Контрольная работа по "Математике". 151

Министерство образования Российской Федерации Чайковский технологический институт Ижевского государственного технического университета                                       Типовой расчет по дисциплине: Вычислительная математика         Вариант 30                   Выполнил: студент гр. АСОИиУ1-02                                                                                          Мищихин Е.А.                                                                                             Проверил: доцент                                                                                                                Морозова А.Р.               г. Чайковский 2004 г.

Содержание:

1. Приближенное решение уравнения f(x)=0 методом деления пополам………………3
2. Метод простых итераций решения уравнения f(x)=0…………………………………5
3. Приближенное решение уравнения f(x)=0 методом Ньютона………………………..7
4. Вычисление корней многочлена………………………………………………………..8
5. Решение линейной системы методом простых итераций…………………………….9
6. Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона………………………11
7. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса…………………………....13
8. Решение системы линейных уравнений методом простых итераций………………15

14. Численное интегрирование…………………………………………………………….17

24. Приближенное решение задачи  Коши методом Эйлера……………………………..19

25. Приближенное решение задачи  Коши методом Рунге-Кутта……………………….20

27. Приближенное решение задачи  Коши методом Адамса-Башфорта………………...22

50. Аппроксимация функции по  методу наименьших квадратов……………………….24

Приложения…………………………………………………………………………………26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Приближенное  решение уравнения f(x)=0 методом деления пополам

(метод  биссекции)

Теория:

               Пусть требуется решить уравнение f(x)=0. Предположим, что корень уравнения отделен и лежит на интервале [a; b].

             Выбираем точку с, лежащую внутри интервала: середину интервала

Вычисляем значение f(с). В качестве нового интервала изоляции мы примем ту из двух половинок интервала [a; b], на концах которой функция имеет разные знаки. Таким путем можно как угодно сузить участок, на котором находится корень.

 

Решение:

График функции f(x) (рис.1)

 

i	a	b	c	f(a)	f(b)	f(c)
1	-1,00000	1,00000	0,00000	1,00000	-1,00000	1,57080
2	0,00000	1,00000	0,50000	1,57080	-1,00000	1,19312
3	0,50000	1,00000	0,75000	1,19312	-1,00000	0,55151
4	0,75000	1,00000	0,87500	0,55151	-1,00000	0,02886
5	0,87500	1,00000	0,93750	0,02886	-1,00000	-0,32674
6	0,87500	0,93750	0,90625	0,02886	-0,32674	-0,13716
7	0,87500	0,90625	0,89063	0,02886	-0,13716	-0,05173
8	0,87500	0,89063	0,88281	0,02886	-0,05173	-0,01087
9	0,87500	0,88281	0,87891	0,02886	-0,01087	0,00913
10	0,87891	0,88281	0,88086	0,00913	-0,01087	-0,00084
11	0,87891	0,88086	0,87988	0,00913	-0,00084	0,00416
12	0,87988	0,88086	0,88037	0,00416	-0,00084	0,00166
13	0,88037	0,88086	0,88062	0,00166	-0,00084	0,00041
14	0,88062	0,88086	0,88074	0,00041	-0,00084	-0,00021
15	0,88062	0,88074	0,88068	0,00041	-0,00021	0,00010
16	0,88068	0,88074	0,88071	0,00010	-0,00021	-0,00005
17	0,88068	0,88071	0,88069	0,00010	-0,00005	0,00002
18	0,88069	0,88071	0,88070	0,00002	-0,00005	-0,00002
19	0,88069	0,88070	0,88070	0,00002	-0,00002	0,00000
20	0,88070	0,88070	0,88070	0,00000	-0,00002	-0,00001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (-1) =0+1=1;

F (1) =0-1=-1;

 

2. Метод  простых итераций решения уравнения f(x)=0.

 

Теория:

Пусть требуется  решить уравнение f(x)=0. Предположим, что корень отделен и лежит на интервале [a;b].

Каким-то образом  выразим  .

Пусть - нулевое приближение. Для получения следующего приближения в правую часть уравнения вместо x подставим :

Следующие приближения  получаются аналогично:

,

,

………………

………………

Если последовательность имеет предел, то этот предел будет являться корнем уравнения.

Одно из значений с достаточно большим номером можно принять за приближенное значение корня. Однако может случиться, что последовательность не имеет предела, и тогда метод итераций не приводит к цели. Если последовательность этих приближений сходиться, то есть имеет некоторое предельное значение, то этот предел и будет являться корнем данного уравнения.

