Контрольная работа по "Математическая статистика". 3

Оглавление

Задача 1 3

Задача 2 7

Задача 3 13

Задача 4 15

Задача 5 24

Задача 6 27

 

 

 

Задача 1

 

Из генеральной совокупности , распределенной по нормальному закону, извлечена выборка. Требуется:

       1. Составить  вариационный, статистический и  выборочный ряды распределения; найти размах выборки;

По полученному распределению  выборки:

2. Построить полигон относительных  частот;

3. Построить график эмпирической  функции распределения;

4. Вычислить выборочную  среднюю, выборочную дисперсию,  выборочное исправленное среднее  квадратическое отклонение, моду и медиану;

5. С надежностью  найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

1.10.

13

11

12

9

12

12

10

12

15

11

13

14

13

11

11

12

13

11

12

11

10

14

12

10

9

10

12

15

9

13

11

13

12

12

14

11

10

14

12

12


 

Решение

Составим  вариационный  ряд. Напомним,  что  вариационным  рядом называется  последовательность  наблюдаемых  значений  признака , расположенных в неубывающем порядке , ,…, , где … . Следовательно, в нашей задаче вариационный ряд запишется так (по столбцам):

 

 

9

11

12

12

13

9

11

12

12

13

9

11

12

12

14

10

11

12

12

14

10

11

12

13

14

10

11

12

13

14

10

11

12

13

15

10

11

12

13

15


 

Составим  статистический  ряд  распределения  данной  нам  выборки

9

10

11

12

13

14

15

3

5

8

12

6

4

2


- варианты, - частоты.

Найдем объем выборки 

.

Относительная частота  вычисляется  по формуле  .

        Запишем  выборочный ряд распределения

9

10

11

12

13

14

15


  .

Размах выборки  , т.е.  в нашем случае  .

Построим полигон относительных  частот

Вычислим выборочную среднюю

=11,825.

Построим график эмпирической функции распределения где       ( число вариант, меньших, чем  значение аргумента  ).

Вычислим выборочную дисперсию , где в нашем случае = ( )=142,175

.

Найдем выборочное среднее  квадратическое отклонение

Вычислим "исправленную" дисперсию  , которая выражается формулой

(в нашем случае     )

и "исправленное" среднее  квадратическое отклонение .

Модой  называется варианта с наибольшей частотой, т.е. в нашей задаче . Медиана - варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант, т.е. в нашей задаче .

Найдем с надежностью g=0,95 доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

Так как по условию задачи генеральная совокупность x распределена по нормальному закону и объем выборки равен n=40, то искомый доверительный интервал для оценки математического ожидания имеет вид

,

где  - среднее квадратическое отклонение, а величина t определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства .

Следовательно, в нашем  случае последнее равенство принимает  вид  . Из этого равенства по таблице значений интегральной функции Лапласа находим значение t=1,96. Величина  была найдена ранее: и .

Вычислим  .

Учитывая, что  , доверительный интервал для оценки математического ожидания запишется  или, окончательно, .

Доверительный интервал для  среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины находится по формуле , где s - "исправленное" среднее квадратическое отклонение, а d находится по формуле , где величина q определяется по специальной таблице значений функции .

Найдем  для нашей конкретной задачи:

q=q(0,95;40)=0,24;   d=sq=1,511×0,24=0,36264. Следовательно, или окончательно .

На этом решение задачи 1 закончено.

Задача 2

 

Для выборки, извлеченной  из генеральной совокупности и представленной интервальным рядом (в первой строке указаны интервалы значений исследуемого количественного признака генеральной совокупности; во второй – частоты , т.е. количество элементов выборки, значения признака которых принадлежат указанному интервалу). Требуется:

1) Построить полигон относительных  накопленных частот (кумулятивную  кривую);

2) Построить гистограмму  частот и гистограмму относительных  частот;

3) Найти выборочную среднюю,  выборочную дисперсию, моду и  медиану;

4) Проверить на уровне  значимости  гипотезу о нормальном распределении признака генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона;

5) В случае согласованности  с нормальным распределением  найти с надежностью доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признака генеральной совокупности.

