Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Линейная алгебра". 3

ЧАСТЬ 1

Задание 1

Определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья (полученную систему решить: 1) методом Крамера, 2) матричным методом, 3) методом Гаусса).

Решение

Составим систему алгебраических уравнений:

3x +3y + 6z = 42

2x + 7y + 8z = 63

5x + 6у + 8z = 63

Запишем в виде расширенной матрицы:

3 3 6 42

2 7 8 63

5 6 8 63

Метод Крамера.

X_j = Δ_j/ Δ

Вычислим определитель Δ и определители Δ_jдля всех значений j = 1, 2, 3.

3 3 6

Δ = 2 7 8 = a₁₁ × A₁₁ + a₁₂ × A₁₂ + a₁₃ ×A₁₃ = a₁₁ × (-1)¹⁺¹ × (a₂₂a₃₃ – a₂₃a₃₂) +

5 6 8

a₁₂× (-1)¹⁺² × (a₂₁a₃₃ – a₂₃a₃₁) + a₁₃ × (-1)¹⁺³ × (a₂₁a₃₂ – a₂₂a₃₁) = 3× (7×8 - 8×6) - 3× (8×2 - 8×5) + 6× (2×6 - 5×7) = 24 + 72 – 138 = -42

42 3 6

Δ₁= 63 7 8 = 42× (7×8 - 6×8) - 3× (63×8 - 63×8) + 6× (63×6 - 7×63) = 336 –

0 – 378 = -42

3 42 6

Δ₂= 2 63 8 = 3 × (63×8 - 63×8) - 42× (2×8 - 5×8) + 6× (2×63 - 5×63) = 1008

5 63 8

- 1134 = -126

3 3 42

Δ₃ = 2 7 63 = 3× (7×63 - 6×63) - 3× (2×63 - 63×5) + 42× (2×6 - 5×7) = 189 +

5 6 63

567 – 966 = -210

Объём выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья составит:

S₁ = Δ₁/Δ = -42/-42 = 1,0

S₂ = Δ₂/Δ = -126/-42 = 3,0

S₃ = Δ₃/Δ = -210/-42 = 5,0

Проверка:

3×1,0 + 3×3,0 + 6×5,0 = 42

2×1,0 + 7×3,0 + 8×5,0 = 63

5×1,0 + 6×3,0 + 8×5,0 = 63

Ответ: S₁= 1,0 S₂ = 3,0 S₃ = 5,0

Матричный метод.

A^-1 = 1/Δ × (Ā)^T

Δ = - 42 B^T= (42, 63, 63)

Протранспонируем матрицу А

3 2 5 ^T

A^T = 3 7 6

6 8 8

Вычислим алгебраические дополнения транспонируемой матрицы

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ × 7 6 = (7×8 - 6×8)= 8

8 8

A₁₂= (-1)¹⁺²× 3 6 = - (3×8 - 6×6) = 12

6 8

A₁₃ = (-1)¹⁺³ × M₁₃ = (3×8 - 6×7) = -18

A₂₁ = (-1)²⁺¹ × M₂₁ = - (2×8 - 5×8) = 24

A₂₂ = (-1)²⁺² × M₂₂ = (3×8 - 5×6) = -6

A₂₃ = (-1)²⁺³ × M₂₃ = - (3×8 - 2×6) = -12

A₃₁ = (-1)³⁺¹ × M₃₁ = (2×6 - 7×5) = -23

A₃₂ = (-1)³⁺² × M₃₂ = - (3×6 - 5×3) = -3

A₃₃ = (-1)³⁺³ × M₃₃ = (3×7 - 3×2) = 15

Из алгебраических дополнений составим союзную матрицу:

8 12 -18

Ā = 24 -6 -12

-23 -3 15

Полученную матрицу подставим в формулу для нахождения обратной матрицы, получаем следующее:

8 12 -18

A^-1 = - 1/42 × 24 -6 -12

-23 -3 15

Находим неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.

X = A^-1 × B

-8/42 -12/42 18/42 42 -8/42×42 - 12/42×63 + 18/42×63 1,0

X = -24/42 -6/42 -12/42 × 63 = -24/42×42 - 6/42×63 – 12/42×63 = 3,0

-23/42 -3/42 15/42 63 -23/42×42 – 3/42×63 + 15/42×63 5,0

Ответ: получили следующие данные по объемам:

S₁ = 1,0 S₂ = 3,0 S₃ = 5,0

Проверка:

3×1,0 + 3×3,0 + 6×5,0 = 42

2×1,0 + 7×3,0 + 8×5,0 = 63

5×1,0 + 6×3,0 + 8×5,0 = 63

Метод Гаусса

Запишем систему в виде расширенной матрицы, т.е. составим матрицу из коэффициентов системы и присоединим к ней столбец свободных элементов, для удобства отделенный вертикальной чертой:

3 3 6 42

2 7 8 63

5 6 8 63

Выполняя элементарные преобразования над строками этой матрицы, приведем ее к треугольному виду. Для этого проведем следующие действия.

