ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Сибирский государственный университет 

телекоммуникаций  и информатики

 

Межрегиональный центр переподготовки специалистов 
 
 

Контрольная работа

по математическому  анализу 
 
 

 

Выполнила:

                                                                                  вариант 6.

                                                                                                                                                                                 

                                                                          

 
 
 
 
 
 

2008, г 

Задача 1.

Даны функция z=z(x,y), точка A(x0;y0) и вектор a(ax;ay).

Найти: 1) grad z в  точке А. 2) производную в точке  А по направлению вектора a.

 

Решение: 

1) grad z ≡ Z ( әz/ әх; әz/ әу)

Учитывая, что әz/ әх= ә arctg (хy ) /әх = =

әz/ әу= ∙2 хy = ,    получим

 grad z  = +  

grad z  (2;3)= i + j = + = {0,0277; 0,11077} 

2)  Используя понятие градиента и полярного произведения производную по направлению можно записать в виде: 

әz/ ә =( z, )=  

(Найдем  ; cos = = =

  cos =  = )= ({ ; },{ ; }) = 

= ∙ + ∙ = – =  

≈ – 0,0443 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  2. 

Вычислить с  помощью двойного интеграла в  полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (a>0).

 

Решение: 

Перейдем к  полярным координатам, учитывая что =  

cos =     tg =

Для этого перепишем  уравнение кривой в виде (умножив  левую и правую стороны на и разделив на ): 

=

Далее: 

( ) =  

=

Упростив, имеем: 

=

=

Вид кривой имеет  вид: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Учитывая симметрию кривой площадь фигуры будет в 4 раза больше заштрихованной.

Тогда

S=4 = │ ) = ∙ =

= ∙ = ∙ = 

= (1-tg )∙ =( = )= 

= 2a ( - │ = ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  3. 

Вычислить с  помощью тройного интеграла объем  тела, ограниченного указанными поверхностями.

 

Решение: 

Построим тело: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вычислим объем  с помощью тройного  интеграла: 

V = =

(пределы интегрирования по переменной у – 0 – 6

                                                                                    х –     – 9-у

                                                                                   z –  0  –  

= │ dхdy = dхdy= (9 – y – ) dy =  

= dy =( )│ = 162 – 121, 5 = 40,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  4. 

Исследовать сходимость числового ряда.

 

Решение: 

Сходимость ряда теряет смысл из-за того что первый член →∞ 

Если исследовать  первый член:  

  то, использовав интегральный  признак сходимости 

х →∞ = =

                           0

( – )= ≈1,44 

Без первого  члена ряд сходится. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  5. 

Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение: 

Найдем радиус схождения по формуле: 

R = │ : │= │ : │= │ │= 

│ │= │ │= =

Применяя правило  Лопиталя получим: 

= │ │= = =

Выясним сходится ли ряд при   х=

Ряд будет иметь  вид: 

                                                                

Т.к.  = = = = 1 

Ряд расходится 

При х = – ряд также расходится. 

Следовательно интервал сходимости  – < х <  
 

Задача  6.

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировать его почленно.

 

Решение: 

Разложим функцию  хe   в ряд Тейлора: 

= + + +…

= х = 0

= – х = (1–х) = 1

= – (1–х) – = – (2–х) = –2

= (2–х) + = (3–х) = 3

= – (3–х) – = – (4–х) = –4

=  

Тогда 

= х – х + – +….+ + …

( – + – + …+ )│ = 

= – + – + …+ =  

= 0,125 – + – + = 0,0902 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  7. 

Разложить данную функцию f(x) в ряд Фурье 

 

Решение:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Найдем коэффициенты а:  

 │ + │ =

= 2,5

= │ │ =

=  
 
 
 

Решаем интегрируя по частям:

=  

Тогда

– = │ – │ =

= ≠

= │ + │ = + .

+ =

=  

;    ;   ;    ; 

;   ;   ;   ; 

 

                   при m=2k – 1              ,  где k N 

            при m=4k – 2 

                  0           при m=4k –4 
 
 

Найдем коэффициенты :

=

= │ │ =

= – – . 

Решаем:

+  +

= + + │ │ –

– │ + │ =

= + – – +

+ =  

;    ;   ;    ; 

;  ;  ;   ; 
 

 

                    при m=4k –3              ,  где k N 

                    при m=2k  

                    при m=4k –4 
 

Следовательно:

… 
 
 
 

Задача  8. 

Найти общее решение дифференциального уравнения.

 

Решение: 

При решении  используем метод разделяющих переменных:

 

 

,                      

,   где у>-1 

Проверка:

=  

=  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  9. 

Найти частное  решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

 

Решение: 

Мы имеем линейное уравнение второго порядка.

Составим характеристическое уравнение

Оно имеет действительные корни  ,

Тогда общее  решение без правой части будет:

Уравнение (1) имеет  также частное решение вида

y*=(Aх+B) , где А и В – частные постоянные.

Найдем их:

=A – (Ах+В) = = – A – A + (Ах+В) =(Ах+В –2А)

Подставляя в  уравнение (1) получим:

(Ах+В –2А) – 5 (А–В–Ах) + 6 (Ах+В) = (12х – 7)

Сокращая на , получим:

Ах + В – 2А – 5А + 5В + 5Ах + 6Ах + 6В =

=12Ах + 12В – 7А = 12х – 7

Отсюда видно  что А = 1, В = 0

Тогда общее  решение уравнения (1) будет:

+

у(0) =

+

= + +1 = 0 
 
 
 

Отсюда найдем и :

= –

–3 +2 +1= 0

     – = –1  = 1; = –1

Частное решение  имеет вид:

Проверка:

+

= – = –

Подставляя в  уравнение (1) получим:

+ + + + = (12х – 7)

( –2 + х – 5 +5х + 6х) = (12х – 7)            - верно.