Контрольная работа по математической логике

СОДЕРЖАНИЕ

 

Раздел 1. Логические основы решения проблем  правоведения и правоохранительной деятельности............................................................................3

Раздел 2. Элементы математической логики............................................................5

Раздел 3. Элементы корреляционного, регрессионного и факторного анализа в правоведении и правоохранительной деятельности................................................7

Раздел 4.  Графы и сети и их приложения в решении задач управления в правоведении и правоохранительной деятельности..............................................16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел 1. Логические основы решения проблем  правоведения и правоохранительной деятельности

 

1. Является ли рефлексивным, антисимметричным и транзитивным  отношение "делиться нацело" множестве целых чисел?

Решение.

1. рефлексивность: а : а – данное действие нерефлексивно,т.к. 0 не делится на 0.

2. транзитивность: а : в, в : с => а : с – данное свойство не выполнимо,

 т.к. например: {-1; 3; 8}     (-1) : 3; 3 : 8; (-1) : 8

3. антисимметричность: а  : в, в : а => а = в – данное свойство не выполнимо,   т.к. например: {-2; 2}    (-2) : 2; 2 : (-2) , но 2 ¹ -2

 

2. В трёх группах курса  23, 24 и 25 студентов. Сколькими способами  можно выбрать трёх представителей  курса по одному из каждой  группы?

Решение.

23*24*25 = 13800

Ответ: количество способов определяется 13800 раз

 

3. Пусть  и пусть . Выписать множество пар элементов из которых состоит следующее бинарное отношение :

а) означает что - целое число;

б)  означает, что ;

в) означает, что ;

г) означает, что .

Решение.

а) означает что - целое число

Ответ: (-2; -1); (-2;1); (-2;2); (-1;1); (0;1); (0;2)

б)  означает, что

Ответ: (-2)<(-1)²; (-2)<0²; (-2)<1²; (-2)<2²; (-2)<0²; (-1)<0²; (-1)<1²; (-1)<2²; 0<1²; 0<2²; 1<2².

в) означает, что ;

Ответ: (-2;-1); (1;2)

г) означает, что

Ответ: (-1;1); (-2;2)

 

5. Найти все отношения эквивалентности, существующие на четырехэлементном множестве.   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел 2. Элементы математической логики

 

1. Найти значение выражения  при , , .

Решение:

А	В	С	В	(+С)	(+С)*А	А+(+С)*А
1	0	1	1	1	1	1

 

Ответ: выражение истинно

 

2. Доказать логическое  тождество .

Решение:

А	В		А*	А*+ В
0	0	1	0	0
0	1	1	0	1
1	0	0	0	0
1	1	0	0	1

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.   по закону  противоречия А*А = 0

     т.о. получаем 0+В

    по закону склеивания В º В

Ответ: тождество    _Ч.Т.Д.

 

3. Упростить выражение 

_{Решение:}

А + (В®А)*В

В®А заменяем на (В + А), получаем:

А+(В+А)*В = А+ (В*В + А*В) = А + А*В = А*1 + А*В = А* (1+В) = А*1 = А

 

 

4. Запишите следующие  сложные высказывания в виде  логического выражения:

1. Если , то или ;     Ответ: А® (B+C)

2) , поэтому ; Ответ: А « B

3) Если или , то ; Ответ: (А+В) ® С

4) Если  четырехугольник является параллелограммом, то  его противоположные попарно  равны и наоборот, если противоположные  стороны четырехугольника попарно  равны, то он является параллелограммом.

Ответ: (А®В) « (В®А)

 

5. Областью  определения предиката "" является:

1) ; 

2)  ;

3) ;

4) .

Ответ: подкоренное выражение должно быть строго положительное, т.о. строгое  неравенство присутствует только в  четвертом варианте .

 

6. Указать,  какие из следующих предложений  являются формулами логики предикатов:

1) ; 

2) ; 

3) ;

4)  .

Ответ: в формулах логики предикатов предикат всегда связан с переменной x, также в формуле должен присутствовать квантор всеобщности и квантор существования, т.о. первая и вторая формулы являются формулами логики предикатов.

 

        Раздел 3. Элементы корреляционного, регрессионного и факторного анализа в правоведении и правоохранительной деятельности

 

          Задача 1. Исследуется зависимость коэффициента усвоения знаний по дисциплине «Конституционное право», выраженного в процентах () от уровня посещаемости занятий () в группе из четырнадцати учащихся ( - порядковый номер учащегося).

Статистические данные приведены  в таблице:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	32	30	35	41	39	47	54	59	55	62	67	69	65	70
	20	23	28	31	30	33	34	36	40	42	43	48	47	49

       

Требуется:

1. Найти оценки параметров линейной регрессии y на x. Построить диаграмму рассеяния и нанести прямую линейную регрессию на динамику рассеяния.

