Контрольная работа по "Статистике". 172

2 Практическая часть

 

Вариант 1 (выполняют студенты, фамилии которых начинаются с букв А, Б, В, Г, Д)

 

Задача 1

 

Для изучения зависимости между стажем работы рабочего и месячной выработкой продукции по данным таблицы 1.1 произведите группировку рабочих по стажу, выделив пять групп (n) с равными интервалами (по принципу «исключительно») Х=47.

 

Таблица 1.1 –Данные  о стаже работы и месячной выработке  рабочих 

Номер рабочего	Стаж работы, лет	Месячная выработка продукции  на одного рабочего, млн.р.
1	1	22,0 + 47=69
2	6,5	30,0 + 47=77
3	9,2	33,5+47=80,5
4	4,5	28,2 + 47=75,2
5	6	29,5 + 47=76,5
6	2,5	25,3+47=72,3
7	2,7	24,5 + 47=71,5
8	16	40,0 + 47=87
9	13,2	33,2 + 47=80,2
10	14	34,2 + 47=81,2
11	11	32,5 + 47=79,5
12	12	33,2+ 47=80,2
13	10,5	30,6+ 47=77,6
14	1	22,8 + 47=69,8
15	9	32,6 +47=79,6
16	5	29,4 +47=76,4
17	6	29,2 + 47=76,2
18	10,2	34,0 + 47=81
19	5	29,0 + 47=76
20	5,4	28,4 + 47=75,4
21	7,5	31,8+47=78,8
22	8	32,0 + 47=79
23	8,5	24,5 + 47=71,5
24	2	25,2 + 47=72,2
25	15,5	34,4 + 47=81,4

 

Определите  по каждой группе и в целом по совокупности рабочих:

- число  рабочих;

- средний стаж работы рабочего;

- стоимость произведенной продукции (всего и в среднем на одного рабочего).

Результаты  группировки представьте в виде групповой таблицы, на основе которой по группировочному признаку (стаж работы рабочих) определите значение моды и медианы.

Дайте анализ показателей таблицы и сделайте краткие выводы.

 

Решение.

Для того, чтобы провести группировку необходимо найти максимум (X_max) и минимум (X_min) группировочного признака (стаж работы).

В нашей  задаче X_max = 16 лет, X_min =1 год.

Далее определяем размах Н как разницу между максимальным и минимальным наблюдаемыми значениями признака:

H=X_max - X_min.     (1.1)

Размах стажа работы равен 15 лет (16-1).

Тогда шаг интервала определяется по формуле:

h=H/n.      (1.2)

Шаг интервала равен 3 года (15/5).

Тогда принимаем, что нижняя граница первого интервала (Х_н) равна X_min, а верхняя граница определяется как:

 Х_в= Х_н+ h .     (1.3)

Исходя  из формулы 1.3, получаем следующие пять интервалов: [1;4), [4;7), [7;10), [10;13), [13;16].

Результаты  группировки представим в виде групповой  таблицы.

Группы рабочих по стажу, лет	№ рабочего	Стаж работы, лет	Месячная выработка продукции  на одного рабочего, млн.р.
1-4	1	1	69
	6	2,5	72,3
	7	2,7	71,5
	14	1	69,8
	24	2	72,2
Итого	5	9,2	354,8
4-7	2	6,5	77
	4	4,5	75,2
	5	6	76,5
	16	5	76,4
	17	6	76,2
	19	5	76
	20	5,4	75,4
Итого	7	38,4	532,7
7-10	3	9,2	80,5
	15	9	79,6
	21	7,5	78,8
	22	8	79
	23	8,5	71,5
Итого	5	42,2	389,4
10-13	11	11	79,5
	12	12	80,2
	13	10,5	77,6
	18	10,2	81
Итого	4	43,7	318,3
13-16	8	16	87
	9	13,2	80,2
	10	14	81,2
	25	15,5	81,4
Итого	4	58,7	329,8
Всего	25	192,2	1925

 

Результаты  группировки изложим в таблице.

