Контрольная работа по «Математической статистике»

Контрольная работа

по дисциплине

«Математическая статистика»

 

Вариант №11

 

Содержание

Задача 1. 3

Задача 2.  6

Задача 3.  14

Задача 4.  16

Задача 5.  19

 

 Задача 1.

1. Составить вариационный, статистический и выборочный  ряды распределения; найти размах выборки;

По полученному распределению  выборки:

2. Построить полигон  относительных частот;

3. Построить график  эмпирической функции распределения;

4. Вычислить выборочную  среднюю, выборочную дисперсию,  выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение, моду и медиану;

5. С надежностью  найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

Вариант 11.

17,1	17,7	15,2	16,5	15,8	17,7	15,8	17,1
17,1	17,1	16,5	15,2	16,5	17,7	16,5	17,1
16,5	15,8	16,5	16,5	17,1	15,2	18,3	17,7
15,8	17,7	17,1	17,7	18,3	15,8	17,7	18,3
18,9	16,5	18,9	17,1	18,3	17,1	15,8	17,1

 

Составим вариационный ряд.

15,2	15,2	15,2	15,8	15,8	15,8	15,8	15,8
15,8	16,5	16,5	16,5	16,5	16,5	16,5	16,5
16,5	17,1	17,1	17,1	17,1	17,1	17,1	17,1
17,1	17,1	17,1	17,7	17,7	17,7	17,7	17,7
17,7	17,7	18,3	18,3	18,3	18,3	18,9	18,9

 

Составим статистический  ряд  распределения  данной  нам  выборки

	15,2	15,8	16,5	17,1	17,7	18,3	18,9
	3	6	8	10	7	4	2

– варианты, – частоты.

Найдем объем выборки  .

Относительная частота  вычисляется по формуле .

Запишем выборочный ряд  распределения

	15,2	15,8	16,5	17,1	17,7	18,3	18,9
	0,075	0,15	0,2	0,25	0,175	0,1	0,05

     .

Размах выборки  ,     R=18,9 – 15,2=3,7.

Построим полигон относительных  частот:

Вычислим выборочную среднюю:

 

Вычислим выборочную дисперсию:

  77,86

 

Вычислим «исправленную» дисперсию

Вычислим  «исправленное» среднее квадратическое отклонение.

 

Найдем с надежностью g=0,95 доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

Так как по условию  задачи генеральная совокупность x распределена по нормальному закону и объем выборки равен n=40, то искомый доверительный интервал для оценки математического ожидания имеет вид

,

где  - среднее квадратическое отклонение, а величина t определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства .

Следовательно, последнее равенство  принимает вид  . Из этого равенства по таблице значений интегральной функции Лапласа находим значение t=1,96. Величина  была найдена ранее: и .

Вычислим  .

Учитывая, что  , доверительный интервал для оценки математического ожидания запишется  или, окончательно, .

 

 

Задача 2.

Для выборки, извлеченной из генеральной  совокупности и представленной интервальным рядом таблицы 2.0. (в первой строке указаны интервалы значений исследуемого количественного признака X генеральной совокупности; во второй – частоты , т.е. количество элементов выборки, значения признака которых принадлежат указанному интервалу), требуется:

1) Построить полигон относительных  накопленных частот (кумулятивную  кривую);

2) Построить гистограмму частот  и гистограмму относительных  частот;

3) Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, моду и медиану;

4) Проверить на уровне значимости  гипотезу о нормальном распределении признака генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона;

5) В случае согласованности с нормальным распределением найти с надежностью доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признака генеральной совокупности.

Таблица 2.0.

	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24
	2	14	90	193	171	66	12

.

