Контрольная работа по "Статистике". 171

Вариант 8

 

Задача1. Имеются выборочные данные (выборка 2%-ная механическая) о деятельности малых предприятий отрасли экономики за отчетный период:

 

№ п/п	Среднесписочная численность рабочих, чел.	Выпуск продукции, тыс. шт.	№ п/п	Среднесписочная численность рабочих, чел.	Выпуск продукции, тыс. шт.
1	34	32	16	32	28
2	33	25	17	35	40
3	26	22	18	36	35
4	34	29	19	25	25
5	33	36	20	29	23
6	20	17	21	27	27
7	28	28	22	34	24
8	40	38	23	24	25
9	36	36	24	21	13
10	33	37	25	38	31
11	32	34	26	20	13
12	34	35	27	27	21
13	23	21	28	26	24
14	33	31	29	28	30
15	32	33	30	22	27

 

Построить аналитическую  группировку предприятий для  изучения зависимости между среднесписочной  численностью рабочих и выпуском продукции.

 

Решение

 

1. По содержанию показателей определяются факторный и результативный признаки: факторный (x) - среднесписочная численность рабочих, результативный (y) - выпуск продукции.
2. По формуле Стерджесса определим количество групп:

k = 1 + 2,233 lg n;          k = 1 + 2,233 •1,477 = 4;

3. Интервал группировки по факторному признаку при заданном числе

(k = 4):

h = (xmax – xmin)/k = (40 – 20)/4 = 5 (чел.)

где, xmax и xmin – соответственно, максимальная и минимальная средне      списочная численность рабочих, чел; k – количество групп.

4. Образуем следующие группы по численности рабочих, чел: [20 -25]; [25- 30]; [30– 35]; [35-40].
5. Все вспомогательные расчеты сводим в таблицу 1.

Таблица 1

Вспомогательные расчеты для выполнения аналитической  группировки

Группы предприятий по численности  рабочих, чел	№ п/п	Выпуск продукции, тыс.шт.	Среднесписочная численность рабочих, чел.
1	2	3	4
20 - 25	6	17	20
	26	13	20
	23	25	24
	24	13	21
	30	27	22
	13	21	23
	19	25	25
ИТОГО:	х	141	155
25-30	3	22	26
	7	28	28
	20	23	29
	21	27	27
	27	21	27
	28	24	26
	29	30	28
ИТОГО:	х	175	191
30-35	1	32	34
	2	25	33
	4	29	34
	5	36	33
	10	37	33
	11	34	32
	12	35	34
	14	31	33
	15	33	32
	16	28	32
	22	24	34
ИТОГО:	х	344	364
35-40	8	38	40
	9	36	36
	17	40	35
	18	35	36
	25	31	38
ИТОГО:	х	180	185
ВСЕГО:	х	840	895

 

Задача 2. Построить ряд распределения, используя результаты группировки предыдущей задачи (см. задачу 1). Исчислить среднесписочную численность рабочих  в среднем на одно предприятие.

Решение

Преобразуем табл. 1 задачи 1 «Вспомогательные расчеты для выполнения аналитической группировки», которая будет иметь следующий вид.

Таблица 2

Зависимость между среднесписочной  численностью рабочих и выпуском продукции

Группы предприятий  по среднесписочной численности  рабочих, чел	Число предприятий, ед.	Среднесписочная численность  рабочих, чел		Выпуск продукции, тыс. шт.
		всего	в среднем на одно предприятие	всего		в среднем на одно предприятие
20 - 25	7	155	22,143	141	20,143
25 - 30	7	191	27,286	175	25,000
30 - 35	11	364	33,091	344	31,273
35 - 40	5	185	37,0	180	36,000
Итого:	30	895	29,833	840	28,000

 

Вывод:  Увеличение среднесписочной численности рабочих приводит к росту выпуска продукции на одно предприятие, т.е. между этими показателями выявлена прямая зависимость.

 

 

Задача 3. По данным задачи 2 рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации. Сделать вывод.