Группы рабочих по стажу, лет	Число предприятий	Стоимость произведенной продукции, млн.р.		Стаж работы, лет
		всего	в среднем на одного рабочего	всего	в среднем на одного рабочего
1-4	5	354,8	70,96	9,2	1,8
4-7	7	532,7	76,1	38,4	5,5
7-10	5	389,4	77,88	42,2	8,4
10-13	4	318,3	79,575	43,7	10,9
13-16	4	329,8	82,45	58,7	14,7
Итого	25	1925	-	192,2	-
В среднем на одно предприятие	-	-	77		7,7

 

Для первого  интервала 5 чел., для второго – 7 чел., для пятого и четвертого – 4 чел., для третьего – 5 чел.

Стоимость произведенной продукции рабочими со стажем от 1 года до 4 лет равна 354,8 млн.р., следовательно,  в среднем один рабочий данного интервала произвел продукции на сумму 70,96  млн.р.(354,8/5). Самое большое число человек со средним стажем работы 5,5  лет и среднемесячной выработкой 76,1 млн.р. на одного человека во втором  интервале – 7 чел.

Как видно  из таблицы, наибольшая выработка у  рабочих  со стажем работы от 13 до 16 лет – у них среднемесячная выработка наибольшая 82,45 млн.р.  Средний стаж работы в целом по совокупности рабочих равен 7,7 года, стоимость произведенной продукции равна 1925 млн.р., в среднем на одного рабочего –77 млн.р.

Далее определим  медиану рабочего стажа.

Медиана (Ме) – это значение признака, которое  приходится на середину ранжированного ряда распределения. В интервальному  ряду распределения медиана определяется по формуле

   (1.4)

где - начало медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- сумма накопленных частот  до медианного интервала;

- частота медианного интервала.

Медианный интервал определяется по кумулятивным частотам, где впервые сумма частот превысит половину всех частот (третий интервал в нашем случае).

Исходя  из формулы 1.4, медиана группировочного  признака (стаж работы) равна: 7+3*((12,5-12)/5)=7,3 года.

Таким образом, у половины рабочих стаж работы превышает 7,3 года. Также следует, что наблюдается некоторая тенденция к снижению среднего стажа работы, так как медиана меньше среднего значения (7,7> 7,3).

Мода (Мо) – это значение признака, наиболее часто встречающегося в данном ряду. В дискретном ряду распределения  моду определяют по наибольшей частоте. В интервальном ряду распределения  мода определяются по формуле

   (1.5)

где - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным.

Модальный интервал выбирается по максимальной частоте в исследуемом ряду распределения – второй интервал.

Тогда, исходя из формулы 1.5, мода группировочного  признака (стаж работы) равна: 4+3*((7-5)/((7-5)+(7-5)))=5,5 года.

Таким образом, чаще всего встречаются рабочие  со стажем работы 5,5 года.

Задача 2

 

Вычислите средний процент выполнения плана  выпуска продукции по данным таблицы 2.1 для первой и второй групп заводов. Укажите, какой вид средней надо применять для вычисления этих показателей. Сравните средние проценты выполнения плана для двух групп заводов.

 

Таблица 2.1 –  Данные по двум группам заводов объединения

Номер завода	Первая группа		Вторая группа
	Фактический выпуск продукции, млн.р.	Выполнение плана выпуска продукции, %	Плановое задание выпуска продукции, млн.р.	Выполнение плана выпуска продукции, %
1	210 + 47=257	105,0	300 + 47=347	110,2
2	294 + 47=341	98,0	215 + 47=262	100
3	300+ 47=347	100,0	285 + 47=332	95

 

Решение.

 

Как можно  видеть из таблицы 2.1, по второй группе заводов есть информация о плановом выпуске и проценте выполнения плана. В данном случае целесообразнее рассчитать взвешенную среднюю арифметическую, где в качестве весов (f) выступает плановое задание выпуска продукции.

Взвешенная  средняя считается по сгруппированным  данным и имеет общий вид 

 

,      (2.1)

 

где х_i –значение признака, в нашем случае процент выполнения плана;

fi – частота, показывающая, сколько  раз встречается i-e значение осредняемого  признака.

Тогда по второму цеху средний процент  выполнения плана выпуска продукции  составит 100,64 % ((257*105+341*98+347*100)/(257+341+347)).

В статистической практике бывают случаи, когда при  вычислении средней имеются данные об индивидуальных значениях признака (Х) и его общем объеме в совокупности (w), но не известны частоты (f), как по первой группе заводов.