2.10.

0,6-0,9

0,9-1,2

1,2-1,5

1,5-1,8

1,8-2,1

2,1-2,4

2,4-2,7

9

45

130

175

125

30

5


 

Замечание: При отыскании  выборочной средней и выборочной дисперсии в задачах 2.5. и 2.6. для  упрощения счета рекомендуется  переходить к условным вариантам.

Решение

.

В нашем случае n=519.Тогда  на основе данной таблицы построим интервальный статистический и интервальный выборочный ряды распределения, сведенные в одну таблицу.

i

1

2

3

4

5

6

7

0,6-0,9

0,9-1,2

1,2-1,5

1,5-1,8

1,8-2,1

2,1-2,4

2,4-2,7

0,75

1,05

1,35

1,65

1,95

2,25

2,55

9

45

130

175

125

30

5

0,017341

0,086705

0,250482

0,337187

0,240848

0,057803

0,009634

0,017341

0,104046

0,354528

0,691715

0,932563

0,990366

1


 

Построим полигон относительных  накопленных частот (кумулятивную кривую);

Построим гистограмму частот.

В нашем случае исследуемый  признак X может принимать значения на отрезке [0,6;2,7]. Интервальная группировка выполнена таким образом, что длина каждого интервала равна h=2. Площадь прямоугольника, построенного на i-ом интервале, должна равняться . Это значит, что высота i-го прямоугольника будет .

На остальных интервалах прямоугольники строятся аналогично.

Если  высоту i-го прямоугольника определим как , то получим гистограмму относительных частот, которую можно рассматривать как аналог  дифференциальной функции распределения в теории вероятностей.


Для того, чтобы найти  выборочную среднюю, воспользуемся  формулой

  , где k - количество интервалов, n - объем выборки.

.

Для вычисления выборочной дисперсии воспользуемся формулой . В случае интервальной группировки находится по формуле

 

Теперь можно окончательно вычислить выборочную дисперсию

.

Найдем выборочное среднее  квадратическое отклонение

.

Отыщем выборочный коэффициент  вариации

.

Найденное значение выборочного  коэффициента вариации дает наглядное  представление о степени относительного рассеяния исследуемого признака.

Отыщем значения "исправленной"  дисперсии и "исправленного"  среднего квадратического отклонения  ,  .

Для отыскания моды в случае интервальной группировки используем формулу , где - левая граница интервала, имеющего наибольшую интервальную частоту, h - шаг (длина интервала группировки), , R - размах выборки, k - количество интервалов, - наибольшая интервальная частота, - интервальная частота интервала, расположенного слева от интервала с наибольшей интервальной частотой, - интервальная частота интервала, расположенного справа от интервала с наибольшей интервальной частотой.

В нашем случае .

Значение медианы  для случая интервальной группировки отыщем по формуле , где - левая граница интервала, содержащего медиану, n - объем выборки, h - шаг, - интервальная частота интервала, содержащего медиану, - интервальные частоты всех интервалов, расположенных слева от интервала, содержащего медиану.

Найдем значение медианы  для нашей конкретной задачи .

Далее начнем суммировать  интервальные частоты слева направо  до тех пор пока сумма интервальных частот не превзойдет .Номер последней прибавленной частоты будет совпадать с номером интервала, содержащего медиану распределения. Следовательно, =1,5, .

Проверим на уровне значимости a=0,05 гипотезу о нормальном распределении признака  x генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона.

Для нашей задачи все условия  применимости метода Пирсона выполняются: , для любого интервала .

