Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Математике". 89

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине «МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ»

Вариант № 4

Содержание

Задание№1 3

Задание№2 7

Задание №3 14

Задание №4 19

Задание№1

Задачи 1.1-1.10 решить графически.

Решение:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение 2x1+7x2 = 21 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 3. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 10.5. Соединяем точку (0;3) с (10.5;0) прямой линией.

Построим уравнение 7x1+2x2 = 49 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 24.5. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 7. Соединяем точку (0;24.5) с (7;0) прямой линией.

Или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x1+7x2 → max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x1+7x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (4; 7). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Равный масштаб

Область допустимых решений представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

2x1+7x2≤21

7x1+2x2≤49

Решив систему уравнений, получим: x1 = 6.6889, x2 = 1.0889

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 4*6.6889 + 7*1.0889 = 34.3778

Решение получилось не целочисленным.

Перемещение линии уровня целевой функции F(X) в направлении, задаваемом ее градиентом, показывает, что наибольшее значение F(X)=31 она примет в точке (6, 1).

Задание№2

Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции использует три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны b1, b2, b3 и b4 ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны a1, a2, a3 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей

Составить такой план перевозок, при котором общая себестоимость перевозок является минимальной. Задачу решить методом потенциалов.

	Bi	B₂	B₃	B₄
Ai	7	12	4	6	150
A₂	5	6	3	4	130
A₃	13	8	7	3	160
	120	80	80	70

Решение:

Математическая модель транспортной задачи:

F = ∑∑cijxij, (1)

при условиях:

∑xij = ai, i = 1,2,…, m, (2)

∑xij = bj, j = 1,2,…, n, (3)

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	4	Запасы
1	7	12	4	6	150
2	5	6	3	4	130
3	13	8	7	3	160
Потребности	120	80	80	70

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 150 + 130 + 160 = 440

∑b = 120 + 80 + 80 + 70 = 350

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения превышает запасы груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) базу с запасом груза, равным 90 (440—350). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 3

Для этого элемента запасы равны 130, потребности 80. Поскольку минимальным является 80, то вычитаем его. x23 = min(130,80) = 80.

7	12	X	6	0	150
5	6	3	4	0	130 - 80 = 50
13	8	X	3	0	160
120	80	80 - 80 = 0	70	90	0

Искомый элемент равен 3

Для этого элемента запасы равны 160, потребности 70. Поскольку минимальным является 70, то вычитаем его.

x34 = min(160,70) = 70.

7	12	X	X	0	150
5	6	3	X	0	50
13	8	^Х	3	0	160 - 70 = 90
120	80	0	70 - 70 = 0	90	0

Искомый элемент равен 5

Для этого элемента запасы равны 50, потребности 120. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.

x21 = min(50,120) = 50.

7	12	X	X	0	150
5	X	3	X	X	50 - 50 = 0
13	8	X	3	0	90
120 - 50 = 70	80	0	0	90	0

Искомый элемент равен 7

Для этого элемента запасы равны 150, потребности 70. Поскольку минимальным является 70, то вычитаем его.

x11 = min(150,70) = 70.

7	12	X	X	0	150 - 70 = 80
5	X	3	X	X	0
X	8	X	3	0	90
70 - 70 = 0	80	0	0	90	0

Искомый элемент равен 8

Для этого элемента запасы равны 90, потребности 80. Поскольку минимальным является 80, то вычитаем его.

x32 = min(90,80) = 80.

7	X	X	X	0	80
5	X	3	X	X	0
X	8	X	3	0	90 - 80 = 10
0	80 - 80 = 0	0	0	90	0

Искомый элемент равен 0

Для этого элемента запасы равны 80, потребности 90. Поскольку минимальным является 80, то вычитаем его.

x15 = min(80,90) = 80.

7	X	X	X	0	80 - 80 = 0
5	X	3	X	X	0
X	8	X	3	0	10
0	0	0	0	90 - 80 = 10	0

Искомый элемент равен 0

Для этого элемента запасы равны 10, потребности 10. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.

x35 = min(10,10) = 10.

