Контрольная работа по "Математике". 55

КОНТРОЛЬНА РОБОТА (ЗАОЧНА ФОРМА  НАВЧАННЯ)

Номер варіанта обирається за двома останніми цифрами залікової книжки.

Наприклад, номер залікової книжки 10589. Останні цифри – 89. В завданні 20 варіантів. Розділимо 89 на 20 і візьмемо остачу від ділення: 89/20=4 (остача 9). Ваш варіант буде 9.

 

ЗАДАЧА 1. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь - метод Зейделя.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Система лінійних алгебраїчних рівнянь із n-невідомими має вигляд:

,

(1)

або в компактному вигляді                                                        (2)

В матричній формі запишемо систему так:

,                                                                (3)

де  - матриця коефіцієнтів системи; - вектор вільних членів; - вектор невідомих.

Система (1) буде мати єдиний розв’язок, якщо матриця А не вироджена, тобто .

Ітераційні методи використовують зазвичай для систем великої вимірності ( ), коли використання прямих методів є недоцільним через необхідність виконувати занадто велику кількість арифметичних операцій.

Для розв’язування  СЛАР ітераційними методами необхідно систему (1) перетворити до вигляду:

,

(4)

або . Така система називається приведеною, її можна отримати, наприклад, якщо кожне i-рівняння системи (1) розв’язати відносно змінної . Тоді:

          (5)

Всі ітераційні методи знаходять наближений розв’язок  у вигляді послідовності наближень (ітерацій):

які отримуються з системи рівнянь (4). При побудові ітерацій постають питання про початок і кінець процесу обчислень.

Будь який ітераційний  процес починається з того, що задається початкове наближення:

.

Як правило припускають, що

, або  .                                                         (6)

Так як наближений розв’язок шукається з наперед  заданою точністю e, то послідовність повинна мати скінчену кількість членів, які отримуються за скінчену кількість ітерацій.

Найпростіша умова  закінчення ітераційного процесу:

.                                                          (7)

Тобто, обчислення продовжують до тих пір, доки абсолютна величина різниці між попереднім й наступним наближеннями не стане менше деякої наперед заданої точності e:

Для дослідження  збіжності ітераційного процесу  користуються теоремою про достатню умову збіжності:

Якщо для приведеної системи (2) будь-яка канонічна норма матриці a менше одиниці:

• ;(найбільша сума модулів елементів матриці в рядках)
• ;(найбільша сума модулів елементів матриці в стовпцях)
• , (корінь з суми квадратів всіх елементів)                            (8)

то ітераційний процес збігається до єдиного розв’язку цієї системи, незалежно від вибору початкового наближення.

Ця умова  по відношенню до матриці А системи (1) набуває такого змісту: процес ітерації буде збіжним, якщо модулі діагональних елементів матриці А будуть більші за суму модулів її сторонніх елементів:

.                                         (9)

До такого вигляду систему (1) можна привести, застосовуючи правила лінійного  комбінування.

Метод простої ітерації. Кожне наступне наближення і-ой невідомої , і=1,2,…,n визначається за допомогою системи рівнянь (4), в яких всі доданки правої частини беруться з попередній s-ітерації:

               (10)

Або система (10) в компактній формі:

(11)

Метод Зейделя являє собою деяку модифікацію метода простої ітерації. А саме, при обчисленні (s+1)-ого наближення невідомої враховуються вже обчислені раніше значення невідомих на поточній ітерації :

               (12)

або

(13)

ЗАВДАННЯ

Знайти  розв’язок системи методами простої ітерації (для непарних варіантів) та Зейделя (для парних варантів) з точністю 0,01. Перевірити виконання умови збіжності ітераційного процесу.

№	Метод простої ітерації	№	Метод Зейделя
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

Розв’яжемо приведену систему методами простої ітерації та Зейделя.

Метод простої ітерації

Сформуємо матрицю коефіцієнтів при невідомих – α; вектор вільних  членів –β:

x1	x2	x3	x4	β
0,32	-0,05	0,11	-0,08	2,15
0,11	0,16	-0,28	-0,06	-0,83
0,08	-0,15	0	0,12	1,16
-0,21	0,13	-0,27	0	0,44

Перевіримо  виконання умови збіжності ітераційного процесу. Знайдемо всі три норми  матриці α.

	x1	x2	x3	x4	Σ рядки
	0,32	-0,05	0,11	-0,08	0,56
	0,11	0,16	-0,28	-0,06	0,61
	0,08	-0,15	0	0,12	0,35
	-0,21	0,13	-0,27	0	0,61
Σ стовпці	0,72	0,49	0,66	0,26	0,4203
	І норма=	0,61	< 1
	ІІ норма=	0,72	< 1
	ІІІ норма=	0,648305	< 1

Умова збіжності виконується, ітераційний процес буде збіжний.

