Контрольная работа по "Математике". 111

Задание 1 

    Экспедиция  издательства отправляет газеты в три  почтовых отделения. Известно, что в  первое отделение газеты доставляются своевременно в среднем в (92 + (К + М)(mod6))%  всех случаев, во второе – (85 + (К + М)(mod6))%, в третье – (95 – (К + М)(mod6))%. Найти вероятность того, что из трех почтовых отделений:

    а) только одно получит газеты вовремя;  b) два получат газеты вовремя;

    с) не менее двух получат газеты вовремя;  d) хотя бы одно получит газеты вовремя;

    е) все отделения либо получат газеты вовремя, либо нет. 

    Решение:

    Рассмотрим  события:

    A – в 1 отделение газеты будут доставлены вовремя;

    B – в 2 отделение газеты будут доставлены вовремя;

    C – в 3 отделение газеты будут доставлены вовремя.

    Тогда 

 

    a) событие F₁ – только одно из почтовых отделений получит газеты вовремя

    F₁ = A× × + ×B× + × ×C

    P(F₁)=P(A)×P( )×P( )+P( )×P(B)×P( )+P( )×P( )×P(C)=0,93×0,14×0,04+0,07×0,86×0,04+

    +0,07×0,14×0,96=0,017

    b) событие F₂ – два из почтовых отделений получит газеты вовремя

    F₂ = A×B× + A× ×C + ×B×C

    P(F₂)=P(A)×P(B)×P( )+P(A)×P( )×P(C)+P( )×P(B)×P(C)=0,93×0,86×0,04+0,93×0,14×0,96+

    +0,07×0,86×0,96=0,2148

    с) событие F₃ – не менее 2 почтовых отделений получит газеты вовремя (2 или 3)

    F₃ = A×B× + A× ×C + ×B×C + A×B×C = F₂ + A×B×C

    P(F₃)=P(F₂)+P(A)×P(B)×P(C)=0,2148+0,93×0,86×0,96=0,9826

    d) событие F₄ – хотя бы одно почтовое отделение получит газеты вовремя

    P(F₄)=1-P( )=1-P( )×P( )×P( )=1-0,07×0,14×0,04=0,9996

    e) событие F₅ – все отделения либо получат газеты вовремя, либо нет

    F₅ = А×В×С + × ×

    P(F₅)=P(А)×P(В)×P(С)+P( )×P( )×P( )=0,93×0,86×0,96+0,07×0,14×0,04=0,7682 
 

Задание 2 

    В ящике  15 + (К + М)(mod6) теннисных мячей, из которых 10 + (К + М)(mod6) новых. Для первой игры наудачу берут три мяча, которые  после игры возвращают в ящик. Для  второй игры также наудачу берут  из ящика три мяча.

1. Определить вероятность того, что все три мяча, взятые для второй игры, будут новыми.
2. Из взятых для второй игры трех мячей один оказался не новым. Сколько новых мячей вероятнее всего было взято для первой игры?

 

    Решение:

    Всего теннисных мячей 16, из них 11 новых.

    1) Рассмотрим события:

    H₁ – для первой игры не было взято новых мячей

    H₂ – для первой игры был взят 1 новый мяч

    H₃ – для первой игры было взято 2 новых мяча

    H₄ – для первой игры были взяты все новые мячи (все 3)

    F – все три мяча, взятые для второй игры, будут новыми.

    Тогда 

 

    События H_i образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности получим:

     =

    2) Рассмотрим событие F – из взятых для второй игры трех мячей один оказался не новым при тех же гипотезах, тогда 

 

    Т.к. один из взятых для второй игры трех мячей оказался не новым, т.е. событие  F произошло, то вероятности гипотез определим по формуле Байеса

    

     =

    

    

    

    

    Таким образом, вероятнее всего в первый раз взяли 2 новых мяча. 

Задание 3 

    По  результатам проверок налоговыми инспекциями  установлено, что в среднем каждое 4 + (К + М)(mod4)-е малое предприятие  города  N  нарушает финансовую дисциплину.

1. Какова вероятность того, что из ста малых предприятий города  N  нарушения финансовой дисциплины будут иметь:

а) 5 · (5 – (К + М)(mod4));  b) не менее 4 · (5 – (К + М)(mod4));

с) не более 6 · (5 – (К + М)(mod4)); d) не менее 4 · (5 – (К + М)(mod4)), но не более 6 · (5 – (К + М)(mod4)) предприятий. 

    Решение:

    1)

    n=100 p=1/5=0,2 q=1-p=1-0,2=0,8

    Значение  n=100 достаточно велико, поэтому для расчетов воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа:

    a) нарушения финансовой дисциплины будут иметь 20 малых предприятий:

     , где  , а j(x) – локальная функция Лапласа

    

    По  таблице находим, что j(0)=0,3989, Þ

    b) нарушения финансовой дисциплины будут иметь не менее 16 малых предприятий, т.е. от 16 до 100:

    P_n(k₁;k₂)»Ф(x₂)-Ф(x₁), где и , а Ф(x) - интегральная функция Лапласа

     ,

    По  таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-1)=-0,3413, а Ф(20)=0,5, Þ

    P₁₀₀(16;100)»0,5+0,3413=0,8413

    c) нарушения финансовой дисциплины будут иметь не более 24 малых предприятий, т.е. от 0 до 24:

     ,

    По  таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-5)=-0,5, а Ф(1)=0,3413, Þ

    P₁₀₀(0;24)»0,3413+0,5=0,8413

    d) нарушения финансовой дисциплины будут иметь не менее 16, но не более 24 малых предприятий:

     ,

    По  таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-1)=-0,3413, а Ф(1)=0,3413, Þ

    P₁₀₀(16;24)»0,3413+0,3413=0,6826 

 

Задание 4 

    Охотник, имеющий четыре патрона, стреляет по цели до тех пор, пока не попадет  или не израсходует все патроны. Известно, что в цель данного вида он попадает в среднем  5 + (К + М)(mod4)  раз из десяти выстрелов. Рассматривается  случайная величина (с.в.) – число израсходованных охотником патронов.