В нашем случае n=548.Тогда на основе данной таблицы построим интервальный статистический и интервальный выборочный ряды распределения, сведенные в одну таблицу.

i	1	2	3	4	5	6	7	Итого
	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24
	11	13	15	17	19	21	23
	2	14	90	193	171	66	12	548
	0,004	0,026	0,164	0,352	0,312	0,120	0,022	1,000
	0,004	0,029	0,193	0,546	0,858	0,978	1,000

Построим полигон относительных  накопленных частот (кумулятивную кривую).

Построим гистограмму частот.

В нашем случае исследуемый  признак X может принимать значения на отрезке [10;24]. Интервальная группировка выполнена таким образом, что длина каждого интервала равна h=2. Площадь прямоугольника, построенного на i-ом интервале, должна равняться . Это значит, что высота i-го прямоугольника будет .

Если  высоту i-го прямоугольника определим как , то получим гистограмму относительных частот, которую можно рассматривать как аналог  дифференциальной функции распределения в теории вероятностей.

Для того, чтобы найти выборочную среднюю, воспользуемся формулой

  , где k - количество интервалов, n - объем выборки.

Для вычисления выборочной дисперсии  воспользуемся формулой . В случае интервальной группировки находится по формуле:

Теперь можно окончательно вычислить выборочную дисперсию

.

Найдем выборочное среднее квадратическое отклонение

.

Отыщем выборочный коэффициент  вариации

.

Найденное значение выборочного коэффициента вариации дает наглядное представление  о степени относительного рассеяния исследуемого признака.

Отыщем значения "исправленной"  дисперсии и "исправленного"  среднего квадратического отклонения  ,  .

Для отыскания моды в случае интервальной группировки используем формулу , где – левая граница интервала, имеющего наибольшую интервальную частоту, h – шаг (длина интервала группировки), , R – размах выборки, k - количество интервалов, – наибольшая интервальная частота, – интервальная частота интервала, расположенного слева от интервала с наибольшей интервальной частотой, - интервальная частота интервала, расположенного справа от интервала с наибольшей интервальной частотой.

.

Значение медианы  для случая интервальной группировки отыщем по формуле , где – левая граница интервала, содержащего медиану, n - объем выборки, h - шаг, - интервальная частота интервала, содержащего медиану, - интервальные частоты всех интервалов, расположенных слева от интервала, содержащего медиану.

Найдем значение медианы  для нашей конкретной задачи.

Далее начнем суммировать интервальные частоты слева направо до тех пор пока сумма интервальных частот не превзойдет . Номер последней прибавленной частоты будет совпадать с номером интервала, содержащего медиану распределения: 2+14+90=106<247. Следовательно, =16, .

Проверим на уровне значимости a=0,05 гипотезу о нормальном распределении признака  x генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона.

Для нашей задачи все  условия применимости метода Пирсона выполняются: .

Проверка  гипотезы нормальности по критерию Пирсона основана на сравнении эмпирического и гипотетического распределений, точнее, на сравнении эмпирических и гипотетических интервальных частот. Мера близости между ними оценивается статистикой Пирсона:

, где  – интервальные (эмпирические) частоты, – интервальные теоретические частоты, – теоретические вероятности попадания переменной x в i-ый интервал группировки, , – левая граница i-го интервала, – правая граница i-го интервала.

При этом теоретические  вероятности  рассчитываются в предположении нормальности распределения случайной величины x по формуле:

, где  и функция есть плотность стандартного нормального распределения.

Вычисление наблюдаемого значения статистики Пирсона организуем в форме расчетной таблицы. Для заполнения таблицы нам понадобятся величины , , .