Задамося  початковим наближенням розвязку:

Крок 0	x1	x2	x3	x4
	2,15	-0,83	1,16	0,44

Щоб знайти перше наближення, підставимо початкове  в праву частину нашої системи, обчислюємо точність розрахунків.

	x1	x2	x3	x4	β		X	ε
x1=	0,32	-0,05	0,11	-0,08	2,15	=	2,9719	0,8219	>0,05
x2=	0,11	0,16	-0,28	-0,06	-0,83	=	-1,0775	0,2475	>0,05
x3=	0,08	-0,15	0	0,12	1,16	=	1,5093	0,3493	>0,05
x4=	-0,21	0,13	-0,27	0	0,44	=	-0,4326	0,8726	>0,05
Крок 1	x1	x2	x3	x4
	2,9719	-1,0775	1,5093	-0,4326

Точність  не задовольняється, тому зробимо ще кроки:

		x1	x2	x3	x4	β		Х	ε
	x1=	0,32	-0,05	0,11	-0,08	2,15	=	3,35551	0,38361	>0,05
	x2=	0,11	0,16	-0,28	-0,06	-0,83	=	-1,07214	0,00536
	x3=	0,08	-0,15	0	0,12	1,16	=	1,50746	0,00183
	x4=	-0,21	0,13	-0,27	0	0,44	=	-0,73169	0,29908	>0,05
	Крок 2	x1	x2	x3	x4
		3,355514	-1,07214	1,507465	-0,73169
		x1	x2	x3	x4	β		Х	ε
	x1=	0,32	-0,05	0,11	-0,08	2,15	=	3,50172	0,14621	>0,05
	x2=	0,11	0,16	-0,28	-0,06	-0,83	=	-1,01062	0,06151	>0,05
	x3=	0,08	-0,15	0	0,12	1,16	=	1,50146	0,00600
	x4=	-0,21	0,13	-0,27	0	0,44	=	-0,81105	0,07936	>0,05
	Крок 3	x1	x2	x3	x4
		3,501727	-1,01062	1,50146	-0,81105
		x1	x2	x3	x4	β		Х	ε
	x1=	0,32	-0,05	0,11	-0,08	2,15	=	3,55112	0,04940	<0,05
	x2=	0,11	0,16	-0,28	-0,06	-0,83	=	-0,97826	0,03236	<0,05
	x3=	0,08	-0,15	0	0,12	1,16	=	1,49440	0,00705	<0,05
	x4=	-0,21	0,13	-0,27	0	0,44	=	-0,83214	0,02108	<0,05
	Крок 4	x1	x2	x3	x4
		3,55112	-0,97826	1,49440	-0,83214
Відповідь		x1	x2	x3	x4
		3,55112	-0,97826	1,49440	-0,83214

 

Метод Зейделя

Початкове наближення розв’язку буде таким  же.

Крок 0	x1	x2	x3	x4
	2,15	-0,83	1,16	0,44

Знайдемо перше наближення. Невідому х₁ обчислюємо також, як і в попередньому методі. Для невідомої х₂ враховуємо вже отримане перше наближення х₁ ; для невідомої х₃ – перші наближення х₁ та х₂; для невідомої х₄ – перші наближення х₁, х₂ та х₃.

	x1	x2	x3	x4	β		X	ε
x1=	0,32	-0,05	0,11	-0,08	2,15	=	2,9719	0,8219	>0,05
x2=	0,11	0,16	-0,28	-0,06	-0,83	=	-0,98709	0,157091	>0,05
x3=	0,08	-0,15	0	0,12	1,16	=	1,598616	0,438616	>0,05
x4=	-0,21	0,13	-0,27	0	0,44	=	-0,74405	1,184047	>0,05
Крок 1	x1	x2	x3	x4
	2,9719	-0,98709	1,598616	-0,74405

Точність  не задовольняється, тому зробимо ще кроки:

	x1	x2	x3	x4	β		Х	ε
x1=	0,32	-0,05	0,11	-0,08	2,15	=	3,513287	0,127553	>0,05
x2=	0,11	0,16	-0,28	-0,06	-0,83	=	-0,9765	0,041976
x3=	0,08	-0,15	0	0,12	1,16	=	1,490712	0,003632
x4=	-0,21	0,13	-0,27	0	0,44	=	-0,82723	0,020349
Крок 2	x1	x2	x3	x4
	3,513287	-0,9765	1,490712	-0,82723
	x1	x2	x3	x4	β		Х	ε
x1=	0,32	-0,05	0,11	-0,08	2,15	=	3,553233	0,039946	<0,05
x2=	0,11	0,16	-0,28	-0,06	-0,83	=	-0,96315	0,013348	<0,05
x3=	0,08	-0,15	0	0,12	1,16	=	1,489464	0,001248	<0,05
x4=	-0,21	0,13	-0,27	0	0,44	=	-0,83354	0,006316	<0,05
Крок 3	x1	x2	x3	x4
	3,553233	-0,96315	1,489464	-0,83354
Відповідь	x1	x2	x3	x4
	3,553233	-0,96315	1,489464	-0,83354

 

ЗАДАЧА 2: Інтерполяція функцій. Поліном Лагранжа і Ньютона.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Інтерполяцію  функцій застосовують, коли деяка функція задана таблично скінченою множиною x: і потрібно визначити значення для проміжних значень аргументу - . В цьому разі будують функцію (достатньо просту для обчислень), яка в точках набуває значення . В інших точках наближено представляє функцію з тою чи іншою точністю (рис. 1).