    Составить ряд распределения с.в. и представить его графически.

    Найти функцию распределения с.в. и построить её график.

    Вычислить математическое ожидание (среднее значение)  М , дисперсию D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ( ).

    Определить  вероятности:  а)  Р ;  b)  Р ;  c)  Р  

    Решение:

    1) Определим возможные значения  случайной величины Х и их  вероятности:

    Х=1: P₁=0,6

    Х=2: P₂=0,4×0,6=0,24

    Х=3: P₃=0,4²×0,6=0,096

    Х=4: P₄=0,4³=0,064

    Проверка:

    0,6+0,24+0,096+0,064=1

    Запишем ряд распределения 

 

    Изобразим ряд распределения графически в  виде полигона 

 

    2) Составим функцию распределения:

    

    Построим  график функции распределения 

 

    3) Математическое ожидание и дисперсия  находятся по формуле:

    

    

    D(X)=3,448-1,624²=0,8106

    

    4) Найдем требуемые вероятности:

    Р(X<MX)=Р(X<1,624)=F(1,624)=0,6

    Р(X³MX+1)=1–Р(X<2,624)=1–0,84=0,16

     =P(0,7237<X<2,5243)=0,84–0=0,84 

Задание 5 

    При исследовании некоторого непрерывного признака экспериментатор предположил, что этот признак подчиняется закону распределения с плотностью

1. При каком  значении С экспериментатор будет прав? Построить график плотности распределения.
2. Найти функцию распределения с.в. и построить её график.
3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение)  М , дисперсию D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ( ).
4. Во сколько раз число опытов, в которых экспериментатор будет получать результат меньше среднего значения, превышает число опытов, в которых результат будет больше среднего значения?

 

    Решение:

      

    1) Для нахождения постоянной C воспользуемся свойством плотности распределения:

    

      

    Построим  график плотности распределения 

 

    2) Найдем функцию распределения

    а) если x<0, то F(x)=0, т.к. значений, меньших 0, случайная величина не принимает.

    б) если 0£x<15, то

    

    в) если 15£x<17, то

    

    г) если x>15, то

      в силу свойства плотности  распределения 

    Окончательно  получим:

    

    Построим  график F(x): 

 

    3) математическое ожидание вычисляется  по формуле

    

    

    Дисперсия вычисляется по формуле:

     , где 

    

    DX=215,889-14,417²=8,0486

    Среднее квадратическое отклонение равно:

    4)

    Р(X<MX)=Р(X<14,417)=F(14,417)=

    Р(X³MX)=1–Р(X<MX)=1–0,2959=0,7041

    Тогда число опытов, в которых результат  будет меньше среднего значения, превосходит  число опытов, в которых результат  будет больше среднего значения, в 0,2959/0,7041=0,42 раза. 

Задание 6 

    Выборка из большой партии микросхем нового типа содержит 25 микросхем. Время непрерывной  работы до выхода из строя для этих микросхем оказалось равным (в  сутках):

    37.48, 36.72, 36.75, 37.64, 35.41, 36.28, 36.36, 36.96, 37.29, 36.53, 36.55, 35.75, 36.47, 35.91, 34.90, 34.45, 34.40, 35.86, 37.30, 36.08, 35.63, 35.02, 35.19, 36.16, 33.93

    Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип  (дискретный или непрерывный).
2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.
3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.
4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,01.
6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.
7. С надежностью  0,99  проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 36С;

б) генеральной  дисперсии значению  С 2, где   С = 1 + (К + М)/100. 

    Решение:

    Значения  выборки в соответствии с вариантом  задания

 

    1. Тип признака – непрерывный, т.к. случайная величина может принимать любые значения из некоторого интервала.

    2. Построим гистограмму относительных  частот. Определим количество интервалов:

    k=1+1,44×ln n, где n - количество значений, а k - количество интервалов.

    В данном случае имеется 25 значений, поэтому  количество интервалов равно:

    k=1+1,44×ln 25 » 5,6. Примем количество интервалов равным 5.

    Определим величину одного интервала:

    

    Определим относительные частоты для каждого  интервала. Расчеты удобно провести в таблице 

 

    Построим  гистограмму 

 

    3. На основе визуального анализа  можно выдвинуть гипотезу о  распределении признака по нормальному  закону. 

    4. Определим выборочные характеристики  изучаемого признака.

    а) выборочное среднее:

      

    б) выборочная дисперсия:

      

    в) выборочное среднее квадратическое отклонение

      

    5. Проверим гипотезу о соответствии  выборочных данных нормальному  распределению.

    Определим концы интервалов по формуле  , для чего составим таблицу 

 

    Найдем  теоретические вероятности p_i и теоретические частоты . Результаты расчетов запишем в таблицу