Умножим первую строку на 2, а вторую строку на -3. Добавим соответствующие элементы второй строки к первой:

2×3 + 2×(-3) 2×3 + 7×(-3) 6×2 + 8×(-3) 42×2 + 63×(-3) 0 -15 -12 -105

2 7 8 63 = 2 7 8 63

5 6 8 63 5 6 8 63

Умножим вторую строку на 5, а третью строку на -2. Добавим к второй строке третью строку:

0 -15 -12 -105 0 -15 -12 -105

2×5 + 5×(-2) 7×5 + 6×(-2) 8×5 + 8×(-2) 63×5 + 63×(-2) = 0 23 24 189

5 6 8 63 5 6 8 63

Умножим первую строку на 23. Вторую строку на 15. Добавим вторую строку к первой:

0 + 0 (-15)×23 + 23×15 (-12)×23 + 24×14 (-105)×23 + 189×15 0 0 84 420

0 23 24 189 = 0 23 24 189

5 6 8 63 5 6 8 63

От расширенной матрицы перейдем к системе уравнений, эквивалентной заданной

84z = 420

23y + 24z = 189

5x + 6у + 8z = 63

Решая первое уравнение системы, найдем значение z = 420/84 = 5,0

Подставляя значение z = 5,0 во второе уравнение системы, получим следующее:

23y + 24 × 5,0 = 189

23y = 189 – 24 × 5,0

23y = 69,0

y = 3,0

Подставив в третье уравнение данные значения получим значение x:

5x + 6 × 3,0 + 8 × 5,0 = 63

5x = 63 – 40 - 18

5x = 5

x = 1,0

Проверка:

3×1,0 + 3×3,0 + 6×5,0 = 42

2×1,0 + 7×3,0 + 8×5,0 = 63

5×1,0 + 6×3,0 + 8×5,0 = 63

Ответ: { S₁ = 1,0; S₂ = 3,0; S₃ = 5,0}

Задание 2

2 1 -1 2 4 -3

А = 3 -2 4 В = 1 -3 2

1 -5 3 3 1 -1

Решение

Выполним сложение матриц А и B. Даны матрицы размером 3×3.

C = A + В

2 1 -1 2 4 -3 2 + 2 1 + 4 (-1) + (-3) 4 5 -4

С = 3 -2 4 + 1 -3 2 = 3 + 1 (-2) + (-3) 4 + 2 = 4 -5 6

1 -5 3 3 1 -1 1 + 3 (-5) + 1 3 + (-1) 4 -4 2

Выполним умножение матриц А и В. С = А × В

2 1 -1 2 4 -3 2×2 + 1×1 + (-1)×3 2×4 + 1×(-3) + (-1)×1

С = 3 -2 4 × 1 -3 2 = 3×2 - 2×1 + 4×3 3×4 - 2×(-3) + 4×1

1 -5 3 3 1 -1 1×2 - 5×1 + 3× 3 1×4 - 5×(-3) + 3×1

2×(-3) + 1×2 - 1×(-1) 2 4 -3

3×(-3) - 2×2 + 4×(-1) = 16 22 -17

1×(-3) - 5×2 + 3×(-1) 6 22 -16

Выполним транспонирование матриц А и В.

Операция транспонирования заключается в том, что строки и столбцы в исходной матрице меняются ролями.

2 1 -1^Т2 3 1

А^Т= 3 -2 4 = 1 -2 -5

1 -5 3 -1 4 3

2 4 -3 ^Т 2 1 3

В^Т = 1 -3 2 = 4 -3 1

3 1 -1 -3 2 -1

Найдем матрицу обратную матрице А.

Для этого найдем алгебраическое дополнение А_ijк элементам a_ij, расположенным в первой строке матрицы А:

А₁₁ = -2 4 = (-2) × 3 - (-5) × 4 = 14

-5 3

А₁₂ = - 3 4 = - (3×3 – 1×4) = -5

1 3

А₁₃ = 3 -2 = (-5)×3 – (-2)×1 = -13

1 -5

Δ = а₁₁ × А₁₁ + а₁₂× А₁₂ + а₁₃ × А₁₃ = 2×14 + 1×(-5) + (-1)×(-13) = 28–5 + 13 = 36

Далее получаем алгебраические дополнения для второй и третьей строк.

