Контрольная работа по "Математической статистике"

Задача 1.4

Для оценки уровня жизни  жителей города проведен 1%-й опрос, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки. Получено следующее распределение  жителей по месячному доходу Х (количество минимальных заработных плат):

 

Количество

минимальных

заработных плат хi

Менее  2

2-4

4-6

6-8

8-10

10-12

Более 12

Число жителей ni

155

657

870

390

83

75

5


 

1. а) Определить границы,  в которых с надежностью 0,9335 заключен средний месячный доход  жителей города

   б) каким должен  быть объем выборки, чтобы те  же границы гарантировать с  надежностью 0,9855 ?

2. Определить границы,  в которых с надежностью 0,9783 заключена доля наиболее обеспеченного  населения города (12 и более минимальных  заработных плат) и доля наименее  обеспеченного населения города (менее 2 минимальных заработных  плат).

3. Каким должен быть  объем выборки , чтобы те же границы для доли наименее обеспеченного населения города гарантировать с надежностью 0,9873 ?

4. Как изменились бы  результаты, полученные в п.3, если  бы о доле наиболее обеспеченного  населения региона вообще не  было ничего известно?

 

 

Решение:

Проведем следующие расчеты:

 

Группы

xi

Кол-во, fi

xi * fi

Накопленная частота, S

(x - xср) * f

(x - xср)2 * f

Частота, fi/n

до 2

1.5

155

232.5

155

524.85

1777.21

0.0694

2 - 4

3

657

1971

812

1239.19

2337.27

0.29

4 - 6

5

870

4350

1682

99.07

11.28

0.39

6 - 8

7

390

2730

2072

824.41

1742.69

0.17

8 - 10

9

83

747

2155

341.45

1404.69

0.0371

10 - 12

11

75

825

2230

458.54

2803.46

0.0336

Более 12

13

5

65

2235

40.57

329.17

0.00224

 

 

 

 

2235

10920.5

 

 

3528.07

10405.77

1


 

Для оценки ряда распределения  найдем следующие показатели:

Средняя взвешенная

 

 

Вычислим выборочную дисперсию:

 

xц

x*i

x*ifi

[x*i]2fi

1.5

-1.75

-271.25

474.69

3

-1

-657

657

5

0

0

0

7

1

390

390

9

2

166

332

11

3

225

675

13

4

20

80

 

 

 

 

-127.25

2608.69


 

 

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

 

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

 

 

Каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 1.58

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

 

 

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.

 

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

 

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 4.89 не более, чем на 2.16

Оценка среднеквадратического  отклонения.

 

Определить границы, в  которых с надежностью 0,9335 заключен средний месячный доход жителей  города

 

или

 

где d  - процент выборки.

Определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(tkp) = 1 - γ

Ф(tkp) = (1 - γ)/2 = 0.9335/2 = 0.4668

По таблице функции  Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.4668

tkp(γ) = (0.4668) = 1.84

 

(4.89 - 0.0836;4.89 + 0.0836) = (4.8;4.97)

С вероятностью 0.9335 можно  утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

 

или

 

где d  - процент выборки.

Поскольку n ≤ 30, то определяем значение tkp по таблице распределения Стьюдента

По таблице Стьюдента  находим:

Tтабл (n-1;α/2) = (7;0) = 6

 

(1 - 0;1 + 0) = (1;1)

С вероятностью 0 можно утверждать, что среднее значение при выборке  большего объема не выйдет за пределы  найденного интервала.

Найдем доверительный  интервал для среднеквадратического  отклонения с надежностью γ = 0.9783.

Нижняя ошибка среднеквадратического  отклонения:

 

Верхняя ошибка среднеквадратического  отклонения:

 

(2.16 - 6.57; 2.16 + 6.57)

(-4.41; 8.73)

Найдем верхнюю границу  доверительного интервала для среднеквадратического  отклонения:

 

0 ≤ σ ≤ 6.57

Доверительный интервал для  генеральной доли.