Решение:

Уравнение линейной регрессии  имеет вид y = a+b*x. Для расчета основных показателей составим дополнительную таблицу:

x	y	x2	y2	x*y
32	20	1024	400	640
30	23	900	529	690
35	28	1225	784	980
41	31	1681	961	1271
39	30	1521	900	1170
47	33	2209	1089	1551
54	34	2916	1156	1836
59	36	3481	1296	2124
55	40	3025	1600	2200
62	42	3844	1764	2604
67	43	4489	1849	2881
69	48	4761	2304	3312
65	47	4225	2209	3055
70	49	4900	2401	3430
725	504	40201	19242	27744

 

Параметры уравнения регрессии:

а) среднее значение:

х = = 725/14=51,79

y = = 504/14=36

x*y= = 27744/14=1981,71

б) дисперсия:

D(x) = 40201/14 – (51,79)² = 189,3

D(y) = 19242/14 – (36)² = 78,4

в) среднее квадратичное отклонение:

d(x) = = = 13,76

d(y) = = = 8,85

г) коэффициент корреляции:

r(xy) = dd = = 0,96 = 96%

Связь между признаком y и фактором x сильная и прямая:

y = r_xy dd = 0,96*

коэффициент детерминации:

R² = r²_xy = 0,94² = 0,8836 или 88,36%

случаев изменения параметра  x приводят к изменению y. Другими словами – точность подбора уравнения регрессии высокая.

 

 

Осталось построить график функции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. На уровне значимости проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений.

Решение:

Проверка согласованности  линейной трендовой модели с результатами наблюдений выполняется как решение  задачи проверки статистической гипотезы Н₀ : в = 0. Это говорит об отсутствии линейной статистической  связи переменных y и x на заданном уровне значимых a = 0,55. Для проверки гипотезы используется коэффициент детерминации R² = 0,88 и применяется статистика Фишера

F = = = 41,19          c К₁ = 1

                     К₂ = n-2

Критическое значение статистики Фишера

F_кр = F₂(K₁K₂) = F_0,05(1,12) = 4,75

Т.к. значение F > F_кр = 4,75, то выдвинутая гипотеза Н₀ отвергается, что свидетельствует о согласии линейной трендовой модели с результатами наблюдений.

         3) С надежностью  проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений.

Решение:

Найдем доверительный  интервал для оценки математического  ожидания (М_(X)), полагая, что х имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение d(x) = 13,76 и доверительную вероятность g = 0,95.

Известен объем выборки  n = 14, тогда средняя выборочная:

= =1981,71

Из отношения 2f (t) = 0,95Þ9(t) = 0,475 по таблице находим параметр t = 1,96.

Найдем точность оценки - d < М_(x) < + d, где d = d = = 7,21

Доверительный интервал таков:

1981,71-7,21< М_(х) < 1981,71+7,21

1974,5< M_(x)< 1988,95

Надежность g = 0,95 указывает, что если достаточно большое число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр доверительно заключен, Þ можно говорить о согласии линейной регрессии с результатами наблюдения.

 

            Задача 2. Даны результаты 10 последовательных наблюдений над парой количественных переменных , где - число правонарушений в экономике регионального образования в течение 10 лет  ( - номер года), - получаемый ущерб (в тыс. рублей)

 

	15	13	14	11	12	10	8	9	7	6	4	5
	234	215	223	204	181	174	185	152	148	134	102	112

       

          Требуется:

1. Найти выборочный коэффициент корреляции .

Решение:

Проведем ранжировку объектов, чтобы получить две согласованные особенности рангов. Расположим наблюдаемые пары в порядке на невозрастания числа правонарушений по показателю х:

	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4
	234	223	215	181	204	174	152	185	148	134	112	102

 

Затем пронумеруем объекты  в каждой из строк в порядке  неубывания.

Рангом объекта называется его номер в ранжировке. Получим следующую таблицу:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	1	2	3	6	4	7	8	5	9	10	11	12
di	0	0	0	-2	1	-1	-1	3	0	0	0	0

 

_{di = x^(i)’ – y^(i)’ - разность рангов}

_{Найдем  сумму квадратов  разностей рангов}

, тогда выборочный  коэффициент ранговой корреляции  будет равен:

r_{в = 1 - = 1- = 0, 944}

 

2. На уровне значимости проверить статистическую значимость этого коэффициента.