Проверка  гипотезы нормальности по критерию Пирсона основана на сравнении  эмпирического и гипотетического  распределений, точнее, на сравнении эмпирических и гипотетических интервальных частот. Мера близости между ними оценивается статистикой Пирсона:

, где  - интервальные (эмпирические) частоты, - интервальные теоретические частоты, - теоретические вероятности попадания переменной x в i-ый интервал группировки, , - левая граница i-го интервала, - правая граница i-го интервала.

При этом теоретические вероятности  рассчитываются в предположении нормальности распределения случайной величины x по формуле:

, где  и функция есть плотность стандартного нормального распределения, таблица значений которой приведена в приложении 2.

Вычисление наблюдаемого значения статистики Пирсона  организуем в форме расчетной таблицы.

 

 

 

 

 

 

Интервалы

ni

x1 = (xi - xср)/s

x2 = (xi+1 - xср)/s

Ф(x1)

Ф(x2)

pi = Ф(x2) - Ф(x1)

Ожидаемая частота, pi

Ki

0.6 - 0.9

9

-3.44

-2.48

-0.5

-0.49

0.00644

3.08

11.39

0.9 - 1.2

4

-2.48

-1.51

-0.49

-0.44

0.0577

27.58

20.16

1.2 - 1.5

130

-1.51

-0.55

-0.44

-0.21

0.22

106.79

5.05

1.5 - 1.8

175

-0.55

0.41

-0.21

0.16

0.38

179.3

0.1

1.8 - 2.1

125

0.41

1.37

0.16

0.42

0.25

121.13

0.12

2.1 - 2.4

30

1.37

2.34

0.42

0.49

0.0742

35.47

0.84

2.4 - 2.7

5

2.34

3.3

0.49

0.5

0.00926

4.43

0.0743

 

 

478

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37.74


 Следовательно, . Заданный уровень значимости , количество интервалов группировки , и потому p=1-a=0,95 и число степеней свободы k=m-3=4.

Теперь по таблице критических  точек распределения  отыщем значение .

Сравним значения  и . Имеем 37,74>9,5 , следовательно, > . Поэтому гипотезу о нормальном распределении признака x отвергаем. Таким образом, решение задачи 2 полностью разобрано.

Задача 3

Проведите сравнительный  анализ результатов педагогического  эксперимента в контрольных и экспериментальных группах, используя критерий однородности Пирсона.

,  где  и .

 

 

 

Уровень значимости положите

3.10.

Значение варианты

2

3

4

5

Частота появления  в экспериментальной группе

10

30

35

25

Частота появления  в контрольной группе

12

18

10

6


 

Решение

Проведем сравнительный  анализ результатов педагогического  эксперимента в контрольных и экспериментальных группах, используя критерий однородности Пирсона:

, где 2, 3, 4, 5 - вариационный ряд  (оценки, выставляемые по результатам  проведения контрольных работ), - частота появления i-ой варианты в экспериментальной группе, - частота появления i-ой варианты в контрольной группе, - объем выборки в экспериментальной группе, - объем выборки в контрольной группе, m=4 - количество различных значений варианты (количество интервалов группировки), k=m-1=3 - количество степеней свободы.

Найдем  и . =10+30+35+25=100, =12+18+10+6=46.

Теперь вычислим .

=

=10,13.

По таблице критических  точек распределения  , приведенной в приложении 3, для числа степеней свободы k=3 и уровня значимости a=0,05 находим значение =7,81.

Так как  > (10,13>7,81), то согласно правилу принятия решения, делаем вывод, что существуют достоверные различия между результатами проведения контрольных работ в экспериментальной и контрольной группах на уровне надежности g=1-a=1-0,05=0,95.

На этом решение задачи 3 закончено.

Задача 4

 

Исследуется зависимость  коэффициента усвоения знаний, выраженного  в процентах ( %) от уровня посещаемости занятий ( %) в группе из четырнадцати учащихся ( - порядковый номер учащегося). Статистические данные приведены в таблице.

Требуется:

1) Найти оценки  параметров линейной регрессии  на . Построить диаграмму рассеяния и нанести прямую регрессии на диаграмму рассеяния.

