Контрольная работа по "Линейной алгебре". 4
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное
государственное бюджетное
«Хабаровская государственная академия экономики и права»
Факультет «Аудитор»
Кафедра математики и математических методов в экономике
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
Вариант 8
Студент группы: БУ(дбв)-21 Калиничева Любовь Геннадьевна
Номер зачетной книжки: 1201348
Руководитель ____________________
Хабаровск 2013
Содержание:
Задание №1………………………………………………………………. |
3 | |
Задание №2……………………………………………………………… |
4 | |
Задание №3……………………………………………………………… |
10 | |
Задание №4………………………………………………………………. |
11 | |
Задание №5………………………………………………………………. |
12 | |
Задание №6………………………………………………………………. |
15 | |
Задание №7………………………………………………………………. |
18 | |
Задание №8……………………………………………………………… |
20 | |
Задание №9……………………………………………………………… |
37 | |
Задание №10……………………………………………………………. |
39 |
.
Задние №1 - Найти произведение заданных матриц А и В.
1 2 -4 3 А = -2 1 0 1 3 -3 1 0 |
-2 2 В = 1 7 5 3 -4 6 |
Решение: Так как количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В, то произведение А на В существует:
1*(-2) +2*1 +(-4)*5+3*(-4) 1*2+2*7+(-4)*3+3*6 32 22 АВ = (-2)*(-2)+1*1+0*5+1*(-4)
3*(-2)+(-3)*1+1*5+0*(-4) |
Ответ: Искомая матрица имеет размер 3х2
Задание №2 - Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.
2х1 + 4х2 + 5х3 = 5
4х1 – 2х2 + х3 = 21
5х1 + 10х2 + 4х3 = 4
Решение:
1. Методом Крамера:
2х1 + 4х2 + 5х3 = 5
4х1 – 2х2 + х3 = 21
5х1 + 10х2 + 4х3 = 4
x1 = det A1 / det A
x2 = det A2 / det A
x3 = det A3 / det A
Найдем det A
2 4 5
det A = 4 -2 1 =
5 10 4
Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 1 , умноженные на 2.
2 0 5
= 4 -10 1 =
5 0 4
Разлагаем определитель по элементам второго столбца.
|
|
|
= ( -10) * |
2 |
5 |
= | ||
5 |
4 |
= ( -10) * ( 2 * 4 - 5 * 5 ) =
= ( -10) * ( -17) = 170 |
|
Найдем det A1 | |
|
Определитель det A1 получается из определителя det A , путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
|
Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 3 .
= |
0 |
4 |
5 |
= | ||
20 |
-2 |
1 | ||||
0 |
10 |
4 |
Разлагаем определитель по элементам первого столбца.
|
|
|
|
= ( -20) * ( 4 * 4 - 5 * 10 ) =
= ( -20) * ( -34) |
= 680 |
Найдем det A2
Определитель det A2 получается из определителя det A , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A2 = |
2 |
5 |
5 |
= | ||
4 |
21 |
1 | ||||
5 |
4 |
4 |
Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 3 . |
= |
2 |
0 |
5 |
= | ||
4 |
20 |
1 | ||||
5 |
0 |
4 |
Разлагаем определитель по элементам второго столбца. |
|
|
|
= 20* |
2 |
5 |
= | ||
5 |
4 |
= 20* ( 2 * 4 - 5 * 5 ) =
= 20 * ( -17) = -340
Найдем det A3 |
|
Определитель det A3 получается из определителя det A , путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
|
Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 1 , умноженные на 2.
= |
2 |
0 |
5 |
= | ||
4 |
-10 |
21 | ||||
5 |
0 |
4 |
Разлагаем определитель по элементам второго столбца.
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||
= ( 10) * |
2 |
5 |
= | ||||||||||||||||||||||||||||
5 |
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||
= ( -10) * ( 2 * 4 - 5 * 5 ) =
= ( -10) * ( -17) |
= 170 |
Ответ:
x1 = det A1 / det A = 680 / 170 = 4 |
x2 = det A2 / det A = -340 / 170 = -2 |
x3 = det A3 / det A = 170 / 170 = 1 |
2. Методом Гаууса.
Процесс решения системы уравнений методом Гаусса, состоит из двух этапов.
На первом этапе (прямой ход)
система приводится к ступенчатому
виду, путем последовательного
На втором этапе решения (обратный ход) мы будем последовательно находить переменные из получившейся ступенчатой системы.
Прямой ход.
Запишем исходную систему.
2х1 + 4х2 + 5х3 = 5 2 4 5 5
4х1 – 2х2 + х3 = 21 = 4 -2 1 21
5х1 + 10х2 + 4х3 = 4 5 10 4 4
Исключим переменную x1 из всех уравнений, за исключением первого.
Умножим коэффициенты уравнения 1 на -2 .
-4х1 - 8х2 -10х3 = -10 -4 -8 -10 -10
4х1 – 2х2 + х3 = 21 = 4 -2 1 21
5х1 + 10х2 + 4х3 = 4 5 10 4 4
Прибавим получившееся уравнение к уравнению 3.
2х1 + 4х2 + 5х3 = 5 2 4 5 5
4х1 – 2х2 + х3 = 21 = 4 -2 1 21
х1 + 2х2 - 6х3 = -6 1 2 -6 -6
Поменяем местами уравнения 1 и 3.
х1 + 2х2 - 6х3 = -6 1 2 -6 -6
4х1 – 2х2 + х3 = 21 = 4 -2 1 21
2х1 + 4х2 + 5х3 = 5 2 4 5 5
Умножим коэффициенты уравнения 1 на -4.