7	X	X	X	О	0
5	X	3	X	X	0
X	8	X	3	О	10-10 = 0
0	О	О	О	10-10 = 0	0

	1	2	3	4	5	Запасы
1	7[70]	12	4	6	0[80]	150
2	5 [50]	6	3[80]	4	0	130
3	13	8[80]	7	3[70]	0[10]	160
Потребности	120	80	80	70	90

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 7*70 + 0*80 + 5*50 + 3*80 + 8*80 + 3*70 + 0*10 = 1830

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

u1 + v1 = 7; 0 + v1 = 7; v1 = 7

u2 + v1 = 5; 7 + u2 = 5; u2 = -2

u2 + v3 = 3; -2 + v3 = 3; v3 = 5

u1 + v5 = 0; 0 + v5 = 0; v5 = 0

u3 + v5 = 0; 0 + u3 = 0; u3 = 0

u3 + v2 = 8; 0 + v2 = 8; v2 = 8

u3 + v4 = 3; 0 + v4 = 3; v4 = 3

	v=7	v₂=8	v₃=5	v₄=3	v₅=0
u =0	7[70]	12	4	6	0[80]
u₂=-2	5 [50]	6	3[80]	4	0
u3=0	13	8[80]	7	3[70]	0[10]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij

(1;3): 0 + 5 > 4; ∆13 = 0 + 5 - 4 = 1

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;3): 4

Для этого в перспективную клетку (1;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	7[70][-]	12	4[+]	6	0[80]	150
2	5[50][+]	6	3[80][-]	4	0	130
3	13	8[80]	7	3[70]	0[10]	160
Потребности	120	80	80	70	90

Цикл приведен в таблице (1,3; 1,1; 2,1; 2,3; ).

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 70. Прибавляем 70 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 70 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	7	12	4[70]	6	0[80]	150
2	5[120]	6	3[Ю]	4	0	130
3	13	8[80]	7	3[70]	0[10]	160
Потребности	120	80	80	70	90

u1 + v3 = 4; 0 + v3 = 4; v3 = 4

u2 + v3 = 3; 4 + u2 = 3; u2 = -1

u2 + v1 = 5; -1 + v1 = 5; v1 = 6

u1 + v5 = 0; 0 + v5 = 0; v5 = 0

u3 + v5 = 0; 0 + u3 = 0; u3 = 0

u3 + v2 = 8; 0 + v2 = 8; v2 = 8

u3 + v4 = 3; 0 + v4 = 3; v4 = 3

	v=6	v₂=8	v₃=4	v₄=3	v₅=0
и=0	7	12	4[70]	6	0[80]
u2=-1	5[120]	6	3[10]	4	0
u3=0	13	8[80]	7	3[70]	0[10]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij

(2;2): -1 + 8 > 6; ∆22 = -1 + 8 - 6 = 1

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;2): 6

Для этого в перспективную клетку (2;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	7	12	4[70][+]	6	0[80][-]	150
2	5[120]	6[+]	3[10][-]	4	0	130
3	13	8[80][-]	7	3[70]	0[10][+]	160
Потребности	120	80	80	70	90

Цикл приведен в таблице (2,2; 2,3; 1,3; 1,5; 3,5; 3,2; ).

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 3) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	7	12	4[80]	6	0[70]	150
2	5[120]	6[10]	3	4	0	130
3	13	8[70]	7	3[70]	0[20]	160
Потребности	120	80	80	70	90

u1 + v3 = 4; 0 + v3 = 4; v3 = 4

u1 + v5 = 0; 0 + v5 = 0; v5 = 0

u3 + v5 = 0; 0 + u3 = 0; u3 = 0

u3 + v2 = 8; 0 + v2 = 8; v2 = 8

u2 + v2 = 6; 8 + u2 = 6; u2 = -2

u2 + v1 = 5; -2 + v1 = 5; v1 = 7

u3 + v4 = 3; 0 + v4 = 3; v4 = 3

	v=7	v₂=8	v₃=4	v₄=3	v₅=0
и=0	7	12	4[80]	6	0[70]
u₂=-2	5[120]	6[10]	3	4	0
u3=0	13	8[70]	7	3[70]	0[20]

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vi <= cij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 4*80 + 0*70 + 5*120 + 6*10 + 8*70 + 3*70 + 0*20 = 1750

Анализ оптимального плана.