Если последовательность расходиться, то данное уравнение не имеет решения.

Также должно выполняться условие  .

Решение:

График функции f(x)(рис.1)

x	F(x)
0,00000	1,00000	-1,00000
1,00000	0,73505	0,26495
0,73505	0,96030	-0,22524
0,96030	0,79553	0,16477
0,79553	0,93591	-0,14038
0,93591	0,82607	0,10984
0,82607	0,91940	-0,09333
0,91940	0,84434	0,07505
0,84434	0,90788	-0,06353
0,90788	0,85606	0,05181
0,85606	0,89977	-0,04370
0,89977	0,86384	0,03593
0,86384	0,89405	-0,03021
0,89405	0,86909	0,02496
0,86909	0,89004	-0,02094

 

 

 

0,89004	0,87268	0,01735
0,87268	0,88722	-0,01453
0,88722	0,87515	0,01207
0,87515	0,88524	-0,01009
0,88524	0,87685	0,00839
0,87685	0,88387	-0,00701
0,88387	0,87803	0,00584
0,87803	0,88290	-0,00487
0,88290	0,87884	0,00406
0,87884	0,88223	-0,00339
0,88223	0,87941	0,00282
0,87941	0,88176	-0,00236
0,88176	0,87980	0,00196
0,87980	0,88144	-0,00164
0,88144	0,88007	0,00136
0,88007	0,88121	-0,00114
0,88121	0,88026	0,00095
0,88026	0,88106	-0,00079
0,88106	0,88040	0,00066
0,88040	0,88095	-0,00055
0,88095	0,88049	0,00046
0,88049	0,88087	-0,00038
0,88087	0,88055	0,00032
0,88055	0,88082	-0,00027
0,88082	0,88060	0,00022
0,88060	0,88078	-0,00018
0,88078	0,88063	0,00015
0,88063	0,88075	-0,00013
0,88075	0,88065	0,00011
0,88065	0,88074	-0,00009
0,88074	0,88066	0,00007
0,88066	0,88072	-0,00006
0,88072	0,88067	0,00005
0,88067	0,88072	-0,00004
0,88072	0,88068	0,00004
0,88068	0,88071	-0,00003
0,88071	0,88068	0,00003
0,88068	0,88071	-0,00002
0,88071	0,88069	0,00002
0,88069	0,88070	-0,00001
0,88070	0,88069	0,00001
0,88069	0,88070	-0,00001
0,88070	0,88069	0,00001
0,88069	0,88070	-0,00001
0,88070	0,88069	0,00001
0,88069	0,88070	0,00000

 

 

Ответ:

 

3.Приближенное  решение уравнения f(x)=0 методом Ньютона.

Теория:

 

Пусть требуется  решить уравнение f(x)=0. Допустим, что корень отделен и находиться на интервале [a;b].

Чтобы найти  корень уравнения проведем касательную в т. B(b; f(b)) и точка пересечения Ох и касательной будет являться первым приближением.

Чтобы найти  составим уравнение касательной:

В качестве приближенного  корня уравнения примем абсциссу точки пересечения с осью Ох. Полагая  в уравнении касательной у=0, находим  абсциссу точки пересечения

За исходную точку берем ту точку, в которой  знак функции совпадает со знаком второй производной.

 

Решение:

График функции f(x) (рис.1).

x	F`(x)	F(x)
0,99	-12,9149	-0,77047
0,9303427	-6,31171	-0,28067
0,8858741	-5,21298	-0,02674
0,880744	-5,11831	-0,00024
0,8806961	-5,11745	0,00000
0,8806961	-5,11745	0,00000

 

Ответ: х=0,8807.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Вычисление  корней многочлена.

Решение:

Вычислим корни  многочлена методом касательных (методом  Ньютона)

График функции f(x) (рис.2)

Из графика  видны интервалы изоляции корней:

[-3;-2], [-1; 0]

 

1)[-3;-2]

 

x	f(x)	f’(x)
-3	198,00000	-727
-2,727648	51,86437	-373,021
-2,588609	9,06134	-248,108
-2,552087	0,51102	-220,457
-2,549769	0,00196	-218,769
-2,54976	0,00000	-218,762

 

2) [-1; 0]

 

x	f(x)	f’(x)
-1	-8,00000	29
-0,724138	-1,46222	18,7304
-0,646071	-0,09731	16,2784
-0,640093	-0,00053	16,10092
-0,64006	0,00000	16,09995

 

Ответ: x=-2,54976; x=-0,64006.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Решение линейной  системы уравнений методом простых  итераций.