По первой группе заводов есть информация о  фактическом выпуске (w) и проценте выполнения плана (х).

В таких  случаях среднее значение признака исчисляется по формуле средней  гармонической, которая представляет собой величину, обратную средней  арифметической из обратных значений вариант.

Взвешенная  средняя гармоническая выражается формулой:

 

        (2.2)

 

где  w - объем явления.         

%.

Тогда по первой группе заводов  средний процент выполнения плана выпуска продукции составит 101,62 %.

Таким образом, наиболее эффективно выполнен план по первой группе заводв, т.к. их средний процент выполнения плана выпуска продукции выше на 0,98 % (101,62 -100,64).

Задача 3

 

Для изучения среднего размера поставки товара А  произведена 10-процентная бесповторная выборка, в результате которой получены данные  представленные в таблице 3.1.

 

Таблица 3.1 –  Результаты выборки 

Группа магазинов по размеру поставки, тыс.ед.	До 1900	1900-2200	2200-2500	2500-2800	2800-3100	Св 3100
Число магазинов	6 + 47=53	10+47=57	14+47=61	45+47=92	16+47=63	9+47=56

 

Определите:

- средний по выборочной совокупности размер поставки (по способу моментов); среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации;

- границы среднего размера поставки по генеральной совокупности с вероятностью 0,954 (t = 2);

-границы удельного веса  магазинов с размером поставки свыше 2500тыс.ед. с вероятностью 0,997 (t = 3).

Решение.

Поскольку исходные данные являются интервальными, то при расчете показателей вариации необходимо  сначала определить середины  интервалов, а затем  вести дальнейшие расчеты, рассматривая  ряд середин интервалов как дискретный ряд распределения.

Для первого  интервала средина интервала  равна 1750 (1600+300/2), для шестого – 3250 (3100+300/2), для  второго – 2050 (1900+(2200-1900)/2)), для третьего – 2350 (2200+(300)/2)), для четвертого – 2650 (2500+(300)/2)), для пятого – 2950 (2800+(300)/2)).

Средний размер поставки определяется способом моментов:

   (3.1)

где Х - срединное  значение интервального вариационного  ряда

        k  - величина интервала (k= 300 тыс.ед).

        f  - частота повторения признака  в совокупности

       А - условная величина. За условную  величину А обычно принимается  варианта, имеющая наибольшую частоту  или доминирующее срединное положение  в данном ряду. (А=2650 тыс.ед.)

Результаты  вспомогательных расчетов представлены в таблице 3.2.

 

Таблица 3.2 – Расчет среднего и  среднеквадратического отклонения

Группа магазинов по размеру поставки, тыс.ед.	До 1900	1900-2200	2200-2500	2500-2800	2800-3100	Св 3100	Итого
Середина интервала, тыс.ед.. (xi)	1750	2050	2350	2650	2950	3250
Число магазинов, шт. (fi)	53	57	61	92	63	56	382
xi-А	-900	-600	-300	0	300	600	-900
(xi-А)/k	-3	-2	-1	0	1	2	-3
(xi-А)*fi/k	-168	-120	-64	0	66	118	-168
((xi-A)/k)^2*fi	504	240	64	0	66	236	1110

 

Исходя  из формулы 3.1 и таблицы 3.2, средний  размер поставки по выборочной совокупности  равен 2518 тыс.ед. (-168/382*300+2650).

Средние величины, характеризуя вариационный ряд одним числом, не учитывают  степень вариации признака.

Среднее квадратическое отклонение цены детского костюма (σ)  определяется по формуле:

.      (3.2)

Дисперсия цены детского костюма  (σ²) будет определяться по способу моментов:

,.    (3.3)

где k – величина интервала;

А – условная величина;

- начальный момент первого порядка;

  - начальный момент второго порядка;

Исходя  из формулы 3.3 и таблицы 3.2, дисперсия размера поставки равна 233 874 (300²*((1110/382-(-168/382)²)).

Исходя  из формулы 3.2 и таблицы 3.2, среднее квадратическое отклонение размера поставки составляет 494,1 тыс.ед.. ( ).

Для сравнения  степени вариации признака в разных совокупностях используется коэффициент  вариации. Коэффициент вариации цены костюма  (V)  определяется по формуле:

.      (3.4)

Исходя  из формулы 3.4 и таблицы 3.2, коэффициент вариации размера поставки   равен 19,62 % (494,1/2518*100). Совокупность считается однородной для распределений близких к нормальному, если коэффициент вариации не превышает 33 %, следовательно, изучаемая выборка является однородной.

