Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Теории веротяности и математической статистике"

Контрольная работа по теории веротяности и математической статистике для ВЗФЭИ по методическим указаниям 2010 года. Выполнено авторским коллективом ООО «Взфэи-архив.рф» © 2011. Avzfei.ru. Авторские права на данную работу зарегистрированы Российским авторским обществом КОПИРУС совместно с Федеральным государственным учреждением Российская государственная библиотека - РГБ.

Электронная версия данного текстовой работы предназначена исключительно для ознакомления. Незаконное распространение, публикация (в том числе и на интернет-ресурсах), передача третьим лицам текста данной работы, либо фрагментов текста данной работы без прямой цитаты и согласования с правообладателем преследуется по закону, а лица виновные в данных правонарушениях несут ответственность, предусмотренную главой 4 Гражданского Кодекса РФ.

Если Вы обнаружили данную работу на каком-либо сайте, кроме avzfei.ru, взфэи.su, взфэи-архив.рф – немедленно сообщите об этом на адрес электронной почты: [email protected] – Вознаграждение сообщившему гарантируется!

Контрольная работа № 3

Вариант 10

Задача № 1

На первом станке обработано 20 деталей, из них семь с дефектами, на втором – 30, из них четыре с дефектами, на третьем – 50 деталей, из них 10 с дефектами. Все детали сложены вместе. Наудачу взятая деталь оказалось без дефектов. Какова вероятность того, что она обработана на третьем станке?

Решение.

Если событие А может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий (гипотез), то вероятность появления события определяется по формуле полной вероятности , где – вероятность гипотезы ,

– условная вероятность события при гипотезе .

Пусть – событие, состоящее в том, что взятая деталь не имеет дефектов.

Вероятность того, что взятая деталь не имеет дефектов, зависит от того, на каком станке обработана эта деталь. При этом возможны следующие гипотезы:

– деталь обработана на первом станке;

– деталь обработана на втором станке;

– деталь обработана на третьем станке.

Найдём вероятности гипотез: ;

; .

Найдем условные вероятности события :

– вероятность того, что деталь, обработанная на первом станке, не имеет дефектов. .

– вероятность того, что деталь, обработанная на втором станке, не имеет дефектов. .

– вероятность того, что деталь, обработанная на третьем станке, не имеет дефектов. .

Найдем вероятность того, что взятая деталь не имеет дефектов, то есть вероятность события , по формуле полной вероятности:

Наконец, найдем вероятность того, что наудачу взятая деталь, оказавшаяся без дефектов, обработана на третьем станке, то есть найдем вероятность события при условии наступления события , по формуле Байеса:

Ответ: .

Задача № 2

Сколько семян следует взять, чтобы с вероятностью не менее чем 0,9545 быть уверенным, что частость взошедших семян будет отличаться от вероятности не более, чем на 2 % (по абсолютной величине)?

Решение.

Воспользуемся тем, что для относительной частоты (частости) события в независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с вероятностью , неравенство Чебышева принимает вид , где

– вероятность непоявления события в каждом из испытаний, .

В нашем случае ; ; ;

Неравенство имеет место для таких значений , при которых выполнено неравенство , то есть неравенство .

Итак, начиная с независимых испытаний, имеет место неравенство .

Таким образом, следует взять не менее 4945 семян, чтобы с вероятностью не менее чем 0,9545 быть уверенным, что частость взошедших семян будет отличаться от вероятности не более, чем на 2 % (по абсолютной величине).

Ответ: .

Задача № 3

Завод «Пино» (г. Новороссийск) отправил в Москву 2000 бутылок вина «Каберне». Вероятность того, что в пути может разбиться бутылка, равна 0,002. Какова вероятность того, что в пути будет разбито не более пяти бутылок?

Решение.

Здесь мы имеем дело с независимыми испытаниями, каждое из которых заключается в перевозке бутылки вина «Каберне» с завода «Пино» в Москву. Число испытаний в нашем случае .

Пусть – событие, которое заключается в том, что в пути бутылка вина разбилась.

Вероятность того, что в пути будет разбито не более пяти бутылок равна .

Вычислить искомую вероятность по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Искомую вероятность можно вычислить, используя асимптотическую (приближённую) формулу Пуассона.