Теория:

Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящуюся к точному решению системы. С вычислительной стороны применение способа итераций часто бывает более выгодным, так как требует меньшей точности промежуточных вычислений. Кроме того, способ итераций устойчив относительно про-счетов в промежуточных вычислениях.

 

Рассмотрим систему  n линейных уравнений с n неизвестными:

Решив первое уравнение относительно второе – относительно , и т.д., систему приведем к виду:

Запишем ее в  более общем виде:

Зададим какие-либо начальные значения неизвестных

.

Подставляя  их в правые части системы, получим первые приближения:

Полученные  первые приближения могут быть таким  же образом использованы для получения вторых, третьих приближений и т.д.

 

 

 

 

 

Решение:

График функций X(y)=0,5sin(y)-0,8 b Y(x)=1-cos(x-1)(рис.3).

x	Y
0	0
1,220735	0,459698
1,057198	0,024263
1,214058	0,001635
1,220293	0,022823
1,214461	0,024167
1,214085	0,022909
1,214437	0,022829
1,214459	0,022904
1,214438	0,022908
1,214437	0,024904

 

Ответ: x=1.2144; y=0.0229

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона.

 

 

Теория:

 

Пусть требуется решить систему нелинейных уравнений:

Допустим найдены нулевые  приближения

Чтобы найти  решение системы необходимо найти  якобиан:

Следующие приближения  находим по формулам:

 

Решение:

 

 

 

 

     

Ответ:      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.Решение системы  линейных уравнений методом Гаусса. Решить систему линейных уравнений  вида Ax=B.

Теория:

Метод Гаусса один из наиболее распространенных способов решения систем линейных уравнений. Он является точным: если точно выполнить  все действия, то мы получим точное решение системы. Но практически решение получается приближенным из-за округления при делении. В основе метода лежит идея последовательного исключения неизвестных.

 

Рассмотрим  систему линейных уравнений четвертого порядка:

Разделим новое  уравнение на (пусть ; в противном случае переставим уравнение так, чтобы это условие было выполнено). Находя из первого уравнения, получим:

С помощью  этого уравнения можно исключить из оставшихся уравнений , для чего достаточно подставить во второе, третье и в четвертое уравнение системы. Таким же путем из уравнений 2,3,4 исключаем , затем . И мы придем к системе

Из этих уравнений  последовательно находятся значения неизвестных 

Матрица коэффициентов системы А	Столбец свободных членов
3,05   2,64   2,23	67,17
4,14  3,61   3,14	91,43
5,63  5,03   4,52	125,40

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

Ответ: ; ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.Решение  системы линейных уравнений методом  простых итераций.

Матрица системы	Правая часть
38.1000  .1601  .1916  .2230	124.0015
.1237  37.2000  .1866  .2180	128.3760
.1187  .1502  36.3000  .2131	132.3800
.1137  .1452  .1766  36.4000	134.0134

 

Теория

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Решив первое уравнение  относительно , второе – относительно и т.д., систему приведем к виду:

Зададим какие-либо начальные  значения неизвестных и подставим их в правые части системы. Получим первые приближения. Используем их для получения вторых, третьих приближений и т.д. до тех пор, пока не достигнем заданной точности.

Для решения системы  гаусса необходимо, чтобы сумма коэффициентов  каждой строки была намного меньше суммы диагональных коэффициентов (условие выполнено).

Решение:

 

 

 

Примем начальные  значения за ноль

0	0	0	0
3,25633	3,450968	3,646691	3,842186
3,200907	3,399334	3,626576	3,799349
3,201476	3,33987	3,632766	3,79984
3,20144	3,339834	3,600063	3,799805
3,201605	3,399998	3,632763	3,799968
3,201438	3,339833	3,526281	3,799804
3,201978	3,400369	3,528094	3,800336
3,201964	3,400355	3,528073	3,800323
3,201964	3,400355	3,528074	3,800324
3,201964	3,400355	3,528069	3,800324
3,201964	3,400355	3,528074	3,800324
3,201964	3,400355	3,528057	3,800324
3,201964	3,400355	3,528057	3,800324

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.Численное  интегрирование.

