Контрольная работа по статистике. 17

 

Задание для задачи №2:

По  исходным данным необходимо:

  • построить интервальный вариационный ряд распределения, дать его графическое изображение;
  • рассчитать показатели центра распределения: среднюю арифметическую, моду и медиану;
  • определить абсолютные и относительные показатели вариации, сделать выводы об однородности совокупности;
  • определить показатели формы распределения;
  • проверить соответствие эмпирического распределения закону нормального распределения, используя критерий согласия Пирсона, изобразить эмпирическое и теоретическое распределения на одном и том же графике.

Задача 2.

11

9

2

8

11

5

10

8

4

9

7

6

11

5

18

6

10

7

11

4

12

14

13

8

9

12

5

17

13

17

11

9

1

10

1

5

8

8

0

3

17

3

8

7

4

15

16

3

16

1


  1. Построение интервального вариационного ряда распределения

Ряд распределения – упорядоченное расположение единиц (элементов) изучаемой совокупности по группам в соответствии с выбранным группировочным признаком.

Ряд распределения представляет собой  таблицу, которая состоит из двух основных колонок. В первой указываются  значения, которые принимает признак  в изучаемой совокупности, а во второй – количество, того или иного  значения, т.е. частота. Для признака, имеющего непрерывное изменение, строится интервальный ряд распределения. При  его построении отдельные значения признака указываются в первой колонке  в виде интервалов «от - до».

В некоторых случаях, в зависимости  от целей исследования, ряд распределения, состоящий из двух граф, иногда дополняется  другими графами, необходимыми для  вычисления отдельных статистических показателей.

Для построения интервального ряда вначале  определяем размер интервала:

,

где xmax – максимальное значение признака в совокупности;

xmin - минимальное значение признака в совокупности;

m – число интервалов

Количество  интервалов определим с помощью  формулы Стерджесса:

,

где n – объем совокупности (количество исходных значений). В нашем случае n=50.

Количество  интервалов обязательно должно быть целым числом. Поскольку формула  Стерджесса дает лишь приблизительную оценку количества интервалов, то можно принять либо m=6, либо m=7. Для удобства дальнейших вычислений примем  m=6. Тогда размер интервала будет равен:

Определяем  границы интервалов. Нижняя граница  первого интервала равна минимальному значению признака в совокупности, т.е. в нашем случае равна 0. Верхняя  граница первого интервала равна  нижней границе плюс размер интервала, т.е. 0+3=3. Нижняя граница второго интервала  равна верхней границе первого, т.е. 3. Верхняя граница второго  интервала равна нижней границе  второго интервала плюс размер интервала, т.е. 3+3=6 и т.д. В итоге получаем границы для шести интервалов. Заносим границы интервалов в  таблицу (табл. 1, колонка 2).

Далее подсчитываем количество значений признака из заданной совокупности, попавших в  тот или иной интервал и заносим  это число в колонку «Частота». Если значение попадает на границу  между k-ым и (k+1)-ым интервалами, то его относят в (k+1)-ый интервал. Сумма всех частот обязательно должна совпадать с объемом совокупности (в нашем случае со значением 50).

Вычисляем частости, т.е. частоты, выраженные в процентах к общему объему совокупности:

;

;

;

и т. д.

 

Таблица 1.

Интервальный  ряд распределения

№

Инт.

Значение признака (х)

от - до

Частота

(f)

Частость

(w), %

Накопленная

частота

(S)

Плотность

распределения

(ρ)

1

0-3

5

10

5

1,667

2

3-6

10

20

15

3,333

3

6-9

11

22

26

3,667

4

9-12

12

24

38

4

5

12-15

5

10

43

1,667

6

15-18

7

14

50

2,333

Итого:

50

100

-

-


   Накопленная частота показывает, сколько единиц изучаемой совокупности имеет значение признака не более чем некоторое заданное. Она вычисляется по формуле:

;

;

 и т. д.

Последнее значение накопленной частоты должно быть равно объему совокупности.

Плотность распределения показывает, сколько единиц совокупности приходятся на единицу длины интервала:

.

 и т.д.

Строим  графические изображения ряда распределения.

Рис. 1. Структурная диаграмма

 

Рис.2. Полигон распределения

Рис. 3. Гистограмма распределения

 

  1. Определение показателей центра распределения

К показателям центра распределения  относятся: средняя арифметическая, мода и медиана.

  Средняя арифметическая

где xi –середина i-го интервала.

Таблица 2.

№

Инт.

Значение признака (х)

от - до

середина интервала xi

Частота

(f)

xi fi

Накопленная

частота

(S)

1

0-3

1,5

5

7,5

5

2

3-6

4,5

10

45

15

3

6-9

7,5

11

82,5

26

4

9-12

10,5

12

126

38

5

12-15

13,5

5

67,5

43

6

15-18

16,5

7

115,5

50

Итого:

  

50

444

  

 

8,88

Мода – значение признака наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

Для нахождения моды по интервальному ряду распределения в начале определяем модальный интервал, т.е. интервал с максимальной частотой. В нашем случае таким интервалом будет интервал от 9 до 12 (4-й интервал).