 

Решение

 

1. Абсолютные показатели вариации.

 

1.1 Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X_max - X_min

R = 40 - 20 = 20,0

Преобразуем табл. 2 задачи 2 «Зависимость между среднесписочной численностью рабочих и выпуском продукции», которая будет иметь следующий вид.

Таблица 3

Группы предприятий по среднесписочной  численности рабочих, чел	Число предприятий, ед.   f	Середина интервала Хi	Расчетные показатели
			Хi * f	Хi – Хср.	IХi– Хср.I* f	(Хi– Хср.)2* f
20 - 25	7	22,5	157,5	-7,3333	51,3333	18445,77778
25 - 30	7	27,5	192,5	-2,3333	16,3333	1867,444444
30 - 35	11	32,5	357,5	2,6667	29,3333	9464,888889
35 - 40	5	37,5	187,5	7,6667	38,3333	7347,222222
Итого:	30		895		135,3333	37 125,33333
Ср. значения	-	-	29,83	-	4,51	1 237,51

 

Для оценки ряда распределения найдем  cреднею взвешенную:

X = ∑ Х * f / ∑ f = 895/30 = 29,83333333

2. Среднее линейное отклонение:

Среднее линейное отклонение - вычисляют  для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

d = IХ– Хср.I* f  / ∑ f = 135,3333/30 = 4,5111

Каждое  значение ряда отличается от другого  не более, чем на 4,5111.

 

3. Дисперсия.

Дисперсия - характеризует меру разброса около  ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

 

D = ∑ (Х– Хср.)2* f / ∑ f = 37 125,33333/30 = 1 237,5111

 

4. Несмещенная оценка дисперсии:

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.

 

S² = ∑ (Х– Хср.)2* f / ∑ f – 1 = 37125.33333/29 = 1280,1839

 

5. Среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение или средняя ошибка выборки.

 

σ = √ D = √ 1 237,5111 =35,17828

 

Каждое  значение ряда отличается от среднего значения 29,83333333не более, чем на 35,17828

 

1.6 Оценка среднеквадратического отклонения.

 

s = √ S² = √1280,1839 = 35,77966

 

2. Относительные показатели вариации.

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное  линейное отклонение.

1. Коэффициент осциляции:

V_R = (R/X)*100% = (20,0/29,83333333) *100% = 67,04%

2.   Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации):

V_d = (d/ X) *100% = (4,5111/29,83333333) * 100% = 15,121%

Доля усреднённого значения абсолютных отклонений от средней величины составляет 15,121%.

3. Коэффициент вариации

 

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

 

V =( σ / X _ср.) *100% = (35,17828/29,83333333) *100% = 117,92%

 

Вывод: Величина рассчитанного нами коэффициента вариации свидетельствует о том, что колеблемость индивидуальных значений предприятий по среднесписочной численности рабочих очень высокая, т.е. Vσ ≥ 33%.  Поэтому совокупность считаем неоднородной, а её среднюю считать ненадёжной.

 

Задача 4. Имеются следующие данные о размере среднемесячных душевых доходов в разных группах семей:

 

Среднедушевой денежный доход в месяц, тыс. руб.	Доля оплаты труда в структуре  доходов семьи
6,8	64,2
10,1	66,1
10,3	69,0
10,8	70,6
11,4	72,4
11,8	74,3
12,3	76,0
12,8	77,1
14,4	78,4

 

Для выявления зависимости между  долей оплаты труда в структуре  доходов и среднедушевым доходом  необходимо рассчитать:

1. Линейный коэффициент корреляции;

2. Коэффициент регрессии.  