А₂₁ = - 1 -1 = - (1×3 –(-5)×(-1)) =2 А₃₁ = 1 -1 = 1×4 – (-2)×(-1) = 2

-5 3 -2 4

А₂₂ = 2 -1 = 2×3 - 1×(-1) = 7 А₃₂ = - 2 -1 = - (2×4 - 3×(-1)) = -11

1 3 3 4

А₂₃= - 2 1 = - (2×(-5) - 1×1) = 11 А₃₃ = 2 1 = 2×(-2) - 1×3 = -7

1 -5 3 -2

Составим присоединенную матрицу.

14 -5 -13

Ā = 2 7 11

2 -11 -7

Обратная матрица:

14 -5 -13 ^Т 14/36 2/36 2/36

А^-1 = 1/36 × 2 7 11 = -5/36 7/36 -11/36

2 -11 -7 -13/36 11/36 -7/36

Проверим равенство А^-1 × А = Е.

14/36 2/36 2/36 2 1 -1 14/36×2+2/36×3+2/36×1 14/36×1+

А^-1× А = -5/36 7/36 -11/36 × 3 -2 4 = -5/36×2+7/36×3-11/36×1 -5/36×1+

-13/36 11/36 -7/36 1 -5 3 -13/36×2+11/36×3–7/36×1 -13/36×1

2/36×(-2)+2/36×(-5) 14/36×(-1)+2/36×4+2/36×3 1 0 0

7/36×(-2)-11/36×(-5) -5/36×(-1)+7/36×4-11/36×3 = 0 1 0 = Е

+11/36×(-2)–7/36×(-5) -13/36×(-1)+11/36×4-7/36×3 0 0 1

Задание 3/1

х + 4y – z = 6

5y + 4z = -20

3x – 2y + 5z = -22

Запишем систему в виде расширенной матрицы.

1 4 -1 6

0 5 4 -20

3 -2 5 -22

Метод Крамера.

Вычислим определитель Δ и определители Δ_j для всех значений j = 1, 2, 3 по элементам первой строки.

Δ = а₁₁(а₂₂а₃₃ – а₂₃а₃₂) – а₁₂(а₂₁а₃₃ – а₂₃а₃₁) + а₁₃(а₂₁а₃₂ – а₂₂а₃₁) = 1× (5×5 – (-2) ×4) - 4×(0×5 – 3×4) + (-1) × (0×(-2) - 5×3) = 33 + 48 + 15 = 96

Δ = 96

6 4 -1

Δ₁= -20 5 4 = 6× (5×5 – 4×(-2)) - 4× (5×(-20) – 4×(-22)) + (-1)× ((-20)×(-2) -

-22 -2 5

5×(-22)) = 198 + 48 – 150 = 96

6 -1

Δ₂= 0 -20 4 = 1× (5× (-20) – (-22)×4) – 6× (0×5 – 3×4) + (-1)× (0×(-22) -

3 -22 5

3×(-20)) = -12 + 72 – 60 = 0

1 4 6

Δ₃ = 0 5 -20 = 1× ((-22)×5 – (-2)×(-20)) - 4× (0×(-22) - 3×(-20)) + 6× (0×(-2)-

3 -2 -22

5×3) = -150 – 240 – 90 = - 480

Зная определители найдем значения для x, y и z:

x = Δ₁/Δ = 96/96 = 1,0

y = Δ₂/Δ = 0/96 = 0

z = Δ₃/Δ = -480/96 = -5,0

Проверка:

1×1 + 4×0× - 1×(-5) = 6

5×0 + 4×(-5) = -20

3×1 - 2×0 + 5×(-5) = -22

Ответ: {x = 1,0, y = 0, z = -5,0}

Метод обратной матрицы (матричный метод)

Вычислим определитель Δ, убедимся что он не равен 0.

Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных.

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ × 5 4 = 5×5 – (-2) ×4 = 33

-2 5

A₁₂= (-1)¹⁺²× 0 4 = - (0×5 – 3×4) = 12

3 5

A₁₃= (-1)¹⁺³× 0 5 = 0×(-2) – 3×5 = -15

3 -2

A₂₁= (-1)²⁺¹× 4 -1 = - (4×5 – (-2)×(-1)) = -18

-2 5

A₂₂= (-1)²⁺²× 1 -1 = 5×1 – (-1)×3 = 8

3 5

A₂₃= (-1)²⁺³× 1 4 = - (1×(-2) – 4×3) = 14

3 -2

A₃₁= (-1)³⁺¹× 4 -1 = 4×4 – (-1)×5 = 21

5 4

A₃₂= (-1)³⁺²× 1 -1 = - (1×4 – (-1)×0) = -4

0 4

A₃₃= (-1)³⁺³× 1 4 = 1×5 – 4×0 = 5

0 5

Далее найдем союзную матрицу, транспонируем ее и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы

