Контрольная работа по математики 1 курса БГУИР

Вариант 1

Вопрос № 4. Евклидовы пространства. Скалярное произведение. Неравенство Коши – Буняковского.

 

Вещественной линейное пространство называется евклидовым, если в нем  определено скалярное произведение, т.е. любым двум векторам и сопоставлено вещественное число, обозначаемое , и это соответствие удовлетворяет следующим аксиомам, каковы бы ни были векторы и число :

1) ; 2) ; 3) ; 4) , если .

Или

Скалярным произведением в линейном пространстве называется функция , принимающая числовые значения, определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1) для любых трех элементов  и пространства и любых чисел справедливо равенство [линейность скалярного произведения по первому аргументу];

2) для любых  справедливо равенство ,где черта означает комплексное сопряжение [эрмитова симметричность];

3) для любого имеем , причем только при [положительная определенность скалярного произведения].

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым

Лемма (неравенство Коши--Буняковского). Для любых элементов  и линейного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство .

 

Вопрос № 13. Переход к новому базису. Нахождение новых координат вектора. Подобные матрицы.

Пусть в  -мерном линейном пространстве имеются два базиса: (старый) и (новый). Даны зависимости, выражающие каждый вектор нового базиса через векторы старого базиса: .

Матрицу называют матрицей перехода от старого базиса к новому.

Возьмем какой-нибудь вектор . Пусть – координаты этого вектора в старом базисе, а – его координаты в новом базисе. При этом старые координаты вектора выражаются через новые координаты этого вектора по формулам которые называются формулами преобразования координат.

Нетрудно видеть, что столбцы  матрицы  являются координатами в формулах перехода от старого базиса к новому, а строки этой матрицы – координатами в формулах преобразования старых координат через новые.

Пусть – квадратные матрицы. Матрицы называются подобными, если существует обратимая матрица , такая что . Подобные матрицы соответствуют одному и тому же линейному оператору, но представляют его в разных базисах, т.е. существует оператор , где – линейное пространство размерности и два базиса этого пространства и такие, что и .

 

 

Контрольная работа № 2

Задача №1. Образует ли линейное векторное пространство над полем вещественных чисел R заданное множество V, для которого определены сумма любых двух элементов и произведение любого элемента на любое число ? Множества и операции указаны ниже в соответствии с вариантами.

1 вариант: множество всех векторов трехмерного вещественного пространства, координаты которых – целые числа, относительно покоординатного сложения и покоординатного умножения вектора на число.

 

Решение.

Множество V будет называться линейным (или векторным) пространством, а элементы - векторами, если сложение элементов множества и умножение элементов этого множества на число будет удовлетворять следующим условиям:

1. ;

2. ;

3. существует такой элемент  (нуль-элемент), что для любого ;

4. для каждого элемента  существует элемент такой, что (в дальнейшем - , т.е. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Проверяем выполнение этих условий:

Дано: , , .

;

.

1. , сумма двух целых чисел тоже является число, поэтому . Условие выполняется.

2. (не обязательно целое число), .

Проверим принадлежит ли множеству целых чисел. Возьмем , а , тогда . Это множество не является множеством целых чисел.

Условие 6. для того чтобы пространство было векторным не выполняется.

Ответ: Заданное множество целых чисел не будет линейным векторным пространством над полем вещественных чисел.

 

Задача № 2.

Исследовать на линейную зависимость  над  систему векторов. Векторы указаны ниже в соответствии с вариантом.

Вариант 1: , , .

 

Решение.

Векторы будут линейно зависимы, если равенство будет выполняться при любых , даже когда не все числа будут равны нулю.

1 способ. Составим матрицу из координат векторов: и приведем ее к элементарными операциями к ступенчатому виду.

Прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на :

.

Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на :

.

Ранг данной матрицы равен 2, а  количество векторов 3. Т.к. , векторы линейно зависимы (из теоремы о базисном миноре).

2 способ. Проверим, линейно ли зависимы вектора, доказав, что для любых . Для этого составим однородную систему уравнений с тремя неизвестными и решим ее:

.

Пусть , тогда , . Векторы линейно зависимы.

 

Ответ: векторы линейно зависимы.

 

Задача № 3.

Найти координаты вектора  в базисе , если известны его координаты в базисе . Разложения векторов по базису и координаты вектора в этом базисе даны ниже в соответствии с вариантом.

Вариант 1. .

Решение.

Представление вектора  в виде называется разложением по базисным векторам , а коэффициенты – координатами вектора в базисе .

Найдем координаты вектора  в базисе .

Даны координаты векторов в базисе : .

Разложение вектора  по базисным векторам имеет вид: .

Следовательно, имеем систему уравнений  из координат векторов , в базисе :

Ответ: .

 

Задача №4.

Определить размерность над  и найти какой-нибудь базис линейного пространства решений однородной системы линейных уравнений. Указать общее и частное решения системы. Системы уравнений даны ниже в соответствии с вариантами.

