Контрольная работа по "Математике". 118

 

 

 

 

Часть I: Теория вероятностей и математическая статистика (решение задач)

 

Задача 1

В партии из 107000 деталей  ровно 6527 бракованных. Дайте ответы на следующие вопросы (запишите формулы  и сделайте вычисления с подробными объяснениями):

а) какова вероятность того, что наудачу выбранная деталь из партии окажется бракованной?

б) какова вероятность  того, что наудачу выбранная деталь из партии окажется НЕ бракованной?

в) какова вероятность  того, что из 805 случайно выбранных  из партии деталей ровно 38 окажется бракованными?

г) какова вероятность  того, что из 677 случайно выбранных  из партии деталей не более 7 окажется бракованными?

д) какова вероятность  того, что из 285 случайно выбранных  из партии деталей не менее 10 окажется НЕ бракованными?

е) из партии выбрано случайно 649 деталей, из них 107 оказалось бракованными; какова вероятность, что больше в выборке нет бракованных деталей?

ж) из партии выбрано 1021 деталей, и которых не менее 180 оказалось  бракованными;

з) какова вероятность  того, что в последующей выборке из 426 деталей бракованных окажется не более 10 (предыдущая выборка в партию не возвращается)?

Решение:

а) какова вероятность  того, что наудачу выбранная деталь из партии окажется бракованной:

Пусть событие А состоит  в том, что наудачу выбранная деталь из партии окажется бракованной. Применим классическое определение вероятности. Выбрать одну деталь из 107000 можно способами. Выбрать одну бракованную деталь из 6527 можно способами. Тогда искомая вероятность:

.

б) какова вероятность  того, что наудачу выбранная деталь из партии окажется НЕ бракованной?

Событие «наудачу выбранная  деталь из партии окажется НЕ бракованной» равно  . Тогда

.

в) какова вероятность  того, что из 805 случайно выбранных  из партии деталей ровно 38 окажется бракованными?VP

г) какова вероятность  того, что из 677 случайно выбранных  из партии деталей не более 7 окажется бракованными:VP

д) какова вероятность  того, что из 285 случайно выбранных  из партии деталей не менее 10 окажется НЕ бракованными?VP

е) из партии выбрано случайно 649 деталей, из них 107 оказалось бракованными; какова вероятность, что больше в выборке нет бракованных деталей?VP

ж) из партии выбрано 1021 деталей, и которых не менее 180 оказалось  бракованными;  какова вероятность  того, что в последующей выборке  из 426 деталей бракованных окажется не более 10 (предыдущая выборка в партию не возвращается)?VP

 

 

 

 

Задача 2

«Неправильную» монетку (вероятность выпадения «орла» составляет 0,54) подбрасывают 173 раз. Рассматриваются  следующие величины: x — количество выпавших «орлов», y — количество выпавших «решек», . Ответьте на следующие вопросы об этих случайных величинах:

а) опишите распределения  с.в. x, y, z1, z2, z3; найдите математические ожидания, вторые моменты, дисперсии;

б) опишите условное распределение с.в. x|y;

в) в процессе подбрасывания  на 127-том броске оказалось, что уже  выпало ровно 70 «орлов», какова вероятность  того, что всего выпадет не более 40 решек?

г) найдите ковариацию и коэффициент корреляции величин x и y;

д) найдите ковариацию и коэффициент корреляции величин х2 и y.

Решение:

а) опишите распределения  с.в. x, y, z1, z2, z3; найдите математические ожидания, вторые моменты, дисперсии:

С.в. х и у являются случайными величинами, распределенными  по биномиальному закону. Для таких  величин математическое ожидание равно , второй момент а дисперсия

Данная величина при  х=173 и у=0 обращается в бесконечность, тогда ее числовые характеристики вычислить нельзя.

б) опишите условное распределение  с.в. x|y:VP

в) в процессе подбрасывания  на 127-том броске оказалось, что уже  выпало ровно 70 «орлов», какова вероятность того, что всего выпадет не более 40 решек?

При 127 бросках выпало 127-70= 57 решек. Тогда вероятность того, что всего при 173 бросках выпадет  не более 40 решек равна 0.

г) найдите ковариацию и коэффициент корреляции величин x и y:

д) найдите ковариацию и коэффициент корреляции величин  х2 и y.

 

 

Задача 3

Срок службы электрической  лампы имеет показательное распределение  с математическим ожиданием 95 часов. Ответьте на следующие вопросы:

а) какова вероятность  того, что лампа прослужит от 88 до 131 часов?