33 12 -15 _Т 33 -18 21

Ā = -18 8 14 = 12 8 -4 = Ā^Т

21 -4 5 -15 14 5

33 -18 21 33/96 -18/96 21/96

A^-1 = 1/Δ ×Ā^T = 1/96× 12 8 -4 = 12/96 8/96 -4/96

-15 14 5 -15/96 14/96 5/96

33/96 -18/96 21/96 6 33/96×6 – 18/96×(-20) +21/96×(-22)

X = A^-1 × B = 12/96 8/96 -4/96 × -20 = 12/96×6 + 8/96×(-20) +(-22)×(-22) =

-15/96 14/96 5/96 -22 -15/96×6 + 14/96×(-20) +5/96×(-22)

-5

Проверка:

1 + 4 × 0 + 5 = 6

0 + 5×0 + 4×(-5) = -20

3×1 – 2×0 + 5×(-5) = -22

Ответ: {X = 1, y = 0, z = -5}

Задание 3/2

5x - 5y - 4z = -3

x - y + 5z = 1

4x - 4y - 9z = 0

Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:

5 -5 -4 -3

1 -1 5 1

4 -4 -9 0

Вычислим определитель матрицы:

5 -5 -4

Δ = 1 -1 5 = а₁₁(а₂₂а₃₃ – а₂₃а₃₂) – а₁₂(а₂₁а₃₃ – а₂₃а₃₁) + а₁₃(а₂₁а₃₂ – а₂₂а₃₁) =

4 -4 -9

= 5 × ((-1)×(-9) - 5×(-4)) – (-5)× (1×(-9) - 5×4) + (-4)× (1×(-4) - 4×(-1)) = 0

Определитель равен 0. Система имеет бесконечное множество решений.

То же самое получается по методу обратной матрицы, так как определитель равен 0 система имеет бесконечное множество решений.

ЗАДАНИЕ 4

Вычислим определитель, разложив его по элементам третьего столбца:

Δ = а₁₃× А₁₃ + а₂₃ × А₂₃ + а₃₃ × А₃₃ + а₄₃ × А₄₃ = 3 ×(-1)¹⁺³ × 5 4 5 + 3×(-1)²⁺³×

1 1 1

-2 -2 -2

7 6 7

1 1 1 -2 -2 -2

+ 2× (-1)³⁺³×

7 6 7

5 4 5 -2-2 -2

= 0

Подсчитаем определители третьего порядка каждый отдельно:

5 4 5

1 1 1

-2 -2 -2

= 5×(-1)¹⁺¹ ×

+ 4×(-1)¹⁺²×

+ 5×(-1)¹⁺³×

1 1

-2 -2

1 1

-2 -2

1 1

-2 -2

= 5×((-2)×1 - 1×(-2)) + 4×(1×(-2) - 1×(-2)) + 5×(1×(-2) – (-2)×1) = 0

7 6 7

1 1 1

-2-2-2

= 7×(-1)¹⁺¹×

+ 6× (-1)¹⁺²×

+ 7×(-1)¹⁺³×

1 1 -2 -2

1 1 -2-2

1 1

-2 -2

= 7×((-2)×1 - 1×(-2)) – 6×(1×(-2) - 1×(-2)) +7×(1×(-2) – (-2)×1) = 0

7 6 7

5 4 5 -2-2-2

= 7×(-1)¹⁺¹×

+ 6× (-1)¹⁺²×

+ 7×(-1)¹⁺³×

4 5

-2 -2

5 5 -2-2

5 4

-2 -2

= 7×((-2)×4 - 5×(-2)) -6×(5×(-2) - 5×(-2)) + 7×(5×(-2) – (-2)×4) = 0

Таким образом, определитель четвертого порядка будет равен:

Δ₄ = 3×0 + 3×0 + 2×0 = 0

Ответ: Δ₄ = 0

Задание 5/А

5х + 2у – 4z = -16

x + 3z = -6

2x – 3y + z = 9

5 2 -4 -16

1 0 3 -6

2 -3 1 9

Выполняя элементарные преобразования над строками этой расширенной матрицы, приведем ее к треугольному виду. Для этого к элементам первой строки умноженным на (-5) добавим соответствующие элементы второй строки; к элементам второй строки, умноженным на 2 добавим соответствующие элементы третьей строки, умноженным на (-1). К элементам первой строки, умноженным на 3, добавляем элементы второй строки, умноженные на (-2).