Итак, воспользуемся теоремой Пуассона:

если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала , число испытаний – велико и число – незначительно , то вероятность того, что событие появится раз в независимых испытаниях вычисляется по приближённой формуле , где – функция Пуассона.

В нашем случае вероятность появления события постоянна и мала, число независимых испытаний велико, число .

Значит вероятность появления события не более 5 раз в 2000 испытаниях:

По таблице значений функции Пуассона находим:

; ; ;

; ; .

Следовательно, вероятность того, что в пути будет разбито не более пяти бутылок равна

Ответ: .

Задача № 4

Одна из случайных величин задана законом распределения

0,2

0,3

0,5

: ,

а другая имеет биномиальное распределение с параметрами , . Составить закон распределения их разности. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение.

Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения с параметрами и , если она принимает значения с вероятностями , где , , ;

– число сочетаний из элементов по .

Биномиальный закон распределения с параметрами и представляет собой закон распределения числа наступлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью .

Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

…

Математическое ожидание случайной величины , распределённой по биномиальному закону, , а её дисперсия .

В нашем случае биномиальный закон распределения имеет параметры и , то есть случайная величина принимает значения с вероятностями , где , , .

;

Таким образом, заданный закон биномиального распределения случайной величины имеет вид:

0,36

0,48

0,16

Найдём закон распределения случайной величины .

Разностью случайных величин и называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида , где , , с вероятностями того, что случайная величина примет значение , а – значение : . Если случайные величины и независимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий .

Для удобства нахождения всех значений разности и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом верхнем углу значения разности , а в правом нижнем углу – вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин и (в нашем случае случайные величины и независимы).

		0	1	2
		0,36	0,48	0,16
0	0,2	0 0,072	0,096	0,032
1	0,3	1 0,108	0 0,144	0,048
3	0,5	3 0,18	2 0,24	1 0,08

Так как среди 9 значений имеются повторяющиеся, то соответствующие вероятности их складываем по теореме сложения вероятностей:

; ;

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

0,032

0,144

0,216

0,188

0,24

0,18

Убеждаемся в том, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1.

Действительно, .

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

…

Математическое ожидание дискретной случайной величины , закон распределения которой имеет вид , вычисляется по формуле .

В нашем случае .

Дисперсия характеризует степень изменчивости значений случайной величины относительно её математического ожидания. Дисперсию дискретной случайной величины определим по формуле:

, где .

значит .

0,032

0,144

0,216

0,188

0,24

0,18

Ответ: ; ; .

Задача № 5

Полагая, что длина изготавливаемой детали есть нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением , найти вероятность того, что длина наугад взятой детали заключена в интервале .

В каких границах (симметричных относительно ) будет заключена длина наугад взятой детали с вероятностью 0,95?

Решение.

Пусть случайная величина – длина изготавливаемой детали.

1) Найдём вероятность того, что примет значение из интервала .

Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределённой случайной величины вычисляется по формуле: , где

– функция Лапласа,

– математическое ожидание случайной величины ;

– среднее квадратическое отклонение.

По таблице значений функции Лапласа находим: , .

Значит вероятность того, что примет значение из интервала :

2) Вероятность заданного отклонения нормально распределённой случайной величины

вычисляется по формуле: , где – функция Лапласа,

– математическое ожидание случайной величины ;

– среднее квадратическое отклонение.

Определим, в каких границах (симметричных относительно ) будет заключена длина наугад взятой детали с вероятностью 0,95.

Для этого из равенства , то есть выразим :

; , откуда по таблице значений функции Лапласа

; ; .

Таким образом, точность длины (т.е. отклонение от её среднего значения), которую можно гарантировать с вероятностью 0,95, составляет . Следовательно, длина наугад взятой детали с вероятностью 0,95 будет заключена в следующих границах (симметричных относительно ):

Ответ: ; длина наугад взятой детали с вероятностью 0,95 будет заключена в интервале .

КР № 4 По ВАР 10

Можно купить.

Цена – 500р.

Оплата: webmoney, yandex.деньги

Обращаться [email protected]

КР №4 ВАРИАНТ 10

Задача № 1

По схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено 10 % - ное обследование строительных организаций региона по объёму выполненных работ. Результаты представлены в таблице:

Объём работ, млн. руб.	