б) какова вероятность  того, что прослужившая уже 96 часов лампа прослужит еще не менее 96 часов?

в) какова вероятность  того, что средний срок службы для 840 ламп составит не менее 89 часов?

г) какова вероятность  того, что для 750 ламп срок службы составит от 82  до 128 часов?

Решение:

Плотность распределения величины X(срок службы электрической лампы) имеет вид:

Функция распределения:

Тогда

а) ;

б)

в) Найдем вероятность  того, что средний срок службы для  одной лампы составит не менее 89 часов:

.

Срок службы разных ламп события независимые. Тогда средний срок службы 840 ламп будет характеризоваться как среднее биномиального распределения, т.е. искомое значение равно 840*0,396=332,6VP

г) Вероятность того, что для одной лампы срок службы составит от 82  до 128 часов:

.

Выход из строя разных ламп события независимые, тогда  искомая вероятность равна  VP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4

Рассмотрите случайную  выборку Xi из некоторого известного распределения и ответьте на следующие вопросы:

а) найдите оценку параметра A методом моментов, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(–1;A)

б) найдите оценку методом  моментов параметра B, если известно, что  выборка сделана из равномерного распределения U(-B;B)

в) найдите оценки методом максимального правдоподобия параметров c и C, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(c; C);

г) найдите (и сравните) оценки параметра L методом моментов и методом максимального правдоподобия, если известно, что выборка сделана из экспоненциального EL распределения;

д) найдите оценку параметра m методом моментов, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N(m, 1);

е) найдите оценки параметров M и S любым известным методом, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N(M, S);

ж) постройте гистограмму  и полигон по выборке, количество интервалов — 4;

Xi: -0,792 -0,353 -0,923 -0,584 -0,075 0,035 0,407 0,574 -0,106 -0,299

Решение:

а) найдите оценку параметра A методом моментов, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(–1;A):

б) найдите оценку методом  моментов параметра B, если известно, что  выборка сделана из равномерного распределения U(-B;B) :

VP

в) найдите оценки методом максимального правдоподобия параметров c и C, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(c; C);

.

г) найдите (и сравните) оценки параметра L методом моментов и методом максимального правдоподобия, если известно, что выборка сделана из экспоненциального EL распределения:

Плотность распределения  величин, распределенных экспоненциально, равна нулю при отрицательных  значениях аргумента. В рассматриваемой  выборке встречаются отрицательные величины, значит, выборка не может быть сделана из экспоненциального распределения.

При попытке же найти оценку параметра  λ, например, методом максимального  правдоподобия, получаем, что функция  правдоподобия L(X, λ) равна нулю, а  следовательно, не имеет максимумов.

Отбросим отрицательные элементы из выборки и оценим параметр  λ.

1) Оценка метода моментов: первый  начальный момент для экспоненциального  распределения .

2) Составим функцию правдоподобия:

Вывод. Оценки параметра  экспоненциального распределения  методом моментов и методом максимального  правдоподобия получились одинаковыми.

 

д) найдите оценку параметра m методом моментов, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N(m, 1);

.

е) найдите оценки параметров M и S любым известным методом, если известно, что выборка сделана  из нормального распределения N(M, S):

Применяя метод максимального  правдоподобия можно получить оценки:

ж) постройте гистограмму  и полигон по выборке, количество интервалов — 4:

;

Получим интервальный ряд:

Интервал

-0,923; -0,549

-0,549; -0,175

-0,175; 0,199

0,199; 0,574

Частота

3

2

3

2


Гистограмма:

Полигон:

 

Часть II: Математическая статистика (практикум)

Задание 1

По данной выборке Xi выполните следующие вычисления:

а) постройте гистограмму, полигон, выборочную функцию распределения;

б) вычислите выборочные моменты и связанные величины (первый, второй, третий, дисперсию, СКО, эксцесс и коэффициент асимметрии);

в) оцените методом  моментов или/и методом максимального  правдоподобия по выборке параметры  основных непрерывных распределений (равномерное, экспоненциальное, нормальное и пр.), оцените близость оценок теоретических распределений к выборочному; подберите качественное описание выборочного распределения теоретическим;

г) предположив, что выборка  получена из нормального распределения, протестируйте гипотезы равенства среднего нулю при неизвестной дисперсии; равенства среднего нулю при дисперсии, равной выборочной.