1 вариант: 

Решение.

Определяем ранг матрицы  .

Прибавим к первой строке третью умноженную на -3 и ко второй – третью умноженную на -2:

.

Делим элементы первой строки на 4, а  элементы второй на 3:

.

Прибавляем ко второй строке первую, умноженную на -1:

Итак, ранг матрицы (наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля) равен 3. Тогда размерность пространства решений равная разности числа неизвестных и ранга матрица будет равна: , т.е. пространство является двумерным.

Система с коэффициентами полученной матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

В базисный минор вошли коэффициенты при неизвестных  . Значит неизвестные – зависимы, а – свободные.

Найдем соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные , т.е. найдем общее решение:

Тогда общее решение: .

Придавая свободным неизвестным любые значения, получим частное решение.

Пусть и , тогда , . Итак, частное решение .

При и будет: , . Тогда частное решение – . При и будет: , . Тогда частное решение – .

Базисом в  -мерном пространстве называют любую упорядоченную совокупность линейно независимых векторов. Координаты вектора ( ) в базисе записывают . Тогда за базис заданного линейного пространства решений однородной системы принимаем векторы и .

 

Ответ: 3, и , , .

 

Задача №5.

Пусть . Является ли линейными преобразование ? Координаты даны ниже в соответствии с вариантом.

1 вариант:  .

Решение.

Линейное преобразование будет задано в линейном пространстве , если каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор . Преобразование называется линейным, если для любых двух векторов и и для любого действительного числа выполняются равенства: .

Проверяем равенство : ; . Т.к. , преобразование не является линейным.

Ответ: преобразование не является линейным.

 

Задача №6.

Доказать линейность, найти матрицу в базисе , область значений, ядро, ранг и дефект оператора. Преобразования трехмерного векторного пространства над указаны ниже в соответствии с вариантами.

1 вариант: проектирование на  ось  .

Решение.

Проекцию  на вектор , расположенного на оси ,находим через скалярное произведение векторов: или через скалярный квадрат: .

Докажем линейность (выполнение условий  линейности: 1) , 2) ):

1) Для любых векторов и сумма их равна:

. Условие выполняется.

2) Для любого вектора и числа их произведение равно: . Условие выполняется.

Заданный оператор преобразования является линейным.

Найдем матрицу в базисе . – единичные векторы (орты), направление каждого из которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси координатного пространства . Свободный вектор можно представить в виде: , т.е. разложить по ортам , где – проекции вектора на соответствующие оси координат, т.е. координаты вектора . Векторы называют составляющими вектора по осям координат.

Тогда, согласно условию  , а в качестве вектора берем .

Составим матрицу оператора  проектирования на ось  в базисе , для этого находим образы базисных векторов ( ) и разлагаем их по базису:

.

Найдем область значений оператора проецирования на ось : , .

Т.е. областью значений является вся  ось  .

Найдем ядро: По определению ядро линейного оператора ( ) есть множество всех векторов , которые переводит в нулевой вектор. Т.е. ядром является плоскость . .

Размерность образа линейного оператора  называется рангом оператора. .

Дефектом линейного оператора  называется размерность его ядра ( ): размерность ядра равна 1, поскольку в ядре существует лишь один линейно независимый вектор.

 

Задание №7.

Пусть , , . Найти координаты , где выражения матриц через матрицы и даны в табл. 3 в соответствии с вариантами.

№ варианта
1

 

Решение.

Выберем базисные векторы: , , . Составим матрицу преобразования . Согласно условию: , ,

. Тогда матрица .

Аналогично, составим матрицу преобразования : , , . Тогда .

Найдем матрицу  , заданную по условию задачи произведением матриц и . В матрице , согласно правилу произведения, элемент -й строки и -го столбца равен сумме произведений элементов -й строки первого сомножителя на соответствующие элементы -го столбца второго сомножителя. Итак:

Преобразование , заданное произведением линейного преобразования на линейное преобразование , определяется равенством .

Итак: .

Ответ: .

 

Задача №8.

Найти матрицу линейного оператора  в базисе , где , , , если она задана в базисе . Матрицы линейных операторов в базисе указаны в табл. 4 в соответствии с вариантами.

№ варианта
1

 

Решение.

Составим матрицу перехода, записав  по столбцам координаты векторов нового базиса в старом : .

Тогда обратную матрицу находим по выражению , где – матрица алгебраических дополнений, а – определитель матрицы.

Итак, определитель матрицы:

Находим алгебраические дополнения:

; ;

; ; ; ;

; ; .

Тогда:

.

Согласно условию 

Искомая матрица выражается по формуле:

Ответ:

 

Задача №9.

Найти собственные значения и собственные  векторы матрицы  . Матрицы указаны в табл. 5 в соответствии с вариантами.

№ варианта
1

 

Решение.

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования , если найдется такое число , что выполняется равенство . Само называется характеристическим числом (собственным значением) линейного преобразования , соответствующим вектору .