 

Определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(tkp) = 1 - γ

Ф(tkp) = (1 - γ)/2 = 0.9335/2 = 0.4668

По таблице функции  Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.4668

tkp(γ) = (0.4668) = 1.84

 

Доля i-ой группы fi / ∑f

Средняя ошибка выборки для  генеральной доли, ε

Нижняя граница доли, p* + ε

Верхняя граница доли, p* + ε

0.0694

  

0.064

0.0747

0.29

  

0.28

0.3

0.39

  

0.38

0.4

0.17

  

0.17

0.18

0.0371

  

0.0332

0.0411

0.0336

  

0.0298

0.0373

0.00224

  

0.00125

0.00322


 

 

С вероятностью 0.9783 при большем  объеме выборке эти доли будут  находиться в заданных интервалах.

 

 

Задача 2.4

Для 12 предприятий региона  получены следующие данные о производительности труда Y, тыс. руб., в расчете на одного работающего в зависимости от энерговооруженности труда X, кВТ, (i – номер варианта = 8)

№

предприятия

Энерговооруженность Х, кВТ

Производительность труда  Y, тыс. руб

1

2,9

6,78

2

2,8

6,88

3

3

7,18

4

3,8

7,85

5

3,18

8,84

6

3,81

8,88

7

4,18

9,18

8

4,8

9,88

9

6,8

10,78

10

5,84

11,18

11

5,28

11,88

12

7,18

12,18


 

Необходимо: а) оценить тесноту  и направление связи между  переменными с помощью коэффициента корреляции; б) найти уравнения прямых регрессии построить их графики.

Решение:

Для расчета параметров регрессии  построим расчетную таблицу (табл. 1)

x

y

x2

y2

x • y

2.9

6.78

8.41

45.97

19.66

2.8

6.88

7.84

47.33

19.26

3

7.18

9

51.55

21.54

3.8

7.85

14.44

61.62

29.83

3.18

8.84

10.11

78.15

28.11

3.81

8.88

14.52

78.85

33.83

4.18

9.18

17.47

84.27

38.37

4.8

9.88

23.04

97.61

47.42

6.8

10.78

46.24

116.21

73.3

5.84

11.18

34.11

124.99

65.29

5.28

11.88

27.88

141.13

62.73

7.18

12.18

51.55

148.35

87.45

53.57

111.49

264.61

1076.05

526.81


 

1. Параметры уравнения  регрессии.

Выборочные средние.

 

 

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

1.1. Коэффициент  корреляции

Ковариация.

 

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем  является выборочный линейный коэффициент  корреляции, который рассчитывается по формуле:

 

Линейный коэффициент  корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут  быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале  Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь  между признаком Y фактором X  весьма высокая и прямая.

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

 

Линейное уравнение регрессии  имеет вид y = 1.14 x  + 4.19

Коэффициентам уравнения  линейной регрессии можно придать  экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 1.14 показывает среднее изменение результативного  показателя (в единицах измерения  у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением  на 1 единицу y повышается в среднем  на 1.14.

Коэффициент a = 4.19 формально  показывает прогнозируемый уровень  у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными  значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к  неверным результатам, и даже если линия  регрессии довольно точно описывает  значения наблюдаемой выборки, нет  гарантий, что также будет при  экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение  регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x2 = ∑y•x

Для наших данных система  уравнений имеет вид

12a + 53.57 b = 111.49

53.57 a + 264.61 b  = 526.81

Из первого уравнения  выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1.1429, a = 4.1887

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 1.1429 x + 4.1887

Построим график:

 

Задача 1.7

Для анализа активности инвесторов на фондовой бирже за квартал, по схеме  собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 450 инвесторов. Получено следующее распределение  инвесторов по числу сделок за квартал:

хi

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

ni

163

100

77

37

25

15

10

7

7

5

4


 

При условии, что общее  число инвесторов на фондовой бирже  неизвестно, а известно лишь, что  оно значительно превышает объем  выборки:

1. а) Найти вероятность  того, что доля малоперспективных  инвесторов на бирже (с числом  сделок менее 3) отличается от  доли таких же инвесторов в  выборке не более, чем на 0,02 (по абсолютной величине);

    б) Определить  границы, в которых с надежностью  0,9826 заключена доля малоперспективных  инвесторов на фондовой бирже.