 

 

 

i												w i	накопл знач
1	10-12	11	2	-6,785	-3,182	0,003	0,002	1,2961	0,704	0,496	0,382	0,004	0,004
2	12-14	13	14	-4,785	-2,244	0,032	0,030	16,526	-2,526	6,380	0,386	0,026	0,029
3	14-16	15	90	-2,785	-1,306	0,170	0,159	87,391	2,609	6,807	0,078	0,164	0,193
4	16-18	17	193	-0,785	-0,368	0,373	0,350	191,66	1,335	1,783	0,009	0,352	0,546
5	18-20	19	171	1,215	0,570	0,339	0,318	174,34	-3,337	11,136	0,064	0,312	0,858
6	20-22	21	66	3,215	1,508	0,128	0,120	65,767	0,233	0,054	0,001	0,120	0,978
7	22-24	23	12	5,215	2,446	0,020	0,019	10,29	1,710	2,925	0,284	0,022	1,000
			548								1,205	1,000

Следовательно, . Заданный уровень значимости , количество интервалов группировки , и потому p=1-a=0,95 и число степеней свободы k=m-3=7-3=4.

Теперь по таблице  критических точек распределения  отыщем значение .

Сравним значения  и . Имеем 1,205<9,5 , следовательно, < , гипотеза о нормальном распределении признака x подтверждается. Необходимо найти с надежностью g=0,95 доверительные интервалы для оценки математичиского ожидания  и среднего квадратического отклонения признака x генеральной совокупности.

где  - среднее квадратическое отклонение, а величина t определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства .

. Из этого равенства по  таблице значений интегральной  функции Лапласа  находим значение t=1,96. Величина = 2,132   и n= 548 ,    .

Вычислим  .

, запишем доверительный интервал для оценки математического ожидания  = .

 

 

 

Задача 3.

Проведите сравнительный  анализ результатов педагогического  эксперимента в контрольных и  экспериментальных группах, используя критерий однородности Пирсона.

,  где  и .

Уровень значимости

Таблица 3.0.

Значение варианты	2	3	4	5	ni
Частота появления  в экспериментальной группе	16	15	16	5	52
Частота появления  в контрольной группе	5	3	11	6	25
nj	21	18	27	11	77

Проведем сравнительный  анализ результатов педагогического эксперимента в контрольных и экспериментальных группах, используя критерий однородности Пирсона: , где 2, 3, 4, 5 - вариационный ряд (оценки, выставляемые по результатам проведения контрольных работ), - частота появления i-ой варианты в экспериментальной группе, - частота появления i-ой варианты в контрольной группе, - объем выборки в экспериментальной группе, - объем выборки в контрольной группе, m=4 - количество различных значений варианты (количество интервалов группировки), k=m-1=3 - количество степеней свободы.

Найдем  и . =16+15+16+5=52, =5+3+11+6=25.

Теперь вычислим .

= =11,20

По таблице критических  точек распределения  , приведенной в приложении 3, для числа степеней свободы k=3 и уровня значимости a=0,05 находим значение =7,81.

Так как  > (11,20>7,81), то согласно правилу принятия решения, делаем вывод, что существуют достоверные различия между результатами проведения контрольных работ в экспериментальной и контрольной группах на уровне надежности g=1-a=1-0,05=0,95.

 

 

В результате проведенного эксперимента было выявлено снижение качества

обучения. 
Задача 4.

Исследуется зависимость коэффициента усвоения знаний, выраженного в процентах ( %) от уровня посещаемости занятий ( %) в группе из четырнадцати учащихся ( - порядковый номер учащегося). Статистические данные приведены в таблице.

Требуется:

1) Найти оценки  параметров линейной регрессии  на . Построить диаграмму рассеяния и нанести прямую регрессии на диаграмму рассеяния.

2) На уровне  значимости  проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений.

3) С надежностью  найти доверительные интервалы для параметров линейной регрессии.

Таблица 4.0.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
xi	10	8	9	7	7	6	14	6	13	13	12	10	11	11
yi	7	6	6	6	5	4	9	4	8	8	8	7	6	7

 

Найдем точечные статистические оценки и параметров и линейной регрессии Y на X: .