2) На уровне  значимости  проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений.

3) С надежностью  найти доверительные интервалы для параметров линейной регрессии.

4.10.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

46

52

61

59

65

60

66

72

74

81

37

35

41

45

36

38

39

42

43

45

46

48

50

53

25

29

33

35


 

 

 

Решение

Для расчета параметров регрессии  построим расчетную таблицу (табл. 1)

x

y

x2

y2

x* y

46

36

2116

1296

1656

52

38

2704

1444

1976

61

39

3721

1521

2379

59

42

3481

1764

2478

65

43

4225

1849

2795

60

45

3600

2025

2700

66

46

4356

2116

3036

72

48

5184

2304

3456

74

50

5476

2500

3700

81

53

6561

2809

4293

37

25

1369

625

925

35

29

1225

841

1015

41

33

1681

1089

1353

45

35

2025

1225

1575

794

562

47724

23408

33337


Выборочные средние.

 

 

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем  является выборочный линейный коэффициент  корреляции, который рассчитывается по формуле:

 

Линейный коэффициент  корреляции принимает значения от –1 до +1.

В нашем примере связь  между признаком Y фактором X  весьма высокая и прямая.

Коэффициент регрессии b = 0.54 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.54.

Коэффициент a = 9.32 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Чаще всего, давая интерпретацию  коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R2= 0.972 = 0.9384

т.е. в 93.84 % случаев изменения  х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 6.16 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

(xi-xcp)2

|y - yx|:y

46

36

34.32

17.16

2.82

114.8

0.0467

52

38

37.58

4.59

0.18

22.22

0.011

61

39

42.47

1.31

12.06

18.37

0.089

59

42

41.39

3.45

0.38

5.22

0.0146

65

43

44.65

8.16

2.71

68.65

0.0383

60

45

41.93

23.59

9.43

10.8

0.0683

66

46

45.19

34.31

0.66

86.22

0.0176

72

48

48.45

61.73

0.2

233.65

0.00939

74

50

49.54

97.16

0.21

298.8

0.00925

81

53

53.34

165.31

0.12

589.8

0.00646

37

25

29.43

229.31

19.61

388.65

0.18

35

29

28.34

124.16

0.43

471.51

0.0227

41

33

31.6

51.02

1.95

246.94

0.0424

45

35

33.78

26.45

1.5

137.22

0.035

794

562

562

847.71

52.26

2692.86

0.59


Несмещенной оценкой дисперсии  возмущений является величина:

 

 

S2y = 4.36 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

 

Sy = 2.09 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

 

 

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

 

 

Доверительные интервалы  для зависимой переменной.

Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

(a + bxp ± ε)

где

 

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно  большом числе наблюдений и Xp = 62

 

(9.32 + 0.54*62 ± 1.3)

(41.72;44.32)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно  большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Индивидуальные  доверительные интервалы для Y при  данном значении X.

(a + bxi ± ε)

где

 

 

tкрит (n-m-1;α/2) = (12;0.025) = 2.179

xi

y = 9.32 + 0.54xi

εi

ymin = y - εi

ymax = y + εi

46

34.32

4.8

29.52

39.12

52

37.58

4.73

32.86

42.31

61

42.47

4.72

37.75

47.19

59

41.39

4.71

36.67

46.1

65

44.65

4.76

39.88

49.41

60

41.93

4.72

37.21

46.64

66

45.19

4.78

40.41

49.97

72

48.45

4.89

43.56

53.34

74

49.54

4.94

44.59

54.48

81

53.34

5.17

48.18

58.51

37

29.43

5.01

24.41

34.44

35

28.34

5.08

23.26

33.42

41

31.6

4.9

26.7

36.51

Контрольная работа по Математическая статистика. 3 📙 Контрольная → 🆔 61425

Контрольная работа по Математическая статистика. 3 📙 Контрольная → 🆔 61425

Контрольная работа по "Математическая статистика". 3