Контрольная работа по «Математическое моделирование»

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: «Математическое моделирование»

 

 

Вариант №8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №1: Решить графически задачу линейного программирования

 

Z= 3х1 + 3х2 →max

 

⌠4х1 + 3х2 ≥ 12

│- х1 + 4х2 ≤ 20

⌡ 2х1 – х2 ≤ 8

 

х1 ≥ 0 , х2 ≥ 0

 

Решение:

 

Найдем максимальное значение целевой функции F=3х1 + 3х2 →max

 

4х1 + 3х2 ≥ 12  (1)

- х1 + 4х2 ≤ 20 (2)

2х1 – х2 ≤ 8     (3)

х1 ≥ 0               (4)

х2 ≥ 0               (5)

 

    Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему

неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости,

заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом). 
     Построим уравнение 4х1 + 3х2 = 12 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем х1=0. Находим х2=4. Для нахождения второй точки приравниваем х1=3. Находим х2=0. Соединяем точку (0;4) с точкой (3;0) прямой линией.

     Построим уравнение - х1 + 4х2 =20 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем х1=0. Находим х2=5. Для нахождения второй точки приравниваем х1=-4. Находим х2=4. Соединяем точку (0;5) с точкой (-4;4) прямой линией.

     Построим уравнение 2х1 – х2 = 8 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем х1=0. Находим х2=-8. Для нахождения второй точки приравниваем х1=4. Находим х2=0. Соединяем точку (0;-8) с точкой (4;0) прямой линией.

 

 

Рассмотрим целевую функцию задачи F= 3х1 + 3х2 →max

Построим прямую, отвечающую значению функции F=3; F= 3х1 + 3х2=3

Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации Z(X). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное значение, поэтому двигаем прямую до последней точки касания. Эта точка пересечения прямых 4х1 + 3х2 ≥ 12  (1) и 2х1 – х2 ≤ 8  (3)

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Получим х1=7,4; х2=6,9

Откуда найдем максимальное значение функции F(x)= 3*7,4+3*6,9=43

Ответ: Z=43, при х1=7,4 и х2=6,9

 

Задание № 2: Решить симплекс методом задачу линейного программирования:

 

Z= -3х1 – 2х2 + х3 → min

⌠-3х1 + х2 + 2х3 ≤  3

│ х1 + 2х2 + 3х3 ≤ 14

⌡ 2х1 + х2 +3х3 ≤ 16

х1≥0 , j=1,2,3

 

Приведем функцию к максимуму, для этого умножим ее на (-1),получим:

Z= 3х1 + 2х2  - х3 → max

⌠-3х1 + х2 + 2х3 ≤ 3

│ х1 + 2х2 + 3х3 ≤ 14

⌡ 2х1 + х2 +3х3 ≤ 16

х1≥0 , j=1,2,3

 

Приведем систему к каноническому виду:

⌠-3х1 + х2 + 2х3 ≤ 3

│ х1 + 2х2 + 3х3 ≤ 14

⌡ 2х1 + х2 +3х3 ≤ 16

Z -  3х1 – 2х2  + х3 = 0

  х1≥0 , j=1,2,3

 

Шаг: 1

Избавимся от неравенств в ограничениях, введя в ограничения 1,2,3 неотрицательные балансовые переменные S1,S2,S3

⌠-3х1 + х2 + 2х3  + S1 = 3

│ х1 + 2х2 + 3х3 + S2 =14

⌡ 2х1 + х2 +3х3  + S3=16

Х1,х2,х3,S1,S2,S3 ≥0

 

Функция Z примет вид:

Z -3x1 -2x2 + x3

Теперь мы можем сформировать начальную симплекс-таблицу.

