Контрольная работа по "Линейной алгебре". 3



 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Линейная  алгебра и аналитическая геометрия с экономическими приложениями

ЗАДАНИЯ 1 – 20

Даны матрицы А, В, С, D. Найти:

а) P=(2А–3В)C

б) ранг и базисный минор матрицы  D.

 

 

  1.    

Решение:

 

 

1)Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой

Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

1-ая строка является  линейной комбинацией других  строк.

Базисный минор матрицы Д

 

ЗАДАНИЯ 21 – 40

Показать, что системы  уравнений имеют единственное решение.

Найти решение с помощью:

а) обратной матрицы

б) формул Крамера.

40. 

а) Метод обратной матрицы

Запишем матрицу в виде:

 

Вектор B:

BT = (3,0,3)

Главный определитель

∆ = 2•(1•1-(-1•(-5)))-3•(-1•1-(-1•3))+4•(-1•(-5)-1•3) = -6

Транспонированная матрица

 

Алгебраические дополнения

          ∆11 = (1•1-(-5•(-1))) = -4

           ∆12 = -(-1•1-3•(-1)) = -2

           ∆13 = (-1•(-5)-3•1) = 2

            ∆21 = -(3•1-(-5•4)) = -23

             ∆22 = (2•1-3•4) = -10

           ∆23 = -(2•(-5)-3•3) = 19

          ∆31 = (3•(-1)-1•4) = -7

         ∆32 = -(2•(-1)-(-1•4)) = -2

          ∆33 = (2•1-(-1•3)) = 5

Обратная матрица

 

Вектор результатов X

X = A-1 • B

 

 

XT = (1,2,1)

x = -6 / -6 = 1

у= -12 / -6 = 2

z= -6 / -6 = 1

Проверка.

2•1+-1•2+3•1 = 3

3•1+1•2+-5•1 = 0

4•1+-1•2+1•1 = 3

 

б) формул Крамера.

Запишем систему в виде:

 

BT = (3,0,3)

Главный определитель:

∆ = 2 • (1 • 1-(-1 • (-5)))-3 • (-1 • 1-(-1 • 3))+4 • (-1 • (-5)-1 • 3) = -6 = -6

Заменим 1-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆1 = 3 • (1 • 1-(-1 • (-5)))-0 • (-1 • 1-(-1 • 3))+3 • (-1 • (-5)-1 • 3) = -6

x = -6 / -6 = 1

Заменим 2-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем  определитель полученной матрицы.

∆2 = 2 • (0 • 1-3 • (-5))-3 • (3 • 1-3 • 3)+4 • (3 • (-5)-0 • 3) = -12

у= -12 / -6 = 2

Заменим 3-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем  определитель полученной матрицы.

∆3 = 2 • (1 • 3-(-1 • 0))-3 • (-1 • 3-(-1 • 3))+4 • (-1 • 0-1 • 3) = -6

z= -6 / -6 = 1

 

Выпишем отдельно найденные переменные Х

x = -6 / -6 = 1

 

у= -12 / -6 = 2

 

z= -6 / -6 = 1

 

Проверка.

2•1+-1•2+3•1 = 3

3•1+1•2+-5•1 = 0

4•1+-1•2+1•1 = 3

 

 

ЗАДАНИЯ 41 – 60

Исследовать системы на совместность. Найти общее решение в случае совместности.

 

 

60. 

Запишем систему в матричном  виде:

 

 

Запишем матрицу в  виде:

1 -2 0 1 10

2 -1 3 0 1

1 1 3 -1 -9


 

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

1 1 3 -1 10

1 -2 0 1 1

2 -1 3 0 -9


 

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

0 3 3 -2 9

1 -2 0 1 1

2 -1 3 0 -9

 

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой

0 3 3 -2 9

0 -3 -3 2 11

2 -1 3 0 -9

 

Добавим 2-ую строку к 1-ой

0 0 0 0 20

0 -3 -3 2 11

2 -1 3 0 -9

Система несовместна, так как ранг основной матрицы =2

 Ранг расширенной  матрицы =3

Ранги не равны между  собой

Система не имеет решений

 

ЗАДАНИЯ 101 – 120

По заданным (в таблице) данным межотраслевого баланса (условные денежные единицы) найти необходимый объем валового выпуска каждой из двух отраслей, если конечное потребление первой отрасли увеличится на 100%, а второй – сохраниться на прежнем уровне.

