561) · 100 % = 32,00 %

% D говорит о том, что цена закрытия близка к максимальной, и происходит рост цен.

10