Контрольная работа по "Статистике". 418

 

Федеральное агентство по образованию

федеральное государственное образовательное учреждение

 высшего профессионального  образования

«Сибирская академия государственной  службы»

 

                          Институт переподготовки специалистов

 

                                       КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

 по дисциплине:                «СТАТИСТИКА»________________________                  

 

                                                      Вариант 1

 

 

 

 

 

 

 

                                                                            Выполнил:

                                                                            Ермолаева Н.А.

                                                                           080504 «Государственное и

                                                                            муниципальное управление»

                                                                            Группа № 10202

                                                                            Проверил:

                                                                            Старший преподаватель кафедры

                                                                            «Налогообложения и учёта»

                                                                             Шмакова М.Н.

 

                                           

 

 

                                             Новосибирск 2011

       Протокол проверки:

Дата проверки
Оценка
Комментарии преподавателя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Средняя арифметическая, способы расчета, свойства

 

В статистической практике из всех видов средних чаще всего  используется средняя арифметическая. Ее расчет осуществляется по-разному  для не сгруппированных и сгруппированных данных.

Средняя арифметическая – самый распространенный вид средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается именно средняя арифметическая. Она исчисляется в тех случаях, когда объем усредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

Рассмотрим пример:

Требуется вычислить  средний стаж работы 12 работников рекламного агентства. При этом известны индивидуальные значения признака (стажа) в годах: 6,4,5,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

  

Как видно, средняя арифметическая может оказаться дробным числом, если даже индивидуальные значения признака заданы только целыми числами. Это вытекает из сущности средней арифметической, которая есть величина абстрактная (теоретическая), т.е. она может принимать такое числовое значения, которое не встречается в представленной совокупности индивидуальных значений признака.

Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое  имело бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности.

Отметим, что в этом примере одно и тоже значение признака встречается несколько раз. Объединив  данные по величине признака и подсчитав число случаев повторения каждого из них, проведем расчет среднего стажа по сгруппированным данным с помощью формулы средней взвешенной арифметической.

Таблица 1

Стаж работы, годы	3	4	5	6	7	Итого
Количество работников, человек	3	2	4	2	1	12

Легко заметить, что средняя  арифметическая взвешенная, по которой  производился расчет в рассмотренном  примере, не имеет принципиальных отличий  от простой средней арифметической (среднее, рассчитанные по разным формулам совпадают), просто суммирование f раз одного и того же значения признака (варианта) заменено в ней умножением варианта на f.

Однако естественно, что при  этом величина средней зависит уже  не только от величины индивидуальных значений признака (как в простой средней арифметической), но и от соотношения их весов (частот). Чем большие веса имеют малые значения вариантов, тем меньше величина средней и наоборот.

При расчете средних по сгруппированным  данным следует учитывать, что большое  значение имеет обоснование и выбор веса при расчете средней арифметической взвешенной.

Приведем пример.

 Имеются данные  о доли экспорта в стоимости  товарной продукции предприятий,  выпускающие минеральные удобрения. 

 

 

 

 

                                                                                           Таблица 2

Доля экспорта в товарной продукции	Число предприятий	Товарная продукция предприятий  группы млн. руб.
0,15	5	200
0,2	7	460
0,3	4	600
Итого:	16	1260

 

Средняя доля экспорта, исчисленная  как средняя арифметическая взвешенная по числу предприятий, является формальной средней

Логически обоснованным можно считать выбор в качестве весов объемов товарной продукции  в каждой группе предприятий с  определенной долей экспорта, поскольку доля экспорта получается деление объема экспорта на товарную продукцию предприятия.

Теперь, в числители  мы получили общую стоимость экспортной продукции, а в знаменателе —  общую стоимость всей товарной продукции (6 предприятий). Таким образом, в результате расчета определенна средняя доля экспорта предприятий исследуемой совокупности, равная 0,24 (24 %).