 

№ зад.

Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой выпуск

Р1

Р2

120

Производство

Р1

5

22

82

100

Р2

12

28

143

200


Решение:

Конечное потребление  первой отрасли увеличится на 100% 82*(100%+100%)/100%=164

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Так как валовой объем продукции  любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то:

xi = (xi1 + xi2 + ... + xin) + yi, (i = 1,2,...,n).

Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат:

aij = xij/xj, (i,j = 1,2,...,n),

показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли.

 

Отрасль

Потребление

0

Конечный продукт

Валовой выпуск

Производство

5

22

82

109

0

12

28

143

183


 

 

 

По формуле aij = xij / xj находим коэффициенты прямых затрат:

 

0.0459

0.12

0.11

0.15


 

 

 

Коэффициент прямых затрат (aij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

Если ввести в рассмотрение матрицу  коэффициентов прямых затрат A = (aij), вектор-столбец валовой продукции X = (Xi) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Yi), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид:

X = AX +Y

Идея сбалансированности лежит в основе всякого рационального  функционирования хозяйства. Суть ее в  том, что все затраты должны компенсироваться доходами хозяйства. В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод – взаимное сопоставление имеющихся ресурсов и потребностей в них.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Пусть экономика  страны имеет n отраслей материального производства. Каждая отрасль выпускает некоторый продукт, часть которого потребляется другими отраслями (промежуточный продукт), а другая часть – идет на конечное потребление и накопление (конечный продукт).

Обозначим через Xi (i=1..n) валовый продукт i-й отрасли; xij – стоимость продукта, произведенного в i-й отрасли и потребленного в j-й отрасли для изготовления продукции стоимостью Xj; Yi – конечный продукт i-й отрасли.

Критерии продуктивности матрицы  А

Существует  несколько критериев продуктивности матрицы А.

1. Матрица  А продуктивна, если максимум  сумм элементов ее столбцов  не превосходит единицы, причем  хотя бы для одного из столбцов  сумма элементов строго меньше единицы.

2. Для того  чтобы обеспечить положительный  конечный выпуск по всем отраслям  необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось одно из перечисленных  ниже условий:

3. Определитель  матрицы (E - A) не равен нулю, т.е.  матрица (E- A) имеет обратную матрицу (E - A)-1.

4. Наибольшее  по модулю собственное значение  матрицы А, т.е. решение уравнения  |λE - A| = 0 строго меньше единицы.

5. Все главные  миноры матрицы (E - A) порядка от 1 до n, положительны.

 

 

Матрица A имеет  неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ∑aij ≤ 1.

I. Определим матрицу коэффициентов  полных материальных затрат приближенно, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.

а) Матрица  коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка равна:

 

б) Матрица  коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна:

 

Матрица коэффициентов  полных затрат приближенно равна:

 

II. Определим матрицу коэффициентов  полных затрат точно с помощью формул обращения невырожденных матриц.

Коэффициент полных затрат (bij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Полные затраты отражают использование  ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных  затрат на всех предыдущих стадиях  производства продукции.

а) Находим матрицу (E-A):

 

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A)-1:

Запишем матрицу в виде:

 

Главный определитель

∆ = (0.95 • 0.85-(-0.11 • (-0.12))) = 0.79490651605705

Транспонированная матрица

 

Обратная матрица

 

 

Найдем величины валовой продукции  двух отраслей

ЗАДАНИЯ 141 – 160

Показать, что векторы ē1, ē2, ē3 образуют базис R3 и найти разложение вектора ā по векторам ē1, ē2, ē3.

160 ā=(15,15,36); 

ē1=(7,5,10);  ē2=(2,-3,-11); ē3=(3,2,5).