 

Шаг: 2

Начальная симплекс таблица

БП	Х1	Х2	Х3	S1	S2	S3	Решение	Отношение
S1	-3	1	2	1	0	0	3	-1
S2	1	2	3	0	1	0	14	14
S3	2	1	3	0	0	1	16	8
Z	-3	-2	1	0	0	0	0	---

 

Интерация 1

БП	Х1	Х2	Х3	S1	S2	S3	Решение	Отношение
S1	0	2,5	6,5	1	0	1,5	27	10,8
S2	0	1,5	1,5	0	1	-0,5	6	4
Х1	1	0,5	1,5	0	0	0,5	8	16
Z	0	-0,5	5,5	0	0	1,5	24	---

 

Интерация 2

БП	Х1	Х2	Х3	S1	S2	S3	Решение	Отношение
S1	0	0	4	1	-1,6	2,3	17	10,8
Х2	0	1	1	0	0,6	-0,3	4	4
Х1	1	0	1	0	-0,3	0,6	6	16
Z	0	0	6	0	0,3	1,3	26	---

 

Достигнуто оптимальное решение, так как в целевой функции нет отрицательных коэффициентов.

 

Ответ:

 

Оптимальное значение функции Z=26 достигается в точке с координатами:

х1=6

х2=4

х3=0

s1=17

s2=0

s3=0

 

Задание № 3:

 

Решить транспортную задачу методом потенциалов:

Стоимость перевозок cij задана таблицей:

	В1	В2	В3	В4
А1	2	1	3	5
А2	4	3	4	4
А3	5	2	3	6
А4	3	6	5	2

 

А1	А2	А3	А4	В1	В2	В3	В4
36	22	13	44	19	47	22	32

 

Решение:

F = ∑∑cijxij, (1)

при условиях: 
∑xij = ai, i = 1,2,…, m, (2) 
∑xij = bj, j = 1,2,…, n, (3)

 

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов:

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2	1	3	5	36
А2	4	3	4	4	22
А3	5	2	3	6	13
А4	3	6	5	2	44
Потребности	19	47	22	32

 

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи. 
∑a = 36 + 22 + 13 + 44 = 115 
∑b = 19 + 47 + 22 + 32 = 120

 

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равной 5 (120—115). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю. 
Занесем исходные данные в распределительную таблицу:

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2	1	3	5	36
А2	4	3	4	4	22
А3	5	2	3	6	13
А4	3	6	5	2	44
А5	0	0	0	0	5
Потребности	19	47	22	32

 

Этап I. Поиск первого опорного плана

1. Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи. 
   План начинается заполняться с верхнего левого угла. 
   Искомый элемент равен 2 
   Для этого элемента запасы равны 36, потребности 19. Поскольку минимальным является 19, то вычитаем его. 
   x11 = min(36,19) = 19.

 

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2	1	3	5	36-19=47
А2	4	3	4	4	22
А3	5	2	3	6	13
А4	3	6	5	2	44
А5	0	0	0	0	5
Потребности	19-19=0	47	22	32

 

Искомый элемент равен 1 
Для этого элемента запасы равны 17, потребности 47. Поскольку минимальным является 17, то вычитаем его. 
x12 = min(17,47) = 17

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2	1	3	5	17-17=0
А2	4	3	4	4	22
А3	5	2	3	6	13
А4	3	6	5	2	44
А5	0	0	0	0	5
Потребности	0	47-17=30	22	32

 

Искомый элемент равен 3 
Для этого элемента запасы равны 22, потребности 30. Поскольку минимальным является 22, то вычитаем его. 
x22 = min(22,30) = 22.

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2	1	3	5	0
А2	4	3	4	4	22-22=0
А3	5	2	3	6	13
А4	3	6	5	2	44
А5	0	0	0	0	5
Потребности	0	30-22=8	22	32

 

Искомый элемент равен 2 
Для этого элемента запасы равны 13, потребности 8. Поскольку минимальным является 8, то вычитаем его. 
x32 = min(13,8) = 8.

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2	1	3	5	0
А2	4	3	4	4	0
А3	5	2	3	6	13-8=5
А4	3	6	5	2	44
А5	0	0	0	0	5
Потребности	0	8-8=0	22	32

 

Искомый элемент равен 3 
Для этого элемента запасы равны 5, потребности 22. Поскольку минимальным является 5, то вычитаем его. 
x33 = min(5,22) = 5.