Средняя арифметическая взвешенная применяется также при  вычислении общей средней для  всей совокупности из частных (групповых) средних. Например, одним из современных индикаторов качества жизни населения являются его вклады на счета государственных и коммерческих банков с целью получения дополнительных доходов. Располагая данными о числе вкладчиков и размере вклада за 1-й квартал 1995 г. по трем филиалам Сбербанка одного района города, можно определить средний размер вклада.

 

                                                                                            Таблица 3

№ филиала Сбербанка	Число вкладчиков, чел.	Средний остаток по вкладу, млн. руб. (Х)
589/082	1350	1,50
578/080	1290	1,81
534/085	22050	2,05

 

      Для определения среднего остатка вклада по трем филиалам в целом следует общую сумму остатков по вкладам для всех вкладчиков разделить на общее число вкладчиков. Использую таблицу, имеем формулу:

                                           

где Х_i — среднее значение признака по каждой группе (в нашем примере — средний остаток по вкладу отдельного филиала);

w_i  — веса средней (число вкладчиков по каждому филиалу).

Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, которые определяют ее широкое применение в экономических  расчетах и в практике статистического  исследования.

Свойство 1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной А = А при А const.

Свойство 2. (нулевое) Алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: для первичного ряда и для сгруппированных данных (d_i — линейное (индивидуальные) отклонения от средней, т.е. ). Это свойство можно сформулировать следующим образом: сумма положительных отклонений от средней равна сумме отрицательных отклонений. Логически оно означает, что все отклонения от средней в ту или другую сторону, обусловленные случайными причинами, взаимно погашаются.

Свойство 3 (минимальное). Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное: или

  , где , что означает: сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической всегда меньше суммы квадратов отклонений вариантов признака от любого значения (А), сколь угодно отличающегося от средней у выбранной единицы исследуемой совокупности.

Для сгруппированных  данных имеем: или .

Минимальное и нулевое свойства средней арифметической применяются для проверки правильности расчета среднего уровня признака; при изучении закономерностей уровня ряда динамики; для нахождения параметров уравнения регрессии при изучении корреляционной связи между признаками.

Рассмотренные свойства выражают сущностные черты средней  арифметической. Существуют также расчетные (вычислительные) свойства средней  арифметической, имеющие прикладное значение:

Если значения признака каждой единицы совокупности (все  усредняемые варианты) уменьшить или увеличить на одну и ту же величину А, то и со средней арифметической произойдут аналогичные изменения;

если значения признака каждой единицы совокупности разделить  или умножить на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится в А раз;

если вес (частоту) каждого значения признака разделить на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая не изменится.

В настоящее время  вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность в связи с использованием ЭВТ при расчете обобщающих статистических показателей.  
 Средняя гармоническая величина, как и средняя арифметическая может быть простой и взвешенной. Если веса у каждого значения признака равны, то можно использовать среднюю гармоническую простую:

Однако в статистической практике чаще применяется средняя  гармоническая взвешенная. Она используется, как правило, при расчете общей  средней из средних групповых.

На основе имеющихся  данных по трем филиалам Сбербанка города за 2-й квартал 1995 г. имеем таблицу:

 Таблица 4

№ филиала Сбербанка	Средний остаток по срочному вкладу, млн. руб. (Х)	Общая сумма остатков по срочному вкладу всех вкладчиков, млн руб ()
589/082	1,67	1897,8
578/080	2,80	540,0
534/085	3,25	6987,5

 

Для определения среднего остатка вклада по трем филиалам в  целом необходимо общую сумму  остатков по вкладам разделить на общее число вкладчиков. Число  вкладчиков по каждому филиалу вычисляется  делением общей суммы остатков по вкладам на средний остаток по вкладу. Используя таблицу, расчет среднего остатка по вкладу в целом для всей совокупности банков выполним по формуле:

                

Так как наблюдались  одни и те же филиалы банков, можно  проследить динамику среднего остатка по вкладам (или среднего вклада) во 2 квартале по сравнению с первым. Средний остаток по срочному вкладу с ежемесячной выплатой дохода увеличился на 49,7%((2,74/1,83)*100 - 100 %), что составило 910 тыс. руб. Причины, которые могли повлиять на это изменение, прежде всего количество вкладчиков, увеличение суммы вкладов, а также процентные ставки банка.