Теория:

Метод прямоугольников.

Если точку  совместим с точкой а, то получим площадь заштрихованной фигуры приближенное значение интеграла равно:

- формула левых прямоугольников

- формула правых прямоугольников

 

 

Метод трапеций.

 

                 …

 

 

 

 

Метод Симпсона.

 

Если первую интерполяционную формулу Ньютона  проинтегрировать на некотором интервале  получим формулу Симпсона.

Решение:

i		F(x)
0	0	0,909297
1	0,31416	0,945615
2	0,62832	0,998885
3	0,94248	0,922908
4	1,25664	0,579429
5	1,5708	-7,3Е-06
6	1,88496	-0,57944
7	2,19912	-0,92291
8	2,51328	-0,99888
9	2,82744	-0,94561
10	3,1416	-0,9093

 

 

1) Формула прямоугольников

(левых прям.)

(правых прям.)

 

2) Метод трапеций

 

3) Метод Симпсона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.Приближенное  решение задачи Коши методом  Эйлера.

Теория:

Пусть функция  задана таблично, требуется решить дифференциальное уравнение первого порядка , пусть задано начальное условие . Требуется найти решение на [a, b].

Разделим [a, b] на n равных частей и выделим некоторый k-ый участок, проинтегрируем уравнение на k-ом участке

Учитывая свойства интеграла и принимая значение производной  равной некоторой константе, получим  следующее выражение:

Значение функции  в данном случае обозначим значение функции в т.k, тогда используя понятие приращения функции, получим справедливость следующего равенства:

Продолжая этот процесс на [a, b] и каждый раз принимая подынтегральную функцию константой, получим табличное решение дифференциального уравнения на заданном отрезке [a, b].

 

Решение:

				a	b
		0	0	-5	0

 

i
0	-5	0,00000	0,00000	0,50000	0,00000
1	-4,5	0,50000	0,00000	0,29978	0,25000
2	-4	0,79978	0,25000	0,21215	0,27489
3	-3,5	1,01194	0,52489	0,15576	0,24352
4	-3	1,16769	0,76841	0,11964	0,19964
5	-2,5	1,28733	0,96805	0,09623	0,15964
6	-2	1,38356	1,12769	0,08052	0,12793
7	-1,5	1,46408	1,25563	0,06950	0,10422
8	-1	1,53357	1,35985	0,06141	0,08686
9	-0,5	1,59499	1,44671	0,05523	0,07414
10	0	1,65022

 

 

 

Ответ: y=1,65022

25.Приближенное решение задачи Коши методом Рунге-Кутта.

Теория:

 

Пусть функция  задана таблично, требуется решить дифференциальное уравнение первого порядка , пусть задано начальное условие . Требуется найти решение на [a, b].

Численное решение  уравнения будем искать по формуле  Эйлера:

.

Метод Рунге-Кутта  позволяет заменить это следующим  числом:

где

 

Решение:

				a	b
		-1	2	0	2

 

i
0	0,00	-1,00000	2,00000	-0,18186	0,20000
	0,10	-1,09093	2,10000	-0,15034	0,19477
	0,10	-1,07517	2,09739	-0,15498	0,19494
	0,20	-1,15498	2,19494	-0,11400	0,17484	-0,15108	0,19238
1	0,20	-1,15108	2,19238	-0,11588	0,17506
	0,30	-1,20902	2,27991	-0,07514	0,13543
	0,30	-1,18865	2,26009	-0,08792	0,13849
	0,40	-1,23900	2,33086	-0,05019	0,08075	-0,08203	0,13394
2	0,40	-1,23311	2,32632	0,05392	0,08216
	0,50	-1,26007	2,36740	-0,03157	0,01583
	0,50	-1,24890	2,33423	0,04489	0,02259
	0,60	-1,27800	2,34891	-0,02785	-0,04566	-0,03911	0,01889
3	0,60	-1,27223	2,34521	-0,03146	-0,04353

 

 

 

 