Если линейное преобразование в базисе имеет матрицу , то собственными значениями служат действительные корни уравнения -й степени, которое можно записать в виде .

Итак задано: .

Составим характеристическое уравнение: , т.е.

Найдем корни 

Решая , получаем первый корень .

Решая квадратное уравнение находим корни и .

Находим собственные векторы.

Если  , то для определения координат собственного вектора получаем систему уравнений:

Решим данную систему: . Тогда .

Полагая , то и .Таким образом, характеристическому числу соответствует семейство собственных векторов .

Значение  приводит к системе уравнений .

Решаем эту систему: , тогда .

Полагая , то и .Таким образом, характеристическому числу соответствует семейство собственных векторов .

Значение  приводит к системе уравнений .

Решаем эту систему: , тогда .

Полагая , то и .Таким образом, характеристическому числу соответствует семейство собственных векторов .

 

Ответ: Собственные значения: . Собственные векторы: , , .

 

Задача №10.

Привести квадратичную форму к  каноническому виду над полем методом Лагранжа, указать невырожденное линейное преобразование переменных. Матрицы квадратичных форм даны в табл. 6 в соответствии с вариантами.

№ варианта
1

 

Решение.

Метод Лагранжа состоит в последовательном выделении в квадратичной форме  полных квадратов. Пусть  есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
2. все коэффициенты , но есть коэффициент , отличный от нуля (для определенности пусть будет .

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

где , а через обозначены все остальные слагаемые.

 представляет собой квадратичную  форму от  переменных . С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Так, если , то .

Дана матрица  квадратичной формы: .

Приведем к каноническому виду методом Лагранжа, используя разложение многочлена :

Выделим полный квадрат относительно : .

В итоге получим  .

Делаем замену переменных :

которая приводит квадратичную форму к каноническому виду: .

Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица невырожденная, т.е. ее ранг равен количеству переменных, и вырожденной, если ранг меньше количества переменных.

Запишем линейное преобразование в  матричном виде:

, , , .

Отсюда  , .

Находим определитель .

Находим алгебраические дополнения:

, , , , , ,

, , .

Тогда матрица линейного преобразования равна:

.

. Следовательно линейное преобразование переменных невырожденное.

Уравнения этого линейного преобразования имеют вид:

Ответ: ,

 

Задача № 11.

Привести квадратичную форму к каноническому виду над полем ортогональным преобразованием, найти матрицу преобразования. Квадратичные формы даны ниже в соответствии с вариантами.

1 вариант:  .

 

Решение.

Правило приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием состоит в следующем:

1. для матрицы коэффициентов  квадратичной формы вычислить  собственные числа и  попарно ортогональных собственных векторов, пронормировать их;

2. составить матрицу из ортонормированных собственных векторов – столбцов;

3. записать ортогональное преобразование  на основе полученной матрицы.

Задана квадратичная форма:

Записываем матрицу квадратичной формы  . Найдем ее собственные числа.

Записываем характеристическое уравнение:

Преобразовываем: .

Решением этого равенства собственные  числа  , , .

Рассматриваем задачу над полем .

При

.

Получаем систему уравнений и находим координаты собственного вектора :

Примем  , тогда , а . Таким образом получили собственный вектор , . Для нормировки (определении длины ) вектора примем и получим нормированный собственный вектор .

Для аналогичным способом получаем вектор :

.

Получаем систему уравнений и находим координаты собственного вектора:

Примем  , тогда , а . Таким образом получили собственный вектор , . Для нормировки вектора примем и получим нормированный собственный вектор .

Аналогично для  .

.

Получаем систему уравнений и находим координаты собственного вектора:

Примем  , тогда , а . Таким образом получили собственный вектор , . Для нормировки вектора примем и получим нормированный собственный вектор .

Искомое преобразование:

.

А матрица преобразования имеет  вид:

.

Поскольку , , , тогда канонический вид квадратично формы: .

Ответ: , .

 

Задача № 12.

Уравнение поверхности 2-го порядка  привести к каноническому виду, используя  приведение к каноническому виду над  соответствующей квадратичной формы и замену переменных при параллельном переносе координатных осей. Исследовать поверхность методом сечений и построить ее в пространстве . Уравнения поверхностей даны ниже в соответствии с вариантами.

1 вариант:  .

 

Решение.

Приводим заданное уравнение поверхности  к каноническому виду, выделяя полные квадраты:

Произведем параллельный перенос  осей координат. Формулы преобразования координат имеют вид  , , . Тогда уравнение поверхности запишется так:

 или  или или

. Это уравнение определяет эллипсоид; его цент находится в новом начале координат, а полуоси соответственно , , .

 

Методом сечений исследуем форму  этой поверхности. Будем пересекать поверхность плоскостями  , , .

Сечение плоскостью и дает эллипс с большой полуосью и малой полуосью .

Сечение плоскостью дает окружность с радиусом .