Рассчитаем  предельную ошибку выборочной средней по формуле:

,     (3.5)

где t –  коэффициент доверия (при р=0,954, t=2 );

μ -  средняя ошибка выборки.

При  случайном  бесповторном  отборе  средняя  ошибка   выборочной   средней определяется по формуле:

,    (3.6)

где σ² –  выборочная дисперсия;

n -  объем  выборочной совокупности;

N – объем генеральной совокупности (по условию задачи , 10% выборка, т.е. n/N=0,1).

Тогда, исходя из формул 3.5-3.6, средняя  ошибка   выборочной   средней равна 25,98( ), а предельная ошибка равна 47,96 (23,98*2).

Расчет  средней и предельной ошибок позволит определить возможные пределы, в  которых будут находиться характеристики генеральной совокупности. На основе выборочной средней интервал изменения  средней цены костюма  рассчитывается по формуле:

,     (3.7)

где - генеральная средняя.

Исходя  из формулы 3.7, средний размер поставок  с вероятностью 0,954 будут колебаться в пределах от 2470,04 (2518-47,96) до 2565,96 тыс.ед. (2518+47,96).

Для определения  границы удельного веса  магазинов с размером поставки свыше 2500 тыс.ед. рассчитаем предельную ошибку выборочной доли при бесповторном отборе по формуле:

,   (3.8)

где w –  доля единиц, обладающих данным признаком  в выборочной совокупности.

Доля магазинов с размером поставки свыше 2500 тыс.ед.в общем объеме равна 0,55 ((92+63+56)/382).

Тогда предельная ошибка выборочной доли магазинов с размером поставки свыше 2500 тыс.ед. будет равна 0,04 ( ).

Пределы доли признака в генеральной совокупности (р) можно рассчитать следующим образом:

.    (3.9)

Исходя  из формулы 3.9, границы удельного веса магазинов с размером поставки свыше 2500 тыс.ед. с вероятностью 0,997 будут следующими: от 0,51 (0,55-0,04) до 0,59 (0,55+0,04).

Таким образом, удельный вес магазинов с размером поставки свыше 2500 тыс.ед. с вероятностью 0,997 будет колебаться в пределах от 51 до 59 %.

 

Задача 4

 

Для анализа  динамики ввода в действие жилой  площади определите по данным таблицы 4.1:

- аналитические  показатели ряда динамики: абсолютные  приросты, темпы роста, прироста  по годам и к первому условному  году, абсолютное содержание одного  процента прироста. Полученные данные  представьте в таблице;

- среднегодовое  число построенных квартир;

- среднегодовые  абсолютный прирост, темпы роста  и прироста числа  построенных  квартир.

На основании  данных  о числе построенных  квартир произведите сглаживание  уровней по уравнению тренда прямой. Постройте график динамики ввода  в действие жилой площади на основании  фактических и сглаженных уровней. По результатам расчетов сделайте выводы.

 

Таблица 4.1 –  Ввод в действие жилых домов

Условный год	Первый	Второй	Третий	Четвертый	Пятый	Шестой	Седьмой
Число построенных квартир, тыс.шт.	88,5+47	92,1+47	99,7+ 47	92,7+ 47	94,4+ 47	86,9 + 47	75,7+ 47
	135,5	139,1	146,7	139,7	141,4	133,8	122,7

 

Решение.

Важнейшим статистическим показателем  является абсолютный прирост, который  показывает абсолютную скорость роста  или снижения сравниваемых уровней, и рассчитывается как разность между  этими уровнями (между последующим  и предыдущим уровнем, принятым за базу сравнения). Измеряется в тех же единицах, что и исходная информация.

,   .   (4.1)

где y_i - значение сравниваемого уровня ряда динамики;

 y₀ - значение базисного уровня ряда динамики;

 y_i-1 - значение предшествующего уровня ряда динамики.

Базисные показатели характеризуют  итоговый результат всех изменений  в уровнях ряда от периода базисного  уровня до данного (i-го) периода. Цепные показатели характеризуют интенсивность изменения уровня от одного периода к другому в пределах того промежутка времени, который исследуется.