-4 х1 - 8х2 + 24х3 = 24 -4 -8 24 24
4х1 – 2х2 + х3 = 21 = 4 -2 1 21
2х1 + 4х2 + 5х3 = 5 2 4 5 5
Прибавим получившееся уравнение к уравнению 2.
х1 + 2х2 - 6х3 = -6 1 2 -6 -6
– 10х2 + 25х3 = 45 = 0 -10 25 45
2х1 + 4х2 + 5х3 = 5 2 4 5 5
Умножим коэффициенты уравнения 1 на -2.
-2 х1 - 4х2 + 12х3 = 12 -2 -4 12 12
– 10х2 + 25х3 = 45 = 0 -10 25 45
2х1 + 4х2 + 5х3 = 5 2 4 5 5
Прибавим получившееся уравнение к уравнению 3.
х1 +2х2 - 6х3 = -6 1 2 -6 -6
– 10х2 + 25х3 = 45 = 0 -10 25 45
17х3 = 17 0 0 17 17
Обратный ход.
Рассмотрим уравнение 3 последней получившейся системы:
17 x3 = 17
x3 = 1
Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы:
- 10 x2 + 25 x3 = 45
Из данного уравнения , найдем значение переменной x2.
- 10 x2 = - 25 x3+ 45
x2 = 5/2 x3 - 9/2
Подставим, ранее найденное, значение переменной x3.
x2 = 5/2 * 1 - 9/2
x2 = - 2
Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы:
x1 + 2 x2 - 6 x3 = - 6
Из данного уравнения, найдем значение переменной x1.
x1 = -2 x2 + 6 x3 - 6
Подставим, ранее найденные, значения переменных x2 , x3 .
x1 =- 2 * (- 2 )+ 6 * 1 - 6
x1 = 4
Ответ :
x1 = 4
x2 =- 2
x3 = 1
3. Матричный метод.
A= |
| |||||||||||||
B= |
| |||||||||||||
X= |
|
A·X=В,
значит
X = A-1 · B
Найдем детерминат матрицы А
Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А.
M1,1 = (-1)1+1 |
|
= |
-18 | ||||||||
M1,2 = (-1)1+2 |
|
= |
-11 | ||||||||
|
|
|||||||||||
M1,3 = (-1)1+3 |
|
= |
50 | ||||||||
M2,1 = (-1)2+1 |
|
= |
34 |
M2,2 = (-1)2+2 |
|
= |
-17 | ||||||||||||
M2,3 = (-1)2+3 |
|
= |
0 | ||||||||||||
M3,1 = (-1)3+1 |
|
= |
14 | ||||||||||||
M3,2 = (-1)3+2 |
|
= |
18 |
M3,3 = (-1)3+3 |
|
= |
-20 | ||||||||||||
M = |
| ||||||||||||||
MT = |
| ||||||||||||||
Найдем обратную матрицу
A-1 = MT/det(A) = |
|
Найдем решение
X = A-1 · B = |
|
· |
|
= |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
x1 = |
4 |
, |
x2 = |
-2 |
, |
x3 = |
1 |
. | |||||||||||||||||||||||||||
Задание 3. Показать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис в пространстве R3, и найти координаты вектора а в этом базисе.
а1 = 2 1 3
а2 = 1 -4 0
а3 = -2 3 7
а4 = -6 1 1
Решение:
Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:
x1 a1 + x2 a2
+ x3 a3 = 0
Перепишем векторное уравнение в матричном
виде и решим его методом Гауса
|
2 |
1 |
-2 |
|
1 |
-4 |
3 | ||
3 |
0 |
7 |
1-ую строку делим на 2
|
1 |
0.5 |
-1 |
|
1 |
-4 |
3 | ||
3 |
0 |
7 |
от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 1; 3
|
1 |
0.5 |
-1 |
|
0 |
-4.5 |
4 | ||
0 |
-1.5 |
10 |
2-ую строку делим на -4.5
|
1 |
0.5 |
-1 |
|
0 |
1 |
-8/9 | ||
0 |
-1.5 |
10 |
от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 0.5; -1.5
|
1 |
0 |
-5/9 |
|
0 |
1 |
-8/9 | ||
0 |
0 |
26/3 |
3-ую строку делим на 26/3
|
1 |
0 |
-5/9 |
|
0 |
1 |
-8/9 | ||
0 |
0 |
1 |
от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на -5/9; -8/9
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 | ||
0 |
0 |
1 |
Ответ: Данная система векторов образует базис (линейно независимая система векторов), так как все xi = 0
Задание 4. Определить ранг заданной матрицы.
2 4
А= 1 2
0 0
Решение:
1-ую строку делим на 2
1 2
1 2
0 0
от 2 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 1
1 2
- Контрольная работа по "Линейной алгебре"
- Контрольная работа по "Линейной алгебре"
- Контрольная работа по "Линейной алгебре"
- Контрольная работа по "Линейной алгебре"
- Контрольная работа по "Линейной алгебре"
- Контрольная работа по "Линейной алгебре"
- Контрольная работа по "Линейной алгебре"
- Контрольная работа по "Линейная алгебра"
- Контрольная работа по "Линейная алгебра"
- Контрольная работа по "Линейная алгебра"
- Контрольная работа по "Линейная алгебра"
- Контрольная работа по “Линейная алгебра и аналитическая геометрия”
- Контрольная работа по линейной алгебре
- Контрольная работа по "Линейной алгебре"