Далее величину моды вычисляем по формуле  

,

где – нижняя граница модального интервала;

- размер модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным. 

9,375

Медиана – значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряда на две равные по численности части.

Для нахождения медианы по интервальному  ряду распределения в начале определяем медианный интервал. Им будет первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности. В нашем случае половина объема совокупности n/2=50/2=25. Первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше чем 25 – это интервал от 6 до 9 (в нем накопленная частота равна 26), поэтому этот интервал является медианным.

Далее величина медианы вычисляется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

- размер медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- накопленная частота интервала,  предшествующего медианному.

8,727

  1. Определение абсолютных и относительных показателей вариации

Вариация – различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

Для характеристики изменчивости отдельных  значений признака в статистике используют абсолютные и относительные показатели вариации. 

Абсолютные  показатели вариации:

Размах

Среднее линейное отклонение

,

где - средняя арифметическая найденная ранее

Для расчета  заполним таблицу:

 

Таблица 3.

Интервал

xi

fi

0-3

1,5

5

36,9

272,322

3-6

4,5

10

43,8

191,844

6-9

7,5

11

15,18

20,948

9-12

10,5

12

19,44

31,493

12-15

13,5

5

23,1

106,722

15-18

16,5

7

53,34

406,451

 

∑

50

191,760

1029,780


 

Дисперсия рассчитывается по формуле:

Получаем:

Среднее квадратическое отклонение:

Получаем:

 

Относительные показатели вариации:

Коэффициент осцилляции

Относительное линейное отклонение

Коэффициент вариации

Поскольку коэффициент вариации больше 33%, то совокупность по изучаемому признаку является неоднородной.

 

 

4. Определение  показателей формы распределения

Показатель  асимметрии

-0,109

На  основе показателя асимметрии могут  быть сделаны следующие выводы.

Если  As < 0, то асимметрия левосторонняя, а если As > 0 – то правосторонняя.

Чем ближе по модулю As к 1, тем асимметрия существеннее:

  • если |As|<0,25, то асимметрия  считается незначительной;
  • если 0.25 <½As½<0,5 то асимметрия  считается умеренной;
  • если |As|>0,5 – асимметрия значительна.

В нашем случае асимметрия правосторонняя и незначительная, так как <0.25.

В нашем случае асимметрия правосторонняя, незначительная.

Эксцесс является  показателем островершинности распределения. Он рассчитывается для симметричных распределений на основе центрального момента 4-ого порядка . При симметричных распределениях Ех=0. Если Ех>0, то распределение относится к островершинным, если Ех<0 – к плосковершинным.

Показатель  эксцесса (островершинности)

,

где μ4 – центральный момент 4-го порядка

Таблица 4.

Интервал 

xi

fi

0-3

1,5

5

14831,854

3-6

4,5

10

3680,412

6-9

7,5

11

39,894

9-12

10,5

12

82,650

12-15

13,5

5

2277,917

15-18

16,5

7

23600,322

 

∑

50

44513,049


 -0,901

Поскольку Ех <0, то распределение плосковершинное.

 

  1. Проверка соответствия эмпирического распределения нормальному закону

Теоретические частоты для нормального распределения  вычисляются по формуле

 13,187

Таблица 5.

Вычисление  теоретических частот

№

Инт.

Середина

интервала

1

1,5

-1,322

0,267

3,515

2

4,5

-0,466

0,628

8,277

3

7,5

-0,046

0,955

12,591

4

10,5

-0,064

0,938

12,373

5

13,5

-0,518

0,596

7,854

6

16,5

-1,410

0,244

3,221


 

По  результатам вычислений строим график (рис. 5).

 

Рис. 5. Эмпирическое и теоретическое  распределения

 

Для проверки соответствия эмпирического  и теоретического распределений  будем использовать критерий согласия Пирсона («хи-квадрат»)

.

Применение  критерия Пирсона требует выполнения следующих условий:

1)  число наблюдений должно быть  достаточно большим (n≥50). Данное условие в нашем случае выполняется;

2) теоретические частоты в интервалах  должны быть больше 5. Это условие  в нашем случае выполняется  

Таблица 6.

Расчет  критерия Пирсона

№ Инт.

fi

1

5

3,515

0,627

2

10

8,277

0,359

3

11

12,591

0,201

4

12

12,373

0,011

5

5

7,854

1,037

6

7

3,221

4,434

χ2=

6,669


Применение критерия согласия Пирсона  требует использования специальных  таблиц. Что бы избежать этого, произведем вычисления по критерию Романовского, основанного на критерии Пирсона

,

где γ=m*-l-1 – число степеней свободы;

m* - число интервалов (в нашем случае m* =6);

l – число параметров распределения (для нормального распределения l=2).

γ=6-2-1=3;

.

В соответствии с критерием Романовского, если С<3, то эмпирическое распределение соответствует теоретическому.

В нашем случае С = 1,498 < 3, следовательно эмпирическое распределение соответствует нормальному закону (закону Гаусса).

                                                      

                                                      Задача 12.