Для уравнения прямой регрессии  по статистическим данным таблицы 4.0 найдем оценки и ее параметров методом наименьших квадратов. Применим известные формулы

, где  , ;

Вычисления организуем в форме следующей расчетной таблицы:

 

 

i
1	10	7	70	100	49
2	8	6	48	64	36
3	9	6	54	81	36
4	7	6	42	49	36
5	7	5	35	49	25
6	6	4	24	36	16
7	14	9	126	196	81
8	6	4	24	36	16
9	13	8	104	169	64
10	13	8	104	169	64
11	12	8	96	144	64
12	10	7	70	100	49
13	11	6	66	121	36
14	11	7	77	121	49
	137	91	940	1435	621
	9,79	6,50	67,14	102,50	44,36

Таким образом, , , , , .

Далее вычисляем ковариации:

;

;

;

и по указанным выше формулам находим

;

.

В результате получаем уравнение  прямой регрессии

.

Проверим согласованность  выбранной линейной регрессии с  результатами наблюдений. Для этого решим следующую задачу проверки статистической гипотезы.

На заданном уровне значимости выдвигается гипотеза об отсутствии линейной статистической связи. Для проверки выдвинутой гипотезы используется коэффициент детерминации и применяется статистика Фишера F.

В случае парной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату выборочного коэффициента корреляции Пирсона, т.е. .

Статистика F выражается формулой и при условии справедливости гипотезы имеет классическое распределение Фишера с и степенями свободы.

В соответствии с приведенными формулами вычисляем коэффициент детерминации и наблюдаемое значение статистики Фишера:

,

.

Критическое значение статистики Фишера находим по таблице квантилей распределения Фишера, исходя из равенства , где p=1-a (порядок квантили),  и . В данном случае .

Сравниваем между собой  наблюдаемое и критическое значения статистики Фишера. Так как  , то выдвинутая гипотеза не отвергается, то есть уравнение значимое, достоверное, надежное.

 

Задача 5.

Предположим, что в  педагогическом эксперименте участвовали  три группы студентов по 10 человек  в каждой. В группах применили  различные методы обучения: в первой – традиционный , во второй – основанный на компьютерных технологиях , в третьей – метод, широко использующий задания для самостоятельной работы . Знания оценивались по десятибалльной системе.

Требуется обработать полученные данные об экзаменах и сделать заключение о том, значимо ли влияние метода преподавания, приняв за уровень значимости .

Результаты экзаменов  заданы таблицей, – уровень фактора – оценка -го учащегося обучающегося по методике .

Таблица 5.0.

		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Уровень фактора		8	1	5	2	8	7	4	8	7	10
		5	1	7	10	9	8	9	5	9	2
		6	5	2	7	2	1	3	4	6	7

 

Поместим в таблице  экзаменационные оценки  ( ), их отклонения от общей средней ( ) и квадраты этих отклонений . Уровни фактора означают: - традиционный метод, - применение компьютерной технологии, - увеличение доли самостоятельной работы.

 

Номер испытан.1	Уровни фактора  (различные методы преподавания)
	Оценки			Оценки			Оценки
1	8	2,40	5,76	5	-0,60	0,36	6		0,40	0,16
2	1	-4,60	21,16	1	-4,60	21,16	5		-163,00	26569,00
3	5	-0,60	0,36	7	1,40	1,96	2		-24,60	605,16
4	2	-3,60	12,96	10	4,40	19,36	7		-134,40	18063,36
5	8	2,40	5,76	9	3,40	11,56	2		-3,79	14,39
6	7	1,40	1,96	8	2,40	5,76	1		-12,30	151,29
7	4	-1,60	2,56	9	3,40	11,56	3		-2,24	5,00
8	8	2,40	5,76	5	-0,60	0,36	4		1,46	2,13
9	7	1,40	1,96	9	3,40	11,56	6		6,00	36,00
10	10	4,40	19,36	2	-3,60	12,96	7		7,00	49,00
Груп. сред.2	6	0,4	7,76	6,5	0,9	9,66	4,3		-32,547	4549,549
S	60	4	77,6	65	9	96,6	43	-325,5		45495,5