Решение

 Обозначим через Х - долю оплаты труда в структуре доходов семьи Обозначим через У - среднедушевой денежный доход в месяц, тыс. руб. Поскольку между Х и У имеется прямолинейная  зависимость, уравнение регрессии имеет следующий вид:        

У = а₀ + а_1х

Для нахождения параметров уравнения  а₀ и а₁ необходимо решить систему нормальных уравнений:         

 na₀ + a₀∑x = ∑y        

a₀∑x + a₁∑x² = ∑xy   

Для дальнейших расчетов для вычисления значений ∑x и ∑y создаем таблицу: 

n	x	y	x2	y2	xy	х – хср.	y-yср.	(х–хср.)*( y-yср.)	(х – хср.)2	(y-yср.)2
1	64,2	6,8	4185,84	46,24	436,56	-7,81	-4,39	34,28	31,01	19,26
2	66,1	10,1	4435,31	102,01	667,61	-5,91	-1,09	6,44	34,94	1,19
3	69	10,3	4830	106,09	710,7	-3,01	-0,89	2,68	9,07	0,79
4	70,6	10,8	5054,96	116,64	762,48	-1,41	-0,39	0,55	1,99	0,15
5	72,4	11,4	5314,16	129,96	825,36	0,39	0,21	0,08	0,15	0,04
6	74,3	11,8	5594,79	139,24	876,74	2,29	0,61	1,4	5,24	0,37
7	76	12,3	5852	151,29	934,8	3,99	1,11	4,43	15,91	1,23
8	77,1	12,8	6021,51	163,84	986,88	5,09	1,61	8,20	25,90	2,60
9	78,4	14,4	6224,96	207,36	1128,96	6,39	3,21	20,52	40,82	10,31
ИТОГО:	648,1	100,7	47513,53	1162,67	7330,09	0,00	0,00	78,57	195,03	35,95
Ср. значение	72,01	11,19	5279,28	129,19				5185,60

 

 

Наша система нормальных уравнений  будет иметь следующий вид:   

9a₀ + 648,10a₁ =100,70        х 648,1     

648,1 a₀ + 47 513,33 a₁ = 7 330,09               х 9      

5 832,9а₀+ 420 033,6а₁ = 65 263,67        

5 832,9 а₀ + 427 620,00 а₁ = 65 970,81        

       0          + 7 586,4а1  =     707,14       

 а₁ = 707,14/7 586,4 =0,093212        

подставляем значение а₁ в одно из уравнений и находим значение а₀    9 а₀ + 648,10 a₁= 100,70 => 9 а₀ + 648,10 * 0,093212 =100,70       а₀ = 4,476589      

Подставляем значение а₁ и а₀ в линейное уравнение модели и получим уравнение регрессии сл. вида:        

ŷ_х = a₀+a₁x = 4.476589 +0,093212х        

 Уравнение регрессии всегда  дополняется показателем тесноты  связи. При использовании линейной  регрессии в качестве такого  показателя выступает линейный  коэффициент корреляции r_xy, который рассчитываем по следующей формуле:        

 r_xy=∑(у - у_ср.) *(х-х_ср.)/√(∑(у - у_ср.)² * ∑(х-х_ср.)²      

где, ∑(у - у_ср.) *(х-х_ср.) = 78,57; ∑(у - у_ср.)² = 35,95;    ∑(х-х_ср.)² = 195,03  

Подставляем данные значения в данную формулу: 

 rxy=∑(у - у_ср.) *(х-х_ср.)/((∑(у - у_ср.)² * ∑(х-х_ср.)²)^1/2 = 78,57/(195,03 * 35,95)^1/2 =

78,57/ (7 011,072)^1/2 = 78,57/ 83,73214=0,94 

Линейный коэффициент корреляции должен находится в пределах:

-1,0<  r_xy <1, и чем ближе абсолютное значение r_xy к единице, тем сильнее линейная связь между факторами.        

Вывод: Линейная связь между факторами прямая, сильная. 

Коэффициент регрессии — абсолютная величина, на которую в среднем  изменяется величина одного признака при изменении другого связанного с ним признака на установленную  единицу измерения.     

Формула коэффициента регрессии. R_у/х = r_ху x (σ_у / σ_x)    

где R_у/х — коэффициент регрессии;        

r_ху — коэффициент корреляции между признаками х и у;    

(σ_у и σ_x) — среднеквадратические отклонения признаков x и у.  

