Контрольная работа по "Линейная алгебра". 6

Контрольная работа по курсу «Линейная  алгебра». 

ЗАДАЧА 1. Фирма выпускает продукцию трех видов (число продукции n=3) и использует сырье двух типов (число сырья m=2). Норма расходов сырья i-го типа (i=1..m) на единицу продукции j-го вида (j=1..n) обозначается a_ij; Величины a_ij являются элементами матрицы A=A_m*n. План выпуска продукции задан матрицей-строкой Q=Q_1*n. Стоимость единицы каждого типа сырья задана матрицей-столбцом P=P_m*1 (таблица 1).

 

Определите:

1. матрицу-столбец D=D_m*1 затрат сырья в натуральном выражении на плановый выпуск продукции;
2. матрицу-строку С=С_1*n стоимость затрат сырья на единицу продукции;
3. матрицу-число G=G_1*1 стоимость сырья на план выпуска продукции- двумя способами: используя матрицу D (первый способ) и матрицу С (второй способ);

Решение:

а)

  

  

а)

  

  

 

ЗАДАЧА  2. Вычислите определитель матрицы четвертого порядка.

1. способ-разложение  по 4-ой строке:

2. способ –  разложение по первому столбцу:

 

Результат вычисления определителя различными способами одинаков.

Вывод: определитель не зависит от способа вычисления.

 

ЗАДАЧА  3. Транспонируете матрицу:

. Вычислите определитель транспонируемой  матрицы и сравните его значение  с результатом задачи 2. 

ВЫВОД: Определитель транспонированной матрицы равен определителю самой матрицы. 

ЗАДАЧА  4. Выбросите из матрицы задачи 2 любую строку, и вместо нее впишите повторно любую из оставшихся строк. Вычислите определитель получившейся матрицы.

Выбросим из матрицы 3-ю строку и впишем вместо нее 4-ую получим матрицу: 

.

Вычислим определитель матрицы В

ВЫВОД: Определитель матрицы в  которой 2 строки одинаковы равен  нулю.

ЗАДАЧА  5. Возведите в квадрат матрицу из задачи 2. Транспонируйте исходную матрицу из задачи 2 и возведите ее в квадрат. Сравните полученные результаты.

Вывод:

ЗАДАЧА  6. Вычислите определитель квадрата матрицы из задачи 5 и сравните с определителем исходной матрицы. 

ВЫВОД: det(A²)=(detA)² 

ЗАДАЧА  7. Найдите матрицу, обратную исходной матрице

 

 

Проверка:

Вывод:  

Вывод: определитель матрицы = определителю обратной матрицы.

ЗАДАЧА  8. Составьте систему трех уравнений с тремя неизвестными , которая имеет решение (1;2;4) и решить ее тремя методами :

1. Гаусса;
2. Крамера;
3. в матричной форме.

Составим систему, пусть матрица

, тогда получим

.

Итак имеем  систему уравнений:

Вычислим определитель матрицы А:

Решим полученную систему методом  Гаусса:

.

Решим систему  по формулам Крамера:

Решим систему 3 способом:

  

 

Вывод: Решения полученные всеми способами совпадают с решением данным в условии задачи. 

ЗАДАЧА  9. Найдите уравнения прямой, проходящей через две данные точки: .

(1)

- Определим длину отрезка, отсекаемого на оси ординат, для этого положим х=0:

• длинна  отрезка равна 2.

- Для определения  углового коэффициента преобразуем  уравнение (1):

Итак, k=2/3.=> .

-Чтобы вычислить  длину отрезка, отсекаемого на  оси абсцисс, положим у=0:

• длинна  отрезка равна 3.

Запишем уравнение  в отрезках:

 

Уравнение в  отрезках совпадает с уравнением с угловым коэффициентом.

График См рис.1

ЗАДАЧА  10. Составьте уравнение двух прямых, проходящих через точку А(4;2), одна из которых параллельна прямой 3у=2х+6, а другая перпендикулярна той же прямой. Найдите расстояние от прямой 3у=2х+6 до точки А.

 и 

 

График см. рис 

 

ЗАДАЧА  11. Предприятие выпускает два вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы продукции А требуется затратить сырья каждого вида 1, 3, 4 кг соответственно, а для единицы изделия В – 3, 4, 1 кг производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве 300, 477, 441 кг, соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет 52 руб., а единицы В – 39 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль.