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2	1	3	5	0
А2	4	3	4	4	0
А3	5	2	3	6	5-5=0
А4	3	6	5	2	44
А5	0	0	0	0	5
Потребности	0	0	22-5=17	32

 

Искомый элемент равен 5 
Для этого элемента запасы равны 44, потребности 17. Поскольку минимальным является 17, то вычитаем его. 
x43 = min(44,17) = 17.

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2	1	3	5	0
А2	4	3	4	4	0
А3	5	2	3	6	0
А4	3	6	5	2	44-17=27
А5	0	0	0	0	5
Потребности	0	0	17-17=0	32

 

Искомый элемент равен 2 
Для этого элемента запасы равны 27, потребности 32. Поскольку минимальным является 27, то вычитаем его. 
x44 = min(27,32) = 27.

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2	1	3	5	0
А2	4	3	4	4	0
А3	5	2	3	6	0
А4	3	6	5	2	27-27=0
А5	0	0	0	0	5
Потребности	0	0	0	32-27=5

 
Искомый элемент равен 0 
Для этого элемента запасы равны 5, потребности 5. Поскольку минимальным является 5, то вычитаем его. 
x54 = min(5,5) = 5.

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2	1	3	5	0
А2	4	3	4	4	0
А3	5	2	3	6	0
А4	3	6	5	2	0
А5	0	0	0	0	5-5=0
Потребности	0	0	0	5-5=0

 

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2 [19]	1 [17]	3	5	36
А2	4	3 [22]	4	4	22
А3	5	2 [8]	3 [5]	6	13
А4	3	6	5 [17]	2 [27]	44
А5	0	0	0	0 [5]	5
Потребности	19	47	22	32

 

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. 
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 8, а должно быть m + n - 1 = 8. Следовательно, опорный план является невырожденным. 
Значение целевой функции для этого опорного плана равно: 
F(x) = 2*19 + 1*17 + 3*22 + 2*8 + 3*5 + 5*17 + 2*27 + 0*5 = 291

 

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. 
u1 + v1 = 2; 0 + v1 = 2; v1 = 2 
u1 + v2 = 1; 0 + v2 = 1; v2 = 1 
u2 + v2 = 3; 1 + u2 = 3; u2 = 2 
u3 + v2 = 2; 1 + u3 = 2; u3 = 1 
u3 + v3 = 3; 1 + v3 = 3; v3 = 2 
u4 + v3 = 5; 2 + u4 = 5; u4 = 3 
u4 + v4 = 2; 3 + v4 = 2; v4 = -1 
u5 + v4 = 0; -1 + u5 = 0; u5 = 1

	V1=2	V2=1	V3=2	V4=-1
U1=0	2 [19]	1 [17]	3	5
U2=2	4	3 [22]	4	4
U3=1	5	2 [8]	3 [5]	6
U4=3	3	6	5 [17]	2 [27]
U5=1	0	0	0	0 [5]

 

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij 
(4;1): 3 + 2 > 3; ∆41 = 3 + 2 - 3 = 2 
(5;1): 1 + 2 > 0; ∆51 = 1 + 2 - 0 = 3 
(5;2): 1 + 1 > 0; ∆52 = 1 + 1 - 0 = 2 
(5;3): 1 + 2 > 0; ∆53 = 1 + 2 - 0 = 3 
max(2,3,2,3) = 3 
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (5;1): 0 
Для этого в перспективную клетку (5;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2 [19] [-]	1 [17] [+]	3	5	36
А2	4	3 [22]	4	4	22
А3	5	2 [8] [-]	3 [5] [+]	6	13
А4	3	6	5 [17] [-]	2 [27] [+]	44
А5	0 [+]	0	0	0 [5] [-]	5
Потребности	19	47	22	32

 

Цикл приведен в таблице (5,1; 5,4; 4,4; 4,3; 3,3; 3,2; 1,2; 1,1; ). 
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (5, 4) = 5. Прибавляем 5 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 5 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план:

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2 [14]	1 [22]	3	5	36
А2	4	3 [22]	4	4	22
А3	5	2 [3]	3 [10]	6	13
А4	3	6	5 [12]	2 [32]	44
А5	0 [5]	0	0	0	5
Потребности	19	47	22	32