Темп (коэффициент) роста показывает относительную  скорость роста уровня ряда динамики и представляет собой отношение  каждого последующего уровня к предыдущему, принятому за базу сравнения.

Темп  роста определяется по формуле:

     .   (4.2)

Темп (коэффициент) прироста показывает на сколько процентов изменился  сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения. Темп прироста базисный и цепной определяется по формуле:

.    .  (4.3)

Абсолютное  значение 1 % прироста определяется отношением абсолютного прироста к темпу прироста, и показывает сколько единиц в абсолютном выражении приходится на 1% прироста для данного ряда динамики. Расчет этого показателя целесообразен для цепного способа, для базисного способа он не имеет смысла (будет постоянной величиной).

.  (4.4)

Средний темп роста ( )

.   (4.5)

Средний темп прироста равен .

Вычисленные показатели представим в таблице 4.2.

 

 

Таблица 4.2 - Вычисленные показатели динамического ряда

Условный год	Первый	Второй	Третий	Четвертый	Пятый	Шестой	Седьмой
Число построенных квартир, тыс.шт.	135,5	139,1	146,7	139,7	141,4	133,8	122,7
Абсолютный прирост, тыс.шт.
базисный (к первому году)	-	3,6	11,2	4,2	5,9	-1,7	-12,8
цепной	-	3,6	7,6	-7	1,7	-7,6	-11,1
Темпы роста, %
базисный (к первому году)	-	102,6	108,3	103,1	104,4	98,7	90,5
цепной	-	102,6	105,5	95,2	101,2	94,6	91,7
Темпы прироста, %
базисный (к первому году)	-	2,6	8,3	3,1	4,4	-1,3	-9,5
цепной	-	2,6	5,5	-4,8	1,2	-5,4	-8,3
Абсолютное содержание одного процента прироста, тыс. шт	-	1,356	1,391	1,467	1,397	1,414	1,338

 

Цепные  показатели абсолютного прироста свидетельствуют  о замедлении темпов роста числа  построенных квартир  в первом- третьим, пятом годах и его  падении в шестом- седьмом и  четвертом годах, хотя в седьмом  году падение числа построенных  квартир было большим, чем в четвертом  и шестом годах.

За семь лет средний абсолютный прирост  исследуемого показателя составил минус 2,133 тыс.шт.(-12,8/(7-1)), т.е. наблюдается  снижение числа построенных квартир  в среднем на 2,133 тыс.шт. в год).

Средний темп роста равен 0,905 или 90,5 %, т.е. средний прирост числа построенных квартир составил минус 9,5 % (90,5-100).

 или 90,5 %.

Среднегодовое число построенных квартир равно 137 тыс.шт.  ((135,5+139,1+146,7+139,7+141,4+133,8+122,7)/7).

Сокращение  числа построенных квартир  отражено на рисунке 4.1, где представлены фактические  и сглаженные уровни динамического  ряда.

Сглаженные  уровни определяются по формуле прямой:

У=-1,9393ч+147,74,    (4.6).

где У - число  построенных квартир;

 х  – номер года.

 

Уравнение прямой получено следующим образом. Строится график числа построенных  квартир  , на него добавляется линия  тренда (правая клавиша мыши на выделенном графике – «Добавить линию  тренда»). В Окне «Добавить линию  тренда» в закладке «Тип» выбираем линейная, в закладке «Параметры»  ставим галочку напротив   показывать уравнение на диаграмме.

Рисунок 4.1 - Графическое представление числа построенных квартир

 

Сглаженный  ряд более наглядно показывает тенденцию  снижения числа построенных квартир  из года в год, которая в исходном ряду несколько «затушевалась» скачкообразными  колебаниям уровней. Эффект сглаживания, устраняющего колебания уровней  за счет случайных причин, хорошо виден  при графическом изображении  фактических и сглаженных уровней (таблица 4.3).

 

Таблица 4.3 – Ввод в действие жилых  домов

В тыс.шт.

Показатель	Первый	Второй	Третий	Четвертый	Пятый	Шестой	Седьмой
Фактические уровни	138,5	142,1	149,7	142,7	144,4	136,8	125,7
Сглаженные уровни	145,8	143,9	141,9	140,0	138,0	136,1	134,2