2. Каким должен быть  объем выборки, чтобы те же  границы для доли малоперспективных  инвесторов на фондовой бирже  гарантировать с надежностью  0,9972 ?

3. Как изменились бы  результаты, полученные в пунктах  1а и 2, если  бы о доле малоперспективных  инвесторов вообще не было  ничего известно?

4. Определить границы, в которых с надежностью 0,9357 заключено число сделок на фондовой бирже за квартал.

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

Таблица для расчета показателей.

 

xi

Кол-во, fi

xi * fi

Накопленная частота, S

(x - xср) * f

(x - xср)2 * f

(x - xср)3 * f

Частота, fi/n

2

163

326

163

286.16

502.36

-881.92

0.36

3

100

300

263

75.56

57.09

-43.13

0.22

4

77

308

340

18.82

4.6

1.12

0.17

5

37

185

377

46.04

57.3

71.31

0.0822

6

25

150

402

56.11

125.94

282.66

0.0556

7

15

105

417

48.67

157.9

512.29

0.0333

8

10

80

427

42.44

180.15

764.65

0.0222

9

7

63

434

36.71

192.53

1009.71

0.0156

10

7

70

441

43.71

272.95

1704.43

0.0156

11

5

55

446

36.22

262.41

1901.01

0.0111

12

4

48

450

32.98

271.88

2241.53

0.00889

 

 

450

1690

 

 

723.42

2085.11

7563.65

1


 

Вероятность попадания СВ в тот ли иной интервал находится по формуле:

P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)

Найдем вероятность того, что СВ будет находиться в интервале X < 0,02

P(X < 0,02) = F(0,02) = 0

xi

Кол-во, fi

xi * fi

Накопленная частота, S

(x - xср) * f

(x - xср)2 * f

(x - xср)3 * f

Частота, fi/n

2

163

326

163

286.16

502.36

-881.92

0.36

3

100

300

263

75.56

57.09

-43.13

0.22

4

77

308

340

18.82

4.6

1.12

0.17

5

37

185

377

46.04

57.3

71.31

0.0822

6

25

150

402

56.11

125.94

282.66

0.0556

7

15

105

417

48.67

157.9

512.29

0.0333

8

10

80

427

42.44

180.15

764.65

0.0222

9

7

63

434

36.71

192.53

1009.71

0.0156

10

7

70

441

43.71

272.95

1704.43

0.0156

11

5

55

446

36.22

262.41

1901.01

0.0111

12

4

48

450

32.98

271.88

2241.53

0.00889

 

 

450

1690

 

 

723.42

2085.11

7563.65

1


 

 

Показатели вариации.

Для оценки ряда распределения  найдем следующие показатели:

Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная

 

 

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации.

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным  значениями признака первичного ряда.

R = Xmax - Xmin

R = 12 - 2 = 10

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

 

 

Каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 1.61

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

 

 

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.

 

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

 

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 3.76 не более, чем на 2.15

Оценка среднеквадратического  отклонения.

 

Относительные показатели вариации.

К относительным показателям  вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное  линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

 

Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.

Линейный коэффициент  вариации

 

Показатели формы  распределения.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

 

Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

 

Для симметричных распределений  рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.

Чаще всего эксцесс  оценивается с помощью показателя:

 

Для распределений более  островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (Ex > 0), для более плосковершинных (сплюснутых) - отрицательный (Ex < 0), т.к. для нормального распределения M4/s4 = 3.

M3 = 55402.42/11 = 5036.58

 

Число 3 вычитается из отношения  μ4/ σ4 потому, что для нормального закона распределения μ4/ σ4 = 3. Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю. Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные - отрицательным эксцессом.

Ex = 0  - нормальное распределение

Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику Ex/sEx

где sEx - средняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса.

 

Если отношение Ex/sEx > 3, то отклонение от нормального распределения считается существенным.