 

 

 

Решение:

Для проверки статистической значимости выборочного коэффициента корреляции на заданном уровне значимости α выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии ранговой корреляционной связи

Н₀ : r_в = 0

Для проверки выдвинутой гипотезы используется статистика Стьюдента. Она  определяется по формуле:

Т = =

 

При условии справедливости гипотезы Н₀ случайная величина Т имеет известное t – распределение Стьюдента с

К=n-2 степенями свободы

К = n-2 = 12-2 = 10

По таблице критических  точек распределения Стьюдента  для двусторонней критической области  находим критическую точку статистики Стьюдента

t_кр = t₂ (K) = t_0,05(10) = 2,2281

Критерии проверки:

1. |Т_набл| < t_кр, то Н₀ выполняется

(ранговая корреляция  связь практически отсутствует)

2. |Т_набл| > t_кр

Гипотеза Н₀ отвергается (существует знаимая корреляционная связь между переменными х и у)

 

В нашем случае |Т_набл| = 9,03 > t_кр = 2,2281

 

3. Сделать статистический вывод о наличии либо отсутствии корреляционной связи между переменными и .

 

 

Ответ:

Вывод: существует значимая корреляционная связь между переменными х и у.

   

            Задача 3. 10 испытуемых сотрудников правоохранительных органов обследованы по тесту Шмишека на уровень импульсивности и уровень состояния тревожности . Получены следующие результаты  (где - номер испытуемого):

 

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	2	4	7	6	8	5	7	6	4	2
y	1	3	4	2	3	3	1	2	4	1

 

         Требуется:

1. провести ранжирование объектов и получить две согласованные последовательности

Решение:

хi	2	2	4	4	5	6	6	7	7	8
yi	1	1	3	4	3	2	2	1	4	3

 

x(i)’	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y(i)’	1	2	6	9	7	4	5	3	10	8

 

Далее объектом одинакового  качества присваиваем средние ранги. В результате получим 2 согласованные  последовательности рангов.

х*	2	2	4	4	5	6	6	7	7	8
y*	1	1	3	4	3	2	2	1	4	3
di	-0,5	-0,5	-3,5	-6	-2	2	2	6,5	-1	3

 

_{di² = 0,25+0,25+12,25+36+4+4+4+42,25+1+9=113}

 

2. Вычислить выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и на уровне значимости проверить его статистическую значимость

_{Решение:}

_{Вычислим  выборочный коэффициент  ранговой корреляции Спирмена}

_{rв = 1- = 1- = 0,31}

Для проверки статистической значимости выборочного коэффициента корреляции на заданном уровне значимости α выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии ранговой корреляционной связи

Н₀ : r_в = 0

Для проверки выдвинутой гипотезы используется статистика Стьюдента. Она  определяется по формуле:

Т_набл = =

 

При условии справедливости гипотезы Н₀ случайная величина Т имеет известное t – распределение Стьюдента с

К=n-2 степенями свободы

К = n-2 = 10-2 = 8

По таблице критических  точек распределения Стьюдента  для двусторонней критической области  находим критическую точку статистики Стьюдента

t_кр = t₂ (K) = t_0,05(8) = 2,18

Критерии проверки:

1. |Т_набл| < t_кр, то Н₀ выполняется

(ранговая корреляция  связь практически отсутствует)

2. |Т_набл| > t_кр

Гипотеза Н₀ отвергается (существует значимая корреляционная связь между переменными х и у)

 

В нашем случае |Т_набл| = 9,03 > t_кр = 2,18

Вывод: существует значимая корреляционная связь между переменными х и у.         

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел 4.  Графы и сети и их приложения в решении задач управления в правоведении и правоохранительной деятельности

 

1. Дана  матрица смежности графа:

                                                 

Изобразить  граф на рисунке.

Решение:

 

2. Привести пример четырехвершинного графа, имеющего две вершины степени 3.

Решение:

Вершины 2 и 3 имеют степень вершины равной 3.

 

 

 

 

3. Указать все цепи, связывающие вершины и   в графе, изображенном на рис. 1.

Рис. 1

Решение:

 

 

 

 

 

А – 1 – В

А – 1 – 3 – В

А – 1 – 3 – 4 – В  

А – 2 – 3 – 1 – В

А – 2 – 3 – В

А – 2 – 3 – 4 – В

А – 3 – 1 – В 

А – 3 – В

А – 3 – 4 – В                                          

 

4. Найти все связные  графы с 4 вершинами

Решение:

и т.д.  

 

5. Дан граф. Записать  матрицу инциденций графа.

Решение:

	1*	2*	3*	4*	5*	6*	7*
1	1	0	0	1	1	0	0
2	1	1	1	0	0	0	0
3	0	0	0	1	0	0	0
4	0	0	1	0	1	1	0
5	0	0	0	0	0	1	1

 

Если из вершины исходит  соответствующее ребро, то в матрице  стоит 1,    иначе 0.

 

6. В городе  банков, каждый из которых осуществляет взаиморасчеты не менее чем с другими. Доказать, что любой банк может перевести деньги в любой другой банк (возможно, при помощи банков-посредников).

Решение:

Допустим, что хотя бы один из банков не имеет взаиморасчетов с другими банками, получим несвязный  граф, а это противоречит условию  задачи, т.к. каждый из банков имеет  не менее чем 7 взаиморасчетов с другими  банками.