Логическая формула  вытекает из сущности средней, ее социально-экономического содержания. Средняя величина признака — это отношение. Поэтому прежде чем оперировать цифрами, нужно выяснить, соотношением каких показателей является средняя в данном конкретном случае. Это исходное соотношение необходимо записать словами в виде формулы, которую и называют логической формулой средней.

 

 

После того как записана логическая формула средней, которую  нужно вычислить, необходимо внимательно  рассмотреть имеющиеся для вычисления данные и заменить словесные обозначения  числителя и знаменателя логической формулы средней соответствующими цифровыми данными, после чего остается только провести необходимые вычисления.

Этот принцип обеспечивает правильный выбор формы средней, а, следовательно, и правильное определение  величины средней. И еще одно важное свойство принципа логической формулы в том, что здесь не возникает проблема выбора весов средней.

При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, и построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики (причем временные отрезки ряда динамики одинаковы). Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая величина используется также для  определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака.

Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 1

 

ЗАДАЧА №1

 

Имеются следующие  данные по фермерским хозяйствам области:

 

Группы хозяйств по себестоимости 1ц сахарной свёклы, руб.	Число хозяйств	Валовый сбор в среднем на одно хозяйство, ц
до 22 22-24 24-26 26 и более	32 58 124 17	111,3 89,7 113,5 130,1

 

 

Определите среднюю себестоимость 1 Ц сахарной свёклы в целом по фермерским хозяйствам области.

 

Решение:

В качестве варианты (х) будем  рассматривать себестоимость 1 ц сахарной свёклы. Осредняемый признак – себестоимость 1 ц сахарной свёклы.

Следовательно, средняя  себестоимость может быть рассчитана по формуле средней гармоничной. При расчёте учитываем, что значения признака представлены в виде интервалов, поэтому устанавливаем центры интервалов. Берём полусумму каждого интервала (его центр), считая, что этот центр является средней, характеризующей свою совокупность величин, находящихся в данном интервале. В расчёте будут использованы середины интервалов:

 

Средняя себестоимость1 ц сахарной свёклы – 24,07 руб.

Ответ: 24,07 руб.

                                        

                                      ЗАДАЧА № 2

 

 Имеются данные о возрастном составе работников фирмы:

 

Возраст, лет	Число человек
18-20 21-23 23-25 26-28 29-31	2 6 20 9 5	19 22 24 27 30

 

Вычислите на основании этих данных показатели вариации (размах, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Сделайте выводы.

 

Решение:

Рассчитаем показатели вариации, характеризующие возраст  работников фирмы:

1.Размах вариации:

_{2.Средняя  арифметическая:}

_{3.Среднее  линейное  отклонение:}

_{Возраст отдельно взятого работника фирмы отклоняется от среднего по совокупности возраста (24 года) на 2 года. Значит, можно утверждать , что возраст наибольшего числа работников фирмы не будет выходить за пределы интервала от: 22 до 26,9 лет}

_{4.Среднее  квадратическое отклонение:}

Среднее квадратическое отклонение также  характеризует абсолютную величину отклонения индивидуального значения от средней. Как правило, среднее квадратическое отклонение больше среднего линейного отклонения.

_{5.Дисперсия:}

_{Дисперсия характеризует квадрат  отклонений индивидуального  значения от средней  величины.}

_{6.Коэффициент  вариации:}

Средний процент отклонений индивидуальных значений от средней  величины составляет 15,7 %. Совокупность однородная.