Решение:

1)Составим математическую модель задачи. Обозначим за х1 и х2 – число единиц продукции вида А и В, соответственно, запланированных к производству. По смыслу задачи все переменные могут принимать только не отрицательные значения; в результате  получим такой набор ограничений : . Для реализации данного плана потребуется: единиц сырья первого вида, запасы которого составляют 300 кг. Так как потребление сырья не может превышать его запаса, то связь между потреблением сырья и его запасом выражается в виде следующего неравенства: . Аналогично получаем следующие ограничения: и .

Составим целевую  функцию. Прибыль от реализации продукции  А равна  а продукции В - , тогда общая прибыль равна .

Окончательно  математическая модель задачи записывается так:

Решим задачу графически (см. рис.) Для этого построим прямые :

Получим что  область допустимых решений это  многоугольник ABCDE. Построим вектор из координат целевой функции и проводя перпендикулярные ему прямые определим что план будет максимальным в точке D=

Найдем координаты точки D, для этого решим систему уравнений :

Прибыль будет максимальна в точке X*=(99, 45) и равна 52*99+39*45=6903 руб.

2)Составим двойственную  задачу.

    Исходная  задача:  Двойственная задача 

                 

ЗАДАЧА  12.

 На трех базах находится однородный груз в количествах соответственно. Этот груз необходимо развести четырем потребителям , , , , потребности которых в данном грузе равны , , , , соответственно. Стоимость перевозок пропорциональна расстоянию и количеству перевозимого груза (С-матрица тарифов). Требуется спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Таб. 1 

Решение: Рассмотрим построение опорного плана по методу наименьшей стоимости. То есть в первую очередь будем удовлетворять тех потребителей, доставка товара к которым обходиться дешевле, иными словами будем заполнять клетки с наименьшим тарифом. Выбираем в таблице 1 клетку А₃В₄ (краткое обозначение (3;4)), соответствующую наименьшему тарифу . Эта клетка находиться на пересечении 3-ей строки и четвертого столбца. На третьей базе имеется груз 60 т. Потребность пункта 4 составляет 20 т. и может быть удовлетворена базой 3. Пологая вписываем это значение в клетку (3;4). В незаполненной части таблицы наименьший тариф и исключаем 1-ий столбец. Аналогично наименьший тариф в незаполненной части находится в клетке (3;3) т.к. у третьей базы осталось только 40 т. далее наименьший тариф в незаполненной части находится в клетке (1;3) т.к. у первого поставщика осталось 20 т. Наименьший тариф в незаполненной части находится в клетке (2;2) т.к. второму потребителю необходимо 70 т. Остается клетка (2;3) и третьему пункту необходимо 10 тонн и вторая база эту потребность может удовлетворить. Итак получили таблицу:

Таб.2

В результате заполненными оказываются следующие клетки матрицы  перевозок ( ): . Транспортные расходы по этой программе равны:

Мы получили первый опорный план. Число загруженных  клеток должно быть равно m+n-1. У нас это 6. что мы и получили.

Проверим является ли найденный опорный план оптимальным. Для этого воспользуемся методом потенциалов, основанном на следующей теореме.

Если план транспортной задачи является оптимальным, то ему соответствует система из m+n чисел и , удовлетворяющих условия

(базисные клетки)               (1)

(свободные клетки),       (2) 

где  и называются потенциалами соответственно поставщиков и потребителей; - стоимость перевозок.

Таким образом, чтобы проверить план на оптимальность, следует сначала построить систему  потенциалов. 

Для построения системы потенциалов используем условие (1), где  стоимость перевозок единицы груза от i-го поставщика  к j-му потребителю для занятых клеток.

Система состоит  из 6-и уравнений и 7 неизвестных. Т.е. одно из них можно считать свободным и приравнять его к нулю. Пусть это будет . Тогда остальные неизвестные найдутся при решении системы и будут равны соответственно: , , , , , .

Таб. 2 примет вид:

 

Таб.3

После того как  система потенциалов построена  следует проверить условие оптимальности (2) для свободных клеток, то если найти косвенные тарифы и сравнить их с истинными цифрами .

Разность  называют оценкой пустой клетки, она равна коэффициенту при переменной в выражении функции затрат через не основные переменные.

 

Все оценки не отрицательны, поэтому план таблицы 3 – оптимален.

Минимальные затраты: 830.