5 2 -4 -16 0 2 -19 14 0 2 -19 14 0 0 -67 84

1 0 3 -6 → 1 0 3 -6 → 0 3 5 -21 → 0 3 5 -21

2 -3 1 9 2 -3 1 9 2 -3 1 9 2 -3 1 9

От расширенной матрицы перейдем к системе уравнений, эквивалентной заданной:

-67z = 84

3y + 5z = -21

2x - 3y + z = 9

Решая первое уравнение системы найдем -67z = 84; z = 84/-67; z = -1,25

Подставляя значение z = -1,25 во второе уравнение системы, получим

3y + 5×(-1,25) = -21; 3y = -21 + 6,25; 3y = -14,75; y = -14,75/3; y = -4,91

Подставим в третье уравнение значения z = -1,25 и y = -4,91, получим

2x - 3×(-4,91) – 1,25 = 9; 2x + 14,73 – 1,25 = 9; 2x + 13,48 = 9; 2x = -4,48; x = -2,24

Проверка:

5×(-2,24) + 2×(-4,91) - 4×(-1,25) = -16

-2,24 + 3×(-1,25) = -6

2×(-2,24) - 3×(-4,91) + 1×(-1,25) = 9

Ответ: { x=-2,24, y=-4,91, z=-1,25}

Задание 5/Б

1 -2 -3 3

1 3 -5 0

2 1 -8 4

Выполняя элементарные преобразования над строками этой расширенной матрицы, приведем ее к треугольному виду. Для этого из элементов второй и третьей строк вычтем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 1, 2 соответственно; элементы второй строки делим на 5; из первой и третьей строк отнимаем вторую строку, умноженные на -2 и 5 соответственно

1 -2 -3 3 1 -2 -3 3 1 -2 -3 3 1 0 -3,8 1,8

1 3 -5 0 → 0 5 -2 -3 → 0 1 -0,4 -0,6 → 0 1 -0,4 -0,6

2 1 -8 4 0 5 -2 -2 0 5 -2 -2 0 0 0 1

От расширенной матрицы перейдем к системе уравнений, эквивалентной заданной:

x – 3,8z = 1,8

y – 0,4z = -0,6

0 + 0 + 0 = 1

Полученная система несовместна, так как ее первое уравнение не имеет смысла. Следовательно, исходная система также несовместна.

Ответ: система несовместна.

ЧАСТЬ 2

Составим задачу и решим ее при m=4 и n=3.

Задача. Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязи определяет матрица А коэффициентов прямых затрат и вектором конечной продукции Y:

Найти коэффициенты полных затрат; плановые объемы валовой продукции ; величину межотраслевых потоков (т.е. значения ), матрицу косвенных затрат; определить чистую продукцию каждой отрасли. Результаты расчетов оформить в виде таблицы межотраслевого баланса.

РЕШЕНИЕ

Найдем матрицу (Е-А):

Для определения матрицы полных затрат найдем матрицу обратную К.

Вычислим определитель:

|K| = а₁₁(а₂₂а₃₃ – а₂₃а₃₂) – а₁₂(а₂₁а₃₃ – а₂₃а₃₁) + а₁₃(а₂₁а₃₂ – а₂₂а₃₁)

Так как , то существует матрица обратная заданной матрице К.

Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы К:

Из алгебраических дополнений составляем матрицуи транспонируем ее:

Получаем обратную матрицу (она является матрицей полных затрат):

Находим объем производства отраслей (валовая продукция):

Следовательно, плановые объемы валовой продукции трех отраслей, необходимые для обеспечения заданного уровня конечной продукции равны: x₁ = 2717,40; x₂ = 2274,40; x₃ = 2642,40.

Для составления баланса рассчитываем межотраслевые потоки средств производства.

;	;	;
;	;	;
;	;	.

Результаты вычислений представим в форме межотраслевого баланса.

Величина чистой продукции определяется здесь как разница между валовой продукцией отрасли и суммой межотраслевых потоков в каждом столбце.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечная продукция	Валовая продукция
Производящие отрасли	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1	543,48	909,76	264,24	1000	2717,40
2	0	682,32	792,72	800	2274,40
3	1086,96	227,44	528,48	800	2642,40
Чистая продукция	1086,96	454,88	1056,96	-	-
Валовая продукция	2717,40	2274,40	2642,40	-	7634,20

Найдем матрицу косвенных затрат:

C =

Контрольная работа по Линейная алгебра. 3 📙 Контрольная → 🆔 59973