 

                                                 ЗАДАЧА № 3

Известно выборочное распределение школьников в зависимости  от времени, уделяемого ими на подготовку к занятиям в течение недели:

Количество часов	Число учащихся
0-5 5-10 10-15 15-20 20 и более	5 30 45 25 2

 

Определите  предельную ошибку для числа часов, уделяемых в среднем одним  учащимся на подготовку к занятиям, по всей совокупности школьников, учитывая, что наблюдению подвергнуто 50% учеников. Уровень гарантийной вероятности – 0,997.

 

Решение: 1.

 

Таблица для расчета  средней продолжительности времени  на подготовку:

 

2,5	5	12,5
7,5	30	225
12,5	45	562,5
17,5	25	437,5
22,5	2	45
итого:	107	1282,5

 

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

 

 

 

2.Коэффициент вариации:

3.Предельная ошибка  выборочной средней:

p=0,997 t=3

 

                                      ЗАДАЧА №4

Имеются следующие  данные о производстве продукции:

Вид изделия	Базисный период		Отчетный период
	Объем продукции, т.шт.	Себестоимость одного изделия, р.	Объем продукции, т.шт.	Себестоимость одного изделия, р.
А Б С	20 25 40	40 50 60	25 18 30	38 50 63

 

Используя индексный  метод, проведите анализ изменения  затрат на произведенную продукцию. Для этого рассчитайте индексы затрат, себестоимости и объема продукции. Сделайте выводы.

Определите  сумму экономии (перерасхода) от снижения (увеличения) себестоимости продукции.

 

 

 

 

 

Решение:

а) Общий индекс затрат на производство продукции:

 

б) Общий индекс себестоимости продукции:

 

 

в)Общий индекс физического  объема производства продукции:

 

Вывод: затраты на производство снизились на 34,2%, это произошло  за счет снижения объемов производства на 55,3% и повышении себестоимости  продукции на 47,2%.

 

Сумма экономии (перерасхода):

Э= руб.

(перерасход от снижения  себестоимости).

 

                                    ЗАДАЧА № 5

Рассчитайте среднегодовой  темп прироста объема производства на основании следующих данных:

 

Год	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Производство продукции, тыс. шт.	130	140	160	155	150	175

 

 

Решение:

 

 

Год	Производство продукции, тыс. шт.	Абсолютный прирост, тыс. шт.		Темп роста, %		Темп прироста, %		Абсолютное значение 1% прироста, тыс. шт.
		Базисный	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной
2001	130	-	-	100,0	-	-	-	-
2002	140	10	10	107,7	107,7	7,7	7,7	1,3
2003	160	30	20	123,1	114,3	23,1	14,3	1,4
2004	155	25	-5	119,2	96,9	19,2	-3,1	1,6
2005	150	20	-5	115,4	96,8	15,4	-3,2	1,55
2006	175	45	25	134,6	116,7	34,6	16,7	1,5

 

1)Абсолютный прирост

  ,

140-130=10;

160-130=30;

155-130=25;

150-130=20;

175-130=45

,

140-130=10;

160-140=20;

155-160=-5;

150-155=-5;

175-150=25

2) Темп роста

,

140/130 * 100%= 107,7;

160/130*100%=123,1;

155/130*100%=119,2;

150/130*100%=115,4;

175/130*100%=134,6

,

140/130*100%=107,7;

160/140*100%=114,3;

155/160*100%=96,9;

150/155*100%=96,8;

175/150*100%= 116,7;

3) Темп прироста

,

107,7-100=7,7;

123,1-100=23,1;

119-100=19,2;

115,4-100=15,4;

134,6-100=34,6;

  ,

107,7-100=7,7;

114,3-100=14,3;

  96,9-100=-3,1;

96,8 -100= -3,2;

116,7-100=16,7;

4)Абсолютное значение 1% прироста

130/100=1,3;

140/100=1,4;

160/100=1,6;

155/100=1,55;

150/100=1,5

5)Средний темп прироста

или (6,2 %).