Точки називають вузлами інтерполяції, функцію - інтерполюючою функцією, а задачу побудови - задачею інтерполяції.

Зазначені вище властивості інтерполюючої функції має поліном Лагранжа:

.

Поліном Лагранжа незручний у використанні тим, що при зміні кількості вузлів інтерполяції n, його треба будувати знову.

Інтерполяційний поліном Ньютона не має цього недоліку. При зміні степеня n необхідно лише тільки додати або відкинути відповідну кількість стандартних доданків:

Тут - розділена різниця першого порядку;

- розділена різниця другого порядку;

- розділена різниця n-ого порядку.

ЗАВДАННЯ

Використовуючи  інтерполяційні поліноми Лагранжа (непарні варіанти) й Ньютона (парні варіанти), знайти наближене значення функції у точці .

1.	x	1.0	1.7	2.0	2.2	2.6	2.8
	y	0.1	0.53	0.79	-2.1	-3.2

 

 

2.	x	4.5	5.4	6.8	9.5	10.1	5.7
	y	1.5	1.68	3.2	8.4	9.8

 

 

3.	x	2.0	2.3	2.5	3.0	3.7	2.7
	y	5.8	6.12	6.3	6.7	7.05

 

 

4.	x	-2.0	1.0	2.0	4.0	5.0	3.0
	y	25	-8	15	-23	-27

 

 

5.	x	3.2	3.6	5.8	5.9	6.2	4.0
	y	5.3	6.0	2.4	-1.0	-3.2
6.	x	1.0	2.0	2.5	3.0	3.5	1.8
	y	-6.0	-1.0	5.6	16.0	18.0

 

 

7.	x	10	15	16	17	20	18
	y	3	7	10	17	19

 

 

8.	x	6.0	7.2	8.4	9.9	10.3	9
	y	-9.1	-8.3	-2.4	1.2	3.4

 

 

9.	x	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0	5.5
	y	6.0	7.0	8.0	9.0	10.0

 

 

10.	x	1.5	1.54	1.6	1.63	1.72	1.52
	y	3.87	3.92	3.95	4.0	4.21

 

 

11.	x	0	1	2	3	4	5
	y	1	-3	25	129	381

 

 

12.	x	14	18	31	35	38	30
	y	68	64	44	39	32

 

 

13.	x	2.0	2.2	2.5	3.0	3.3	2.4
	y	1.41	1.48	1.59	1.79	1.82

 

 

14.	x	0.0	0.25	1.25	2.12	3.25	1.2
	y	2.0	1.6	2.32	2.02	2.83

 

 

15.	x	0.0	0.5	1.4	2.25	3.5	1.45
	y	2.0	1.7	2.36	2.33	3.17

 

 

16.	x	0.0	0.75	1.6	2.36	3.75	2.6
	y	3.0	2.8	3.7	3.5	4.0

 

 

17.	x	0.0	1.0	1.8	2.5	4.0	2.0
	y	3.0	2.9	3.6	3.8	4.3

 

 

18.	x	-0.25	0.0	1.0	2.1	3.0	1.5
	y	4.0	3.6	4.56	4.02	3.83

 

 

19.	x	-0.5	0.25	1.1	1.88	3.25	2.5
	y	5.0	4.8	5.7	5.5	5.0

 

 

20.	x	-2.5	-1.5	-0.7	0.0	1.5	1.2
	y	6.0	5.9	6.9	6.7	5.83

 

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

Функція задана таблично.

x	-1.0	-0.2	1.8	2.7	4.0	2.0
y	5.0	4.6	5.7	5.2	4.3

 

Сформуємо таблицю значень вузлів та функції:

i	0	1	2	3	4
Xi	-1	-0,2	1,8	2,7	4		x~=	2
Yi	5	4,6	5,7	5,2	4,3

Поліном Лагранжа

Побудуємо інтерполяційний поліном  Лагранжа. Для зручності обчислень  сформуємо таблицю:

					D

Тут - добуток елементів і-ого рядка. D – добуток діагональних елементів.

Тоді значення полінома можна обчислити так: _.

	0	1	2	3	4	∏i			Yi/∏i
0	3	-0,8	-2,8	-3,7	-5	124,32			0,040219
1	0,8	2,2	-2	-2,9	-4,2	-42,8736			-0,10729
2	2,8	2	0,2	-0,9	-2,2	2,2176			2,570346
3	3,7	2,9	0,9	-0,7	-1,3	8,78787			0,591725
4	5	4,2	2,2	1,3	-2	-120,12			-0,0358
					D	1,848		∑=	3,0592
	L(2,0)=	5,653402