Из 1-го склада необходимо весь груз направить в 3-й магазин

Из 2-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (120), в 2-й магазин (10)

Из 3-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (70), в 4-й магазин (70)

На 1-ом складе остался невостребованным груз в количестве 70 ед.

Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x15=0.

На 3-ом складе остался невостребованным груз в количестве 20 ед.

Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x35=0.

Задача имеет множество оптимальных планов, поскольку оценка для (1;1) равна 0.

Минимальные затраты составят: F(x) = 4*80 + 0*70 + 5*120 + 6*10 + 8*70 + 3*70 + 0*20 = 1750

Задание №3

Решить задачи целочисленного программирования геометрическим методом.

Решение:

Построим уравнение x1+6x2 = 11 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 1.83. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 11. Соединяем точку (0;1.83) с (11;0) прямой линией.

Построим уравнение 5x1+3x2 = 17 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 5.67. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 3.4. Соединяем точку (0;5.67) с (3.4;0) прямой линией.

Или

Границы области допустимых решений

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x1+2x2 → max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x1+2x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (3; 2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Равный масштаб

Область допустимых решений представляет собой многоугольник

x1+6x2≤11

5x1+3x2≤17

Решив систему уравнений, получим: x1 = 2.5556, x2 = 1.4074

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 3*2.5556 + 2*1.4074 = 10.4815

Решение получилось не целочисленным.

Задание №4

	Нормы расхода ресурсов на единичное изделие				Запас ресурсов
	изделие 1	изделие 2	изделие 3	изделие 4	Запас ресурсов
Ресурс 1	5	10	15	20	150
Ресурс 2	20	15	10	5	170
Ресурс 3	15	9	4	17	190
Ценность	6,5	8	14	10

Решение:

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 6.5x1+8x2+14x3+10x4 при следующих условиях-ограничений.

5x1+10x2+15x3+20x4≤150

20x1+15x2+10x3+5x4≤170

15x1+9x2+4x3+17x4≤190

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7.

5x1 + 10x2 + 15x3 + 20x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 150

20x1 + 15x2 + 10x3 + 5x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 170

15x1 + 9x2 + 4x3 + 17x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 190

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

5	10	15	20	1	0	0
20	15	10	5	0	1	0
15	9	4	17	0	0	1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x5, x6, x7,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,0,150,170,190)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	В	^Х1	^Х2	^хз	^х4	^Х5	^х6	^Х7
^х5	150	5	10	15	20	1	0	0
^х6	170	20	15	10	5	0	1	0
^Х7	190	15	9	4	17	0	0	1
F(XO)	0	-6,5	-8	-14	-10	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (15) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	^Х1	^Х2	^хз	^Х4	^Х5	^х6	^Х7	min
^х5	150	5	10	15	20	1	0	0	10
^х6	170	20	15	10	5	0	1	0	17
^Х7	190	15	9	4	17	0	0	1	47,5
F(X1)	0	-6,5	-8	-14	-10	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x5 в план 1 войдет переменная x3

Строка, соответствующая переменной x3 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=15

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x3 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x3 и столбец x3 .

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (15), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Базис	В	^Х1	^Х2	^Х3	^Х4	^Х5	^Х6	^Х7
^Х3	10	0,33	0,67	1	1,33	0,0667	0	0
^Х6	70	16,67	8,33	0	-8,33	-0,67	1	0
^Х7	150	13,67	6,33	0	11,67	-0,27	0	1
F(X1)	140	-1,83	1,33	0	8,67	0,93	0	0

Контрольная работа по Математике. 89 📙 Контрольная → 🆔 61380