Запишем матрицу векторов ē1, ē2, ē3 в виде:

 

Главный определитель этой матрицы:

∆ = 7 • (-3 • 5-2 • (-11))-2 • (5 • 5-2 • 10)+3 • (5 • (-11)-(-3 • 10)) = -36 не равен 0

Векторы линейно независимы и образуют базис

Транспонируем эту матрицу

 

 

BT = (15,15,36)

Главный определитель:

∆ = 7 • (-3 • 5-(-11 • 2))-5 • (2 • 5-(-11 • 3))+10 • (2 • 2-(-3 • 3)) = -36

Заменим 1-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆1 = 15 • (-3 • 5-(-11 • 2))-15 • (2 • 5-(-11 • 3))+36 • (2 • 2-(-3 • 3)) = -72

 

Заменим 2-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆2 = 7 • (15 • 5-36 • 2)-5 • (15 • 5-36 • 3)+10 • (15 • 2-15 • 3) = 36

 

Заменим 3-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆3 = 7 • (-3 • 36-(-11 • 15))-5 • (2 • 36-(-11 • 15))+10 • (2 • 15-(-3 • 15)) = -36

 

Выпишем отдельно найденные  переменные Х

 

 

 

Проверка.

7•2+2•-1+3•1 = 15

5•2+-3•-1+2•1 = 15

10•2+-11•-1+5•1 = 36

Координаты вектора ā в базисе векторов ē1, ē2, ē3

(2;-1;1) 
ЗАДАНИЯ 201 – 220

Дана пирамида АВСD.

Найти:

а) объем пирамиды;

б) площадь грани АВС, высоту пирамиды;

в) угол между ребром АВ и АС;

г) уравнение ребра AD;

д) уравнение плоскости  АВС;

е) уравнение высоты, опущенной  из вершины D;

ж) точку пересечения  высоты и основания.

 

220 A(1,1,1);  B(1,4,1);  C(1,1,4);  D(3,6,0).

Даны координаты пирамиды: A(1,1,1), B(1,4,1), C(1,1,4), D(3,6,0)

Координаты векторов находим по формуле:

X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi

здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки

AB=(1-1;4-1;1-1)=(0;3;0)

AC=(1-1;1-1;4-1)=(0;0;3)

AD=(3-1;6-1;0-1)=(2;5;-1)

а) объем пирамиды;

Объем пирамиды

Объем пирамиды, построенный на векторах АВ(X1;Y1;Z1), АС(X2;Y2;Z2), АД(X3;Y3;Z3) равен:

(кубических  единиц)

Находим определитель матрицы

∆ = 0 • (0 • (-1)-5 • 3)-0 • (3 • (-1)-5 • 0)+2 • (3 • 3-0 • 0) = 18

 

б) площадь грани АВС, высоту пирамиды;

Площадь грани можно найти по формуле:

  где  

Найдем площадь грани ABC

AB=(1-1;4-1;1-1)=(0;3;0)

AC=(1-1;1-1;4-1)=(0;0;3)

 

 

Найдем угол между ребрами AB и AC:

 

 

Площадь грани ABC

 

Уравнение плоскости

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

 

Уравнение плоскости ABC

 

(x-1)(3 • 3-0 • 0) - (y-1)(0 • 3-0 • 0) + (z-1)(0 • 0-0 • 3) = 0

9x + 0y + 0z + 9 = 0

Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

 

D(3,6,0).   9x + 0y + 0z + 9 = 0

 

d=(9*3+0*6+0*0)/(корень(9*9+0*0+0*0))=3

 

 

в) угол между ребром АВ и АС;

AB=(1-1;4-1;1-1)=(0;3;0)

AC=(1-1;1-1;4-1)=(0;0;3)

 

 

 

Найдем угол между ребрами AB и AC:

 

 

угол между ребрами AB и AC= аrccos 0 =90 градусов

 

 

г) уравнение ребра AD;

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

AD=(3-1;6-1;0-1)=(2;5;-1)

Уравнение прямой AD

 

 

 

д) уравнение плоскости  АВС;

 

Уравнение плоскости

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

 

Уравнение плоскости ABC

 

(x-1)(3 • 3-0 • 0) - (y-1)(0 • 3-0 • 0) + (z-1)(0 • 0-0 • 3) = 0

9x + 0y + 0z + 9 = 0

е) уравнение высоты, опущенной  из вершины D;

Уравнение высоты пирамиды через вершину D

Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

 

 

ж) точку пересечения  высоты и основания.