Имеются данные обследования бюджетов домашних хозяйств района:

Группы домашних

хозяйств 

Среднедушевой

доход

Число

домохозяйств

1

до 500

5

2

500 - 1 000

10

3

1 000 - 1 500

30

4

1 500 - 2 000

40

5

свыше 2 000

15


Определить:

а) среднедушевой доход;

б) моду и медиану;

в) показатели вариации.

 

Решение

Определим

а) среднедушевой доход по формуле  средней арифметической взвешенной:

где xi – середина i-го интервала.

Для расчета используем таблицу:

Группы домашних

хозяйств

Среднедушевой

доход

xi

Число

домохозяйств, fi

xi fi

1

до 500

250

5

1250

2

500 - 1 000

750

10

7500

3

1 000 - 1 500

1250

30

37500

4

1 500 - 2 000

1750

40

70000

5

свыше 2 000

2250

15

33750

Итого:

    

100

150000


 

б) моду и медиану;

Мода – значение признака наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

Для нахождения моды по интервальному ряду распределения в начале определяем модальный интервал, т.е. интервал с максимальной частотой. В нашем случае таким интервалом будет интервал от 1500 до 2 000 (4-й интервал).

Далее величину моды вычисляем по формуле  

,

где – нижняя граница модального интервала;

- размер модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным. 

1642,857

Медиана – значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряда на две равные по численности части.

Для нахождения медианы по интервальному  ряду распределения в начале определяем медианный интервал. Им будет первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности. В нашем случае половина объема совокупности n/2=100/2=50.

 

Группы домашних

хозяйств

Среднедушевой

доход

Число

домохозяйств

Накопленная частота

1

до 500

5

5

2

500 - 1 000

10

15

3

1 000 - 1 500

30

45

4

1 500 - 2 000

40

85

5

свыше 2 000

15

100


Первый сверху интервал, в котором  накопленная частота больше чем 50 – это интервал от 1500 до 2 000 (в нем накопленная частота равна 85), поэтому этот интервал является медианным.

Далее величина медианы вычисляется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

- размер медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- накопленная частота интервала,  предшествующего медианному.

1562,5

в) показатели вариации.

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

 512,348

 

Относительные показатели вариации:

Коэффициент вариации

Поскольку коэффициент вариации больше 33%, то совокупность по изучаемому признаку является неоднородной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 21

Определить  среднюю арифметическую, моду и медиану, показатели вариации на основе следующих  данных:

Группы предприятий по числу рабочих, чел.

Число предприятий

100-200

3

200-300

5

300-400

7

400-500

15

500-600

25

600-700

10

700-800

8


 

Решение

Для  расчета средней арифметической, моды, медианы и показателей вариации, составим вспомогательную таблицу 

Группы предприятий по числу рабочих, чел.

Число предприятий

Середина интервала

100-200

3

150

358,9

1076,71

128812,16

386436,48

450

200-300

5

250

258,9

1294,52

67031,34

335156,69

1250

300-400

7

350

158,9

1112,33

25250,52

176753,61

2450

400-500

15

450

58,9

883,56

3469,69

52045,41

6750

500-600

25

550

41,1

1027,40

1688,87

42221,81

13750

600-700

10

650

141,1

1410,96

19908,05

199080,5

6500

700-800

8

750

241,1

1928,77

58127,23

465017,83

6000

Итого

73

3150

-

8734,25

-

1656712,33

37150


 

Рассчитаем  среднюю арифметическую для сгруппированных данных:

Мода  определяется по следующей формуле:

 

 

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала; 

- частота модального интервала; 

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным.

Получаем:

 чел.

Определим значение медианы по формуле:

 

где - начальное значение интервала, содержащего медиану;

- величина медианного интервала; 

- частота медианного интервала; 

- кумулятивная частота интервала,  предшествующего медианному;

- половина от общего числа  наблюдений.

Для определения медианы необходимо вначале найти номер медианы: .

Вычисляем накопленные частоты:

Группы предприятий по числу рабочих, чел.

Число предприятий

Накопленная частота

100-200

3

3

200-300

5

8

300-400

7

15

400-500

15

30

500-600

25

55

600-700

10

65

700-800

8

73


37 предприятий приходится на  интервал: 500-600.

Рассчитываем  медиану:

 чел.

Линейное  отклонение рассчитывается по принципу взвешенной средней по формуле:

Получаем:

 

Дисперсия рассчитывается по формуле:

Получаем:

Среднее квадратическое отклонение:

 

Получаем:

Относительные показатели вариации:

Линейный  коэффициент вариации

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации менее 33%, следовательно, совокупность однородная.

 

 

Задача 31

Имеются следующие данные об объеме пассажирооборота по автобусным предприятиям города:

Год

пассажирооборот

Цепные показатели динамики

Млрд. пасс.-км.

1992

127,0

-

-

-

-

1993

    

1,102

    

1994

      

7,1

  

1995

164,6

        

1996

          

1997

      

9,9

1,75

Контрольная работа по статистике. 17 📙 Контрольная → 🆔 68804

Контрольная работа по статистике. 17 📙 Контрольная → 🆔 68804

Контрольная работа по статистике. 17