σ_x = √х_ср.² - (x)_ср.² = √5 279,281 - 72,011²= √5 279,281 - 5 185,6 = √93,68 = 9,67 

σ_у = √y_ср.² - (y)_ср. ² = √129,1856 - 11,18889²= √129,1856 -125,19123 = √3,994321 =1,999        

коэффициент регрессии. R_у/х = r_ху x (σ_у / σ_x) = 0,94 * 1,999/9,67 = 0,19

Вывод: При увеличении признака Х на 0,19 увеличится и признак У также на 0,19.     

Задача 5. Имеются данные о валовом региональном продукте (валовой добавленной стоимости) Архангельской области за 1998 – 2003 гг.

	1998	1999	2000	2001	2002	2003
Валовой региональный продукт, млн. руб.	22 889,0	36 845,1	62 562,7	68 205,9	84 553,2	107 607,8

 

Для анализа ряда динамики вычислить:

1. Абсолютные приросты, темпы роста  и прироста (цепные и базисные), абсолютное значение 1% прироста.

2. Среднегодовой объем ВРП

          3. Среднегодовой абсолютный прирост  ВРП.

4. Средний темп роста и темп  прироста ВРП.

  Сделайте вывод. 

Решение

 

Дата	Валовой региональный продукт, млн. руб.	Абсолютный прирост			Темп роста		Темп прироста		I % I
		цепной	базисный		цепной	базисный	цепной	базисный
1998г.	22 889,0	-		-		100		0
1999г.	36 845,1	13 956,1		13 956,1	160,97	160,97	60,97	60,97	228,89
2000г.	62 562,7	25 717,6		39 673,7	169,8	273,33	69,80	173,33	368,45
2001г.	68 205,9	5 643,2		45 316,9	109,02	297,99	9,02	197,99	625,63
2002г.	84 553,2	16 347,3		61 664,2	123,97	369,41	23,97	269,41	682,06
2003г.	107 607,8	23 054,6		84 718,8	127,27	470,13	27,27	370,13	845,53

 

 

1.  Определим абсолютные приросты:

 

1.1 Цепные: Δ_ц = y_i – y_i-1

 

Δ₁₉₉₉ = y₁₉₉₉ – y₁₉₉₈ = 36 845,1 – 22 889,0 = 13 956,1 (млн. руб.);

Δ₂₀₀₀ = y₂₀₀₀ – y₁₉₉₉ = 62 562,7 – 36 845,1 = 25 717,6 (млн. руб.);

Δ₂₀₀₁ = y₂₀₀₁ – y₂₀₀₀ = 68 205, 9 – 62 562,7 = 5 643,2  (млн. руб.);

Δ₂₀₀₂ = y₂₀₀₂ – y₂₀₀₁ = 84 553,2 – 68 205,9 = 16 347,3  (млн. руб.);

Δ₂₀₀₃ = y₂₀₀₃ – y₂₀₀₂ = 107 607,8 – 84 553,2 = 23 054,6 (млн. руб.)

 

 

1.2 Базисные: Δ_б = y_i – y₀

 

Δ₁₉₉₉ = y₁₉₉₉ – y₁₉₉₈ = 36 845,1 – 22 889,0 = 13 956,1 (млн. руб.);

Δ₂₀₀₀ = y₂₀₀₀ – y₁₉₉₈ = 62 562,7 – 22 889,0 = 39 673,7 (млн. руб.);

Δ₂₀₀₁ = y₂₀₀₁ – y₁₉₉₈ = 68 205, 9 – 22 889,0 = 45 316,9  (млн. руб.);

Δ₂₀₀₂ = y₂₀₀₂ – y₁₉₉₈ = 84 553,2 – 22 889,0 = 61 664,2  (млн. руб.);

Δ₂₀₀₃ = y₂₀₀₃ – y₁₉₉₈ = 107 607,8 – 22 889,0 = 84 718,8 (млн. руб.)

