КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

     по  предмету «Математическая  экономика» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2011 г.

 

      Оглавление

 

Классическая  модель рыночной экономики и модель Кейнса.

     Классическая  модель давала ответ на задачу поиска равновесия в экономике в условиях полной занятости. В модели Кейнса показано, что равновесие при полной занятости не является общим случаем. Общий случай - это равновесие при наличии безработицы, а полная занятость лишь особый случай.

     В модели Кейнса предполагается, что  существует три вида активов: деньги, облигации, физический капитал. Относительная цена денег, выраженная в облигациях, - это ставка процента по облигациям. Предполагается, что в условиях равновесия норма прибыли на физический капитал (т.е. на имеющийся запас инвестиционных товаров) равна ставке дохода по облигациям.

     Таким образом, появляется возможность проследить, как денежно-кредитная политика влияет на производство. Например, увеличение денежной массы путем печатания новых денег изменяет пропорции обмена между деньгами и облигациями. Если денег станет больше, их будут хранить только при снижении нормы процента на облигации (альтернативный вид активов), при этом норма прибыли также должна снизиться, поскольку облигации и капитал – близкие предметы.

     Рассмотрим  теперь критерий максимума прибыли  по отношению к капиталу (фондам) при фиксированном уровне занятости. Прибыль определяется по формуле:

            П = p*F(K, L) – r*К,                            (1.1) 
где   р – цена единицы валового внутреннего продукта;

     К – капитал, вовлеченный в производство;

     L – трудовые ресурсы, вовлеченные в производство;

     r – норма прибыли (ставка процента).

     Необходимое условие экстремума:

      ,                             (1.2)

     поскольку , то действительно получим условие максимума

     

                                         (1.3)

     т.е. предельная производительность фондов в стоимостном виде равна норме прибыли (ставке процента).

     Таким образом, падение нормы прибыли  согласно (1.3) означает падение предельного продукта капитала, а поскольку предельный продукт падает с ростом К, то падение нормы прибыли с необходимостью предполагает увеличение спроса на инвестиционные товары, следовательно, и на товары в целом. Проследив всю причинно-следственную цепочку, видим, что сравнительно небольшое увеличение денежной массы приводит к росту спроса на товары, соответственно, к росту предложения товаров, т.е. к увеличению конечного продукта.

     Рассмотрим  более подробно рынок труда в  модели Кейнса. Напомним, что в классической модели равновесие наступало при  полной занятости, и равновесное значение реальной заработной  платы    определялось из условия:

                                           (1.4)

     При  этом  равновесный  конечный  продукт  определяется  формулой: Y⁰ = F(K, L⁰), где L⁰- число занятых при полной занятости. Предположим теперь, что по определенным причинам спрос Е (на продукцию) оказался меньше предложения Y⁰ при полной занятости. В этом случае, как считал Кейнс, фактически произведённый конечный продукт Y  будет равен спросу: Y = E. Таким образом, фактическая занятость будет меньше полной занятости Y < Y⁰. Это немедленно окажет влияние на рынок рабочей силы в связи с тем, что при прочих равных условиях меньший объём продукта можно произвести с помощью меньшего числа рабочих, т.е. L < L⁰.

     Таким образом, если в классической модели реальная заработная плата (w/p)⁰ определяла число занятых , то в модели Кейнса  спрос на товары Е определяет уровень занятости L. При этом ∆L = L⁰ - L и есть тот уровень безработицы, который диктуется рынками денег и товаров.

     Дело  в том, что производители не могут  продать столько, сколько они хотели бы, но производят и продают только в объёме спроса. Поэтому кривая спроса на рабочую силу, которая выводилась в предположении максимизации прибыли, не может быть применена.

     Следовательно, основные новшества модели Кейнса по сравнению с классической моделью состоят в следующем:

     1.   Равновесие на рынке товаров  достигается при равенстве планируемого  спроса и фактического предложения.

     2. Фактический спрос на рабочую  силу определяется фактически  востребованным продуктом, и,  значит, равновесие на рынке рабочей силы может быть достигнуто тогда, когда рынок товаров находится в равновесии.

     В целом модель Кейнса можно записать в следующем виде:

     Рынок рабочей  силы:

                       L^S = L^S (w / p),       L^D = L^D(Y ⁰).                        (1.5)

     Рынок денег:

                  M ^S = M ^S ;     M ^D = k * p * Y + Lq(r),      < 0,          (1.6)

     M ^S = M ^D ,                                        (1.7)

     где Lq(r) - спрос на облигации в зависимости от процентной ставки.