	0,70	-1,28796	2,32345	-0,02971	-0,10006
	0,70	-1,28708	2,29518	-0,03728	-0,09537
	0,80	-1,30951	2,24984	-0,03883	-0,14153	-0,03405	-0,09599
4	0,80	-1,30627	2,24922	-0,04042	-0,14061
	0,90	-1,32648	2,17892	-0,04973	-0,17151
	0,90	-1,33114	2,16347	-0,05175	-0,17054
	1,00	-1,35802	2,07869	-0,06267	-0,18993	-0,05101	-0,16910
5	1,00	-1,35728	2,08012	-0,06259	-0,18995
	1,10	-1,38857	1,98514	-0,07513	-0,19880
	1,10	-1,39484	1,98072	-0,07396	-0,19895
	1,20	-1,43124	1,88117	-0,08685	-0,19920	-0,07460	-0,19744
6	1,20	-1,43188	1,88267	-0,08624	-0,19913
	1,30	-1,47500	1,78311	-0,09790	-0,19235
	1,30	-1,48083	1,78650	-0,09520	-0,19121
	1,40	-1,52708	1,69146	-0,10600	-0,17789	-0,09641	-0,19069
7	1,40	-1,52829	1,69198	-0,10552	-0,17753
	1,50	-1,58105	1,60322	-0,11405	-0,15793
	1,50	-1,58531	1,61302	-0,11035	-0,15372
	1,60	-1,63864	1,53826	-0,11636	-0,12566	-0,11178	-0,15442
8	1,60	-1,64007	1,53757	-0,11619	-0,12539
	1,70	-1,69816	1,47487	-0,11896	-0,08782
	1,70	-1,69955	1,49366	-0,11343	-0,07731
	1,80	-1,75350	1,46026	-0,10978	-0,02064	-0,11513	-0,07938
9	1,80	-1,75519	1,45819	-0,10997	-0,02106
	1,90	-1,81018	1,44766	-0,09956	0,05269
	1,90	-1,80497	1,48453	-0,08916	0,07395
	2,00	-1,84435	1,53213	-0,06212	0,16142	-0,09159	0,06561

    0,00   -1,84678   1,52379

 

Ответ:    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.Приближенное  решение задачи Коши методом  Адамса-Башфорта.

							a		а		b
	-			0		-0,3		1		1		2

 

Теория:

Пусть дано дифференциальное уравнение  на [a, b] с шагом h и начальными условиями . Разделим отрезок [a, b] на n частей, воспользуемся второй интерполяционной формулой Ньютона, продифференцируем эту функцию, введя переменную .

Проинтегрируем  и найдем

  (1) – формула Адамса

Для применения формулы Адамса необходимы четыре начальные  значения , которые можно найти методом Рунге-Кутта. Зная эти значения, можно найти величины:

Метод Адамса заключается в продолжении диагонали  таблицы разности с помощью формулы 1. Используя числа  , которые располагаются в таблице по диагонали и используя формулу 1, полагая n=3 находим

Имея значение , найдем . Значение , найдем:

В общем виде

Подсчитанное  по этой формуле значение функции  будем называть предсказанным. Это  значение необходимо уточнить. Для  этого нужно записать и сделать перерасчет по формуле коррекции

- интерполяционная формула Адамса

Для вычисления будем использовать следующие формулы:

- экстраполяционная формула Адамса

- интерполяционная формула Адамса

 

Решение:

Первые  четыре значения высчитываем методом Эйлера

i
0	1	0,0000	-0,3000	1,0000	0,0000	-0,5403	0,4886
1	1,1	0,0000	-0,3540	1,0489	0,0000	-0,4986	0,4912
2	1,2	0,0000	-0,4039	1,0980	0,0000	-0,4554	0,4916
3	1,3	0,0000	-0,4494	1,1471	0,0000	-0,4111	0,4898	0	-0,039	0,0488
4	1,4	0,0000	-0,4533	1,1520	0,0000	-0,4066	0,4893	0	-0,044	0,0491
5	1,5	0,0000	-0,4577	1,1569	0,0000	-0,4022	0,4890	0	-0,038	0,0489
6	1,6	0,0000	-0,4615	1,1618	0,0000	-0,3977	0,4885	0	-0,04	0,0488
7	1,7	0,0000	-0,4655	1,1667	0,0000	-0,3932	0,4880	0	-0,039	0,0488
8	1,8	0,0000	-0,4694	1,1716	0,0000	-0,3887	0,4875	0	-0,039	0,0487
9	1,9	0,0000	-0,4733	1,1764	0,0000	-0,3842	0,4870	0	-0,038	0,0487
10	2	0,0000	-0,4771	1,1813	0,0000	-0,3797	0,4865	0	-0,038	0,0486