№ п/п

1

-6,02

2

-4,08

3

-1,76

4

-9,95

5

0

6

0,71

7

15,11

8

-1,09

9

4,34

10

-14,46

11

0,2

12

-6,15

13

23,84

14

9,62

15

0,17

16

37,77

17

32,99

18

42,85

19

6,82

20

-5,55

21

1,78

22

-5,82

23

8

24

12,05

25

13,91

26

-19,53

27

0,33

28

-21,91

29

-2,31

30

-0,05


 

Решение:

а) постройте гистограмму, полигон, выборочную функцию распределения:

Перейдем к интервальному ряду. Количество интервалов определим по формуле Стерджесса:

Интервал

-21,90; -11,1

-11,1; -0,3

-0,3; 10,5

10,5; 21,3

21,3; 32,1

32,1; 42,9

Середина интервала

-16,5

-5,7

5,1

15,9

26,7

37,5

Частота

3

9

11

3

1

3


 

 

 

 

 

Гистограмма:

Полигон:

Выборочная функция  распределения:

 

 

б) вычислите выборочные моменты и связанные величины (первый, второй, третий, дисперсию, СКО, эксцесс и коэффициент асимметрии);

в) оцените методом  моментов или/и методом максимального  правдоподобия по выборке параметры  основных непрерывных распределений (равномерное, экспоненциальное, нормальное и пр.), оцените близость оценок теоретических  распределений к выборочному; подберите качественное описание выборочного распределения теоретическим;

На основании значений коэффициента асимметрии и эксцесса данная выборка ближе всего к  нормальному распределению с  параметрами 4,74 и 213,71.

Метод максимального правдоподобия для нормального распределения: среднее 4,74 и дисперсия 213,71/29*30=221,08.

г) предположив, что выборка  получена из нормального распределения, протестируйте гипотезы равенства  среднего нулю при неизвестной дисперсии; равенства среднего нулю при дисперсии, равной выборочной.

Если дисперсия неизвестна:

.

Для уровня значимости 0,95 и выборки размера 30 критическое  значение равно 2,045, оно больше расчетного, тогда гипотезу о равенстве 0 среднего отвергаем.

 

Если дисперсия неизвестна:

.

Для уровня значимости 0,95 и выборки критическое значение равно 1,96, оно больше расчетного, тогда  гипотезу о равенстве 0 среднего также  отвергаем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2

По выборкам Xi, Yi выполните следующие вычисления:

а) найдите выборочную о вариацию и выборочный коэффициент  корреляции;

б) методом наименьших квадратов оцените параметры  модели X=aY+b, протестируйте гипотезу {a=0};

в) методом наименьших квадратов оцените параметры  модели Y=kX+d, протестируйте гипотезу {k=0};

г) в пунктах (б), (в) найдите  и сравните коэффициенты R2;

д) в пунктах (б), (в) протестируйте  близость эмпирического распределения  остатков моделей к нормальному;

е) каково ожидаемое значение с.в. Y, если известно значение с.в. X? Каков доверительный интервал для Y в этом случае? Постройте график этих зависимостей для выборочных значений Xi и сравните с выборочными значениями Yi.

№ п/п

1

-6,02

-40,97

2

-4,08

-27,78

3

-1,76

-11,98

4

-9,95

-67,72

5

0

0

6

0,71

4,83

7

15,11

102,85

8

-1,09

-7,42

9

4,34

29,54

10

-14,46

-98,43

11

0,2

1,36

12

-6,15

-41,87

13

23,84

162,27

14

9,62

65,48

15

0,17

1,16

16

37,77

257,1

17

32,99

224,56

18

42,85

291,67

19

6,82

46,42

20

-5,55

-37,78

21

1,78

12,11

22

-5,82

-39,61

23

8

54,46

24

12,05

82,02

25

13,91

94,68

26

-19,53

-132,9

27

0,33

2,25

28

-21,91

-149,1

29

-2,31

-15,72

30

-0,05

-0,35


 

Решение:

а) найдите выборочную ковариацию и выборочный коэффициент  корреляции:

.