     Рынок товаров:

     Y=Y(L),      E=C(Y)+I(r),                     (1.8)

     Y=E.            (1.9)

     При исследовании поведения экономики  формулы (1.5) – (1.9) должны быть заменены конкретными зависимостями, отражающими  поведение рынков.

     Рассмотрим  равновесие на рынке товаров, полагая, что зависимости C(Y), I (r) линейные. В этом случае спрос на потребительские товары растёт линейно с ростом предложения товаров:

     C(Y) = a + b * Y,                                      (1.10)

     где а > 0, 0 < b < 1.

     Спрос на инвестиционные товары линейно убывает с ростом нормы процента:

     I(r) = d – f * r,                                        (1.11)

     где d >0, f > 0.

     В этом случае условие равновесия (1.9) запишется в следующей форме:

     

,                       (1.12)

     откуда

         ,           (1.13)

     т.е. кривая равновесия на рынке товаров (кривая IS) является линейно-убывающей функцией r и, следовательно, при фиксированном значении r имеется единственное равновесное значение Y ^G (r).

     Рассмотрим  теперь равновесие на рынке денег в предположении, что спрос на облигации  Lq(r) линеен: 

                                       Lq (r) = h – j*r.                                      (1.14)

     Условие равновесия (1.7) при этом запишется в следующем виде:

                            

.                                  (1.15)

     Таким образом, кривая равновесия на рынке  денег (кривая LM) является возрастающей линейной функцией r, следовательно, при фиксированном r имеется единственное равновесное значение Y ^M (r).

     Общее равновесие на рынках денег и товаров достигается в том случае, когда:

                                              Y^G (r₀ ) = Y ^M (r₀) = Y₀,                          (1.16)

     причём  точка равновесия (Y₀, r₀), т.е. точка пересечения кривых IS и LM единственна. Общая картина равновесия может быть представлена графически. При этом в первом квадрате изображены кривые IS и LM, а в четвёртом квадрате производственная функция экономики ПФ как функция трудовых ресурсов, в третьем - кривые спроса L^D и предложения L^S на рабочую силу.

     

     Рис. 1.

     На  рис. 1. приняты следующие обозначения:

     - r₀, Y₀, L₀, (w/p)₀, (w/p)_n – соответственно, процентная ставка, конечный продукт, занятость, максимальный и минимальный уровни реальной заработной платы при неполной занятости;

     - r⁰, Y⁰, L⁰, (w/p)⁰ – соответственно, процентная ставка, конечный продукт, занятость, уровень реальной заработной платы при полной занятости.

     Причинные связи направлены от рынков товаров  и денег к рынку рабочей  силы через производственную функцию. Причём рынок труда не является определенным. Совокупное равновесие на рынках денег и товаров однозначно определяет фактическую потребность в рабочей силе Y₀= F(K, L₀) и, если классическая модель предполагает автоматическую тенденцию к полной занятости, то в модели Кейнса таковой нет.

     Действительно, пусть равновесие установилось при занятости L₀ < L⁰. Тогда, для того чтобы добиться полной занятости L⁰, надо увеличить выпуск продукции до Y⁰ = F(K, L⁰), что потребовало бы сместить кривую LM в положение LM⁰ . Как это видно из (1.15), такое смещение можно обеспечить при экзогенно заданном предложении денег M^S и фиксированных коэффициентах k и h только путём снижения цен р, но никакого механизма снижения цен при фиксированной ставке заработной платы w₀ в модели Кейнса не заложено. Следовательно, для перехода к полной занятости нужна специальная государственная политика.

     И ещё одна особенность: уровень планируемых  расходов Е бывает настолько высок, что производство Y не может достигнуть этого уровня. Это происходит тогда, когда точка пересечения кривых IS и LM имеет отрицательное значение нормы процента.

     В кейнсианских моделях состояние  равновесия не предполагает полной занятости, выпуск продукта определяется спросом  на него, а занятость определяется уровнем выпуска. Все эти предположения явно или неявно отражают тот факт, что кейнсианские модели – это модели краткосрочные, при этом имеется в виду, что уровень цен и номинальной заработной платы на краткосрочном промежутке не меняется. Как свидетельствует опыт России и других стран, иногда оправдывался подход Кейнса. При малой и контролируемой государством инфляции действует кейнсианский подход.

 

Задача 1. Регрессионные модели

     Построить однофакторное уравнение линейной регрессии зависимости. Найти коэффициент эластичности (Э). Дать экономическую интерпретацию коэффициентам регрессии (a₁, a₀) и коэффициенту эластичности.  Выполнить геометрическое построение.

 

 

     

     

     

     

     

     Уравнение регрессии линейное (т.к. переменная x одна) однофакторное (т.к. нет квадрата).