 

 

2. Определим темпы роста:

 

 

2.1 Цепные: Т_р = (y_i / y_i-1) *100%

 

Тр₁₉₉₉ =( y₁₉₉₉ / y₁₉₉₈) * 100% = (36 845,1 / 22 889,0)*100% = 160,97 (%);

Тр₂₀₀₀ = (y₂₀₀₀ / y₁₉₉₉ ) * 100%= (62 562,7/ 36 845,1) * 100% = 169,8 (%);

Тр₂₀₀₁ = (y₂₀₀₁ / y₂₀₀₀) * 100% = (68 205, 9 / 62 562,7) * 100% = 109,02 (%);

Тр₂₀₀₂ = (y₂₀₀₂ / y₂₀₀₁)*100% = (84 553,2 / 68 205,9) * 100% = 123,97 (%);

Тр₂₀₀₃ = (y₂₀₀₃ /y₂₀₀₂) *100% = (107 607,8 / 84 553,2) * 100% = 127,27 (%)

2.2 Базисные: Тр_б = (y_i / y₀) *100%

 

Тр₁₉₉₉ = (y₁₉₉₉ / y₁₉₉₈) * 100% = (36 845,1 / 22 889,0) *100% = 160,97 (%);

Тр₂₀₀₀ = (y₂₀₀₀ / y₁₉₉₈ ) * 100% = (62 562,7 / 22 889,0) * 100% = 273,33 (%);

Тр₂₀₀₁ = (y₂₀₀₁ / y₁₉₉₈) * 100% = (68 205, 9 / 22 889,0) * 100% = 297,99 (%);

Тр₂₀₀₂ = (y₂₀₀₂ / y₁₉₉₈ ) * 100% = (84 553,2 / 22 889,0) * 100% = 369,41 (%);

Тр₂₀₀₃ = (y₂₀₀₃ / y₁₉₉₈) *100% = (107 607,8 / 22 889,0) *100% = 470,13 (%).

 

 

3. Определим темпы прироста:

 

 

3.1 Цепные: Т_пр = (Δ / y_i-1) *100%

 

Тпр₁₉₉₉ =( Δ₁₉₉₉ / y₁₉₉₈) * 100% = (13 956,1 / 22 889,0)*100% = 60,97 (%);

Тпр₂₀₀₀ = (Δ ₂₀₀₀ / y₁₉₉₉ ) * 100%= (25 717,6  / 36 845,1) * 100% = 69,8 (%);

Тпр₂₀₀₁ = (Δ ₂₀₀₁ / y₂₀₀₀) * 100% = (5 643,2  / 62 562,7) * 100% = 9,02 (%);

Тпр₂₀₀₂ = (Δ ₂₀₀₂ / y₂₀₀₁)*100% = (16 347,3  / 68 205,9) * 100% = 23,97 (%);

Тпр₂₀₀₃ = (Δ ₂₀₀₃ /y₂₀₀₂) *100% = (23 054,6 / 84 553,2) * 100% = 27,27 (%)

 

3.2 Базисные: Тпр_б = (Δ / y₀) *100%

 

Тпр₁₉₉₉ = (Δ ₁₉₉₉ / y₁₉₉₈) * 100% = (13 956,1 / 22 889,0) *100% = 60,97 (%);

Тпр₂₀₀₀ = (Δ ₂₀₀₀ / y₁₉₉₈ ) * 100% = (39 673,7 / 22 889,0) * 100% = 173,33 (%);

Тпр₂₀₀₁ = (Δ ₂₀₀₁ / y₁₉₉₈) * 100% = (45 316,9  / 22 889,0) * 100% = 197,99 (%);

Тпр₂₀₀₂ = (Δ ₂₀₀₂ / y₁₉₉₈ ) * 100% = (61 664,2  / 22 889,0) * 100% = 269,41 (%);

Тпр₂₀₀₃ = (Δ ₂₀₀₃ / y₁₉₉₈) *100% = (84 718,8 / 22 889,0) *100% = 370,13 (%).