 

 

9x + 0y + 0z + 9 = 0

 х=-1

у=6

z=0

 

 

 

 

 

 

Библиографический список

 

  1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:Наука, 1979.
  2. Высшая математика для экономистов. – / Под редакцией Н.Ш. Кремера. – М.:ЮНИТИ, 2002, 471 с.
  3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М:Наука, 1971.
  4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М:Наука, 1978.
  5. Добротин Д.А. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. – СПб.:ЛГУ, 1976, 120 с.
  6. Сборник задач по математике для вузов. – Т. 1 / Под редакцией Ефимова А.Ф., Демидовича Б.П. – М.:Наука, 1981, 464 с.
  7. Лукинова С.Г., Шафиро А.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1 семестр): Методические указания для студентов инженерно-технических специальностей. – Красноярск: СТИ, 1989, 50с.
  8. Лукинова С.Г., Бусаркина Л.Р. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие. – Красноярск: Красноярская государственная технологическая академия, 1997, 76 с.
  9. Лукинова С.Г. Высшая математика для экономистов. Ч.I.  Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебно-методический комплекс дисциплины. – Красноярск: Красноярский филиал МЭСИ, 2004, 117 с.

 

 

 

 

 

 

Содержание.

Введение.           3

  1. Программы, цель и задачи дисциплины,

сфера профессионального использования        4

  1. Курс лекций          6
    1. Матрицы          6
    2. Определители          10
    3. Обратная матрица        17
    4. Ранг матрицы. Базисный минор      19
    5. Системы линейных алгебраических уравнений    22
    6. Множество геометрических векторов      30
    7. Линейное (векторное) пространство      32
    8. Евклидово пространство        37
    9. Векторное произведение векторов      41
    10. Смешанное произведение векторов      44
    11. Основные задачи аналитической геометрии     47
    12. Прямая на плоскости        48
    13. Плоскость в пространстве       50
    14. Прямая в пространстве        52
    15. Кривые второго порядка       59
    16. Линейные преобразования. Матрица линейного преобразования  64
    17. Собственные числа и собственные векторы     67
    18. Симметричные, кососимметричные и ортогональные матрицы  70
    19. Квадратичные формы        71
    20. Приложения в экономике
      1. Применение матриц в экономике      73
      2. Линейные балансовые модели. Модель Леонтьева.   75
      3. Линейная модель обмена       78
  2. Руководство к изучению тем лекций       81
  3. Вопросы и задания для самооценки       84
  4. Итоговый тест          87
  5. Вопросы к экзамену         89
  6. Конспект-схемы основных тем лекций      90
    1. КС-1 Матрицы
    2. КС-2 Определители
    3. КС-3 Система линейных уравнений
    4. КС-4 Векторная алгебра
    5. КС-5 Прямая и плоскость
    6. КС-6 Прямая в пространстве
    7. КС-7 Кривые 2-го порядка
  7. Приложения             97

Контрольная работа №1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия с экономическими приложениями

  1. Алфавитно-предметный указатель (ключевые слова)    111
  2. Литература           

 

 

 

СВЕТЛАНА ГЕОРГИЕВНА ЛУКИНОВА

 

 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Для экономистов

Часть I

Линейная алгебра

и

аналитическая геометрия

 

Учебное пособие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подписано в печать __ __ 05.  Сдано в производство __ __ 05.

Формат  1/16. Бумага типографская. Печать офсетная.

Уч.-изд. л.  .  Усл. печ. л.   .  Тираж 500 экз.

Изд. №___.   Заказ № ____.

 

 

 


Контрольная работа по Линейной алгебре. 3 📙 Контрольная → 🆔 59980

Контрольная работа по Линейной алгебре. 3 📙 Контрольная → 🆔 59980

Контрольная работа по "Линейной алгебре". 3