Составим расчетную  таблицу:

№ п/п

1

-6,02

-40,97

36,2404

1678,54

246,639

2

-4,08

-27,78

16,6464

771,728

113,342

3

-1,76

-11,98

3,0976

143,52

21,0848

4

-9,95

-67,72

99,0025

4586

673,814

5

0

0

0

0

0

6

0,71

4,83

0,5041

23,3289

3,4293

7

15,11

102,85

228,312

10578,1

1554,06

8

-1,09

-7,42

1,1881

55,0564

8,0878

9

4,34

29,54

18,8356

872,612

128,204

10

-14,46

-98,43

209,092

9688,46

1423,3

11

0,2

1,36

0,04

1,8496

0,272

12

-6,15

-41,87

37,8225

1753,1

257,501

13

23,84

162,27

568,346

26331,6

3868,52

14

9,62

65,48

92,5444

4287,63

629,918

15

0,17

1,16

0,0289

1,3456

0,1972

16

37,77

257,1

1426,57

66100,4

9710,67

17

32,99

224,56

1088,34

50427,2

7408,23

18

42,85

291,67

1836,12

85071,4

12498,1

19

6,82

46,42

46,5124

2154,82

316,584

20

-5,55

-37,78

30,8025

1427,33

209,679

21

1,78

12,11

3,1684

146,652

21,5558

22

-5,82

-39,61

33,8724

1568,95

230,53

23

8

54,46

64

2965,89

435,68

24

12,05

82,02

145,203

6727,28

988,341

25

13,91

94,68

193,488

8964,3

1317

26

-19,53

-132,9

381,421

17662,4

2595,54

27

0,33

2,25

0,1089

5,0625

0,7425

28

-21,91

-149,1

480,048

22230,8

3266,78

29

-2,31

-15,72

5,3361

247,118

36,3132

30

-0,05

-0,35

0,0025

0,1225

0,0175

Сумма

111,81

761,13

7046,7

326473

47964,1

Среднее

3,727

25,371

234,89

10882,4

1598,8


б) методом наименьших квадратов оцените параметры  модели X=aY+b, протестируйте гипотезу {a=0}:

Применяя средство MS Excel Анализ данных, получим:

 

Коэффи-циенты

Стандартная ошибка

t-статис-тика

P-Значе-ние

Нижние 95%

Верхние 95%

Х-пересечение

0,0030

0,0019

1,5694

0,1278

-0,0009

0,0068

Переменная У

6,8066

0,0001

55317,0864

0,0000

6,8063

6,8068


Видим, что доверительный  интервал для свободное члена  содержит и положительные, и отрицательные  значения. Тогда он не значим.

в) методом наименьших квадратов оцените параметры  модели Y=kX+d, протестируйте гипотезу {k=0};

Применяя средство MS Excel Анализ данных, получим:

 

Коэффи-циенты

Стандартная ошибка

t-статис-тика

P-Значе-ние

Нижние 95%

Верхние 95%

У-пересечение

-0,0004

0,0003

-1,5692

0,1278

-0,0010

0,0001

Переменная Х

0,1469

0,0000

55317,0864

0,0000

0,1469

0,1469


Видим, что доверительный  интервал для свободное члена  содержит и положительные, и отрицательные  значения. Тогда он не значим.

г) в пунктах (б), (в) найдите  и сравните коэффициенты R2;

В обоих случаях коэффициент  детерминации равен 1

д) в пунктах (б), (в) протестируйте  близость эмпирического распределения  остатков моделей к нормальному:

По полигонам частот можно предположить наличие нормального  распределения для остатков.

е) каково ожидаемое значение с.в. Y, если известно значение с.в. X? Каков  доверительный интервал для Y в этом случае? Постройте график этих зависимостей для выборочных значений Xi и сравните с выборочными значениями Yi.

Если известно Х, то .

Все-таки по заданию надо сделать вычисления. Естественно, такие факториалы никто  вычислять не будет… Есть способ обойти этот момент.

 

Обратите внимание, что это курсовая работа, т.е. не обязательно использовать формулы только комбинаторики, чтобы  решать комбинаторные задачи.

См  замечание выше

См  замечание выше

См  замечание выше

Нет ответа?

Не  понятно. Описать условное распределение, значит указать, какое распределение  возникает у величины при данном значении (интервале или т.п.) величины-условия.

  1. Средний срок службы одной  лампы – это не событие. Это  величина.
  2. Средний срок службы N ламп – это суммарный срок службы этих ламп, деленый на N

См. выше.

Срок службы N ламп – это суммарный срок их службы.

 

У меня горит дома лампа, и в коробке  лежат еще две запасных. Что  такое срок службы этих трех ламп? А  средний срок службы? И это никак  не события…

Не  понятно. V_1 = 0, потом снова V_1, но уже не ноль

Надо  бы выписать функцию правдоподобия  и показать, как такие оценки получаются


Контрольная работа по Математике. 118 📙 Контрольная → 🆔 61393

Контрольная работа по Математике. 118 📙 Контрольная → 🆔 61393

Контрольная работа по "Математике". 118