 

 

4. Рассчитаем показатель абсолютного значения 1 % прироста:

 

I % I = Δ/Т_пр. = > 0,01 * y_i-1

 

I % I ₁₉₉₉ = 0,01 * y_i-1 = 0,01 * 22 889,0 = 228,89  (млн. руб.);

I % I ₂₀₀₀ = 0,01 * y_i-1 = 0,01 * 36 845,1= 368,45  (млн. руб.);

I % I ₂₀₀₁ = 0,01 * y_i-1 = 0,01 * 62 562,7= 625,63  (млн. руб.);

I % I ₂₀₀₂ = 0,01 * y_i-1 = 0,01 * 68 205,9= 682,06  (млн. руб.);

I % I ₂₀₀₃ = 0,01 * y_i-1 = 0,01 * 84 553,2= 845,53  (млн. руб.)

 

5. Среднегодовой объем ВРП

 

Среднегодовой объем ВРП = ∑ВРП/ n = (22 889,0+36 845,1+62 562,7 +68 205,9 +84 553,2 + 107 607,8)/ 6 = 382 663,7/ 6 = 63 777,28 (млн. руб.)

 

6. Среднегодовой абсолютный прирост ВРП.

 

Δ_ср. = ∑ Δ_ц./ n – 1 = (13 956,1+25 717,6  + 5 643,2  + 16 347,3  + 23 054,6) / (6 – 1) = 84 718,8 / 5 = 16 943,76 (млн. руб.)

 

 

7. Средний темп роста

 

Средний темп  рост рассчитаем по формуле  средней геометрической:

 

Т_ср. = (К₁ *К₂….К_n)^1/m

 

где,  К – коэффициент роста;

1/m – число коэффициентов роста.

 

К₁ = ВРП ₁₉₉₈/ВРП₁₉₉₈ = 22 889/22 889 = 1;

К₂ = ВРП ₁₉₉₉/ВРП₁₉₉₈ = 36 845,1/22 889 = 1,609729564;

К₃ = ВРП ₂₀₀₀/ВРП₁₉₉₈ = 62 562,7/22 889 = 2,733308576;

К₄ = ВРП ₂₀₀₁/ВРП₁₉₉₈ = 68 205,9/22 889 = 2,979854952;

К₅ = ВРП ₂₀₀₂/ВРП₁₉₉₈ = 84 553,2/22 889 = 3,694053912;

К₆ = ВРП ₂₀₀₃/ВРП₁₉₉₈ = 107 607,8/22 889 = 4,701288829.

 

 

Т_ср. = (К₁ *К₂….К_n)^1/m = (1 * 1,609729564 * 2,733308576 * 2,979854952 * 3,694053912 * 4,701288829) ^1/6 = (227,6967711) ^1/6 = 2,471114175 или 247,11%

 

 

8. Средний темп прироста

 

Средний темп прироста получим, вычтя из среднего темпа роста 100%

 

247,11% - 100% = 147,11%

 

Вывод: В среднем за рассматриваемый период ВРП повысилось на 147,11%

 

 

 

Задание 6. Себестоимость изделия А снижена на 5 %, изделия Б – на 3 %, изделия В – на 8%. После снижения себестоимости затраты на производство  изделия А составили – 2000 тыс. руб., изделия Б – 1000 тыс. руб., изделия В – 2550 тыс. руб.

Определите общий индекс себестоимости  изделий.

 

Решение

I_z = ∑z₁q₁/∑ z₁q₁/i_z = (2000+1000+2550)/(2000/0,995+1000/0,997+2550/0,992) =

 

= 5550/5583,624 = 0,993978 или 99,4%

 

 

 

 

 

 

 

 

Продукция	Затраты на производство продукции, тыс.руб.		Изменение себестоимости в марте  по сравнению с январем, %
	январь	март
А Б В	500 1120 950	580 1340 830	-1,5 -2,1 +1,8