     Если  X увеличить на единицу, то Y увеличиться на 1,284 (а₁).

     Коэффициент эластичности показывает насколько  измениться результат, если фактор изменить на 1%.

     

     Стремление  коэффициента эластичности к 1 показывает, что связь между X и  Y сильная.

     Построим  график регрессии.

     

 

Задача  2. Оптимизационные модели

 

     Некоторая фирма выпускает два набора удобрений  для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный - 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость? Решить задачу геометрическим методом.

 

     

     

1. Построим  допустимую многоугольную область, для этого каждое из неравенств превратим  в равенство и проведем соответствующую  прямую на координатной плоскости.

После этого возьмем одну из точек по одну сторону от прямой и поставим ее в неравенство. Если неравенство выполняется, то штрихуем в сторону этой точки, иначе в противоположную.

1.   
2.   
3.    

2. Чтобы построить линию целевой функции, нужно построить вектор с координатами, равными значению эффективной покупки и провести график целевой функции перпендикулярно этому вектору.

т. А  при движении прямой z₁ в направлении вектора n пересечена первой (т.к. стремиться к min).

3. Уточним координаты т. А. Данная точка лежит на пересечении  прямых

т. А (2; 2)

4.   Функция минимизации прибыли  и эффективного выбора удобрения для питания почвы при найденных значениях составляет:

 

Задача 3. Транспортная задача

 

     Необходимо  решить транспортную задачу – минимизировать расходы на доставку продукции заказчиков со складов фирмы, учитывая следующие  затраты на доставку одной единицы  продукции, объем заказа и количество продукции, хранящейся на каждом складе. При решении использовать  метод «северо–западного» угла и метод минимального элемента и сравнить полученные результаты: 

 

1. Решение методом  «северо-западного» угла:

Функция затрат F = 12*100 + 14*45 + 32*17 + 12*33 + 24*51 + 24*19 + 8*30 = 4690

2. Решение методом минимального элемента:

Функция затрат F = 14*12 + 32*50 + 20*70 + 3*30 + 8*51 + 10*33 + 6*49 = 4290

Методом «северо-западного» угла не учитывает стоимость доставки, т.е. методом удовлетворяется спрос и предложение. Второй метод более предпочтителен, он учитывает стоимость доставки, но он также является не окончательным.

 

Задача 4. Модели управления запасами

 

     Завод по изготовлению детских игрушек  «Гном» заключил договор на ежемесячную  поставку мягких игрушек для торговой сети «Буратино».Объем договора: 8000 единиц в год. Стоимость хранения  1 единицы в день стоит 0,1 коп. Стоимость доставки 1 партии товара составляет 2000 руб. Определить оптимальный размер партии, оптимальный период, минимум ожидаемых суммарных накладных расходов (модель без дефицита). А также, найти эти параметры, если штраф за 1 единицу составляет 0,1 руб. в неделю. (Примечание: приведите временные интервалы к одному наименованию). 

     Решение:

     Известно, что 

     R = 8000 шт/год – полный спрос за время Т

     T = 12 мес. – период времени, для которого ищется оптимальная стратегия

     С₁ = 0,03 руб. – стоимость хранения единицы продукции в месяц (т.к. 0,1*30 = 3 коп./мес.)

     С₂ = 0,42 руб. – штраф за нехватку одной единицы продукции в месяц (т.к. 0,1*4,2 = 0,42 руб/мес.)

     С_s = 2000 руб. – общая стоимость заказа при покупке или производстве 

Найдем  оптимальный размер партии (модель без дефицита):

       

Оптимальный размер партии с учетом штрафа:

Найдем оптимальный  период (модель без дефицита):

Оптимальный период с учетом штрафа:

Найдем минимум  ожидаемых суммарных накладных  расходов (модель без дефицита):

 

Минимум ожидаемых суммарных накладных  расходов  с учетом штрафа:

 

Задача 5. Игровые модели

 

Игра с природой задана платежной матрицей:

 

Определить  лучшую стратегию по критерию Гурвица  с коэффициентом р=0,4

      

     Решение:

     Если  вторая сторона является природой (несознательным игроком), то в этом случае составляется матрица выигрышей и матрица  рисков.

     Матрица выигрышей:

     

1. Критерий  макси-макса – крайний оптимизм (ищется по матрице А)

2. Критерий  макси-минный – критерий Вальда

3. Критерий  оптимизма-пессимизма Гурвица, используется с учетом коэффициента p.

А значит, лучшая стратегия  по критерию Гурвица – стратегия А_4.

Матрица рисков:

Критерий мини-максного риска – критерий Севиджа

, лучшая стратегия А₃