 

Поскольку sEx < 3, то отклонение от нормального распределения считается не существенным.

Интервальное  оценивание центра генеральной совокупности.

Доверительный интервал для генерального среднего.

 

Определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(tkp) = 1 - γ

Ф(tkp) = (1 - γ)/2 = 0.9826/2 = 0.4913

По таблице функции  Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.4913

tkp(γ) = (0.4913) = 2.38

 

(3.76 - 0.24;3.76 + 0.24) = (3.52;4)

С вероятностью 0.9826 можно  утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Доверительный интервал для дисперсии.

Вероятность выхода за нижнюю границу равна P(χ2n-1 < hH) = (1-γ)/2 = 0.0014. Для количества степеней свободы k = 449, по таблице распределения хи-квадрат находим:

χ2(449;0.0014) = 241.0579.

Случайная ошибка дисперсии:

 

 

Вероятность выхода за верхнюю  границу равна P(χ2n-1 ≥ hB) = 1 - P(χ2n-1 < hH) = 1 - 0.0014 = 0.9986. Для количества степеней свободы k = 449, по таблице распределения хи-квадрат находим:

χ2(449;0.9986) = 241.0579.

Случайная ошибка дисперсии:

 

 

(4.64 - 8.65; 4.64 + 8.65)

(-4.01; 13.29)

Найдем верхнюю границу  доверительного интервала для среднеквадратического  отклонения с надежностью γ = 0.9972.

 

P(χ2n-1 > hγ) = 0.9972. Для количества степеней свободы k = 449, по таблице распределения хи-квадрат находим:

χ2(449;0.9972) = 241.0579.

Случайная ошибка дисперсии:

 

 

0 ≤ σ2 ≤ 8.65

Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения.

Найдем доверительный  интервал для среднеквадратического  отклонения с надежностью γ = 0.9972.

Нижняя ошибка среднеквадратического  отклонения:

 

Верхняя ошибка среднеквадратического  отклонения:

 

(2.15 - 2.94; 2.15 + 2.94)

(-0.79; 5.09)

Найдем верхнюю границу  доверительного интервала для среднеквадратического  отклонения:

 

0 ≤ σ ≤ 2.94

Интервальное  оценивание генеральной доли (вероятности  события).

Доверительный интервал для  генеральной доли.

 

Определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(tkp) = 1 - γ

Ф(tkp) = (1 - γ)/2 = 0.9826/2 = 0.4913

По таблице функции  Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.4913

tkp(γ) = (0.4913) = 2.38

 

Доля i-ой группы fi / ∑f

Средняя ошибка выборки для  генеральной доли, ε

Нижняя граница доли, p* + ε

Верхняя граница доли, p* + ε

0.36

  

0.34

0.38

0.22

  

0.2

0.24

0.17

  

0.15

0.19

0.0822

  

0.0693

0.0952

0.0556

  

0.0448

0.0663

0.0333

  

0.0249

0.0418

0.0222

  

0.0153

0.0292

0.0156

  

0.00972

0.0214

0.0156

  

0.00972

0.0214

0.0111

  

0.00619

0.016

0.00889

  

0.00447

0.0133


 

 

С вероятностью 0.9972 при большем  объеме выборке эти доли будут  находиться в заданных интервалах.

 

Задача  2.2

На 10 опытных участках  одинакового размера получены следующие  данные об урожайности Х, т, и содержании белка Y, %, для некоторой культуры (i – номер варианта = 7)

№

участка

Энерговооруженность Х, кВТ

Производительность труда  Y, тыс. руб

1

9,9

10,7

2

17,2

10,8

3

11

17,1

4

11,7

12,5

5

17,8

12,7

6

12,7

12,8

7

12,8

12,7

8

13,7

11,8

9

14,3

17,8

10

17,4

10,6

Контрольная работа по Математической статистике 📙 Контрольная → 🆔 61457

Контрольная работа по Математической статистике 📙 Контрольная → 🆔 61457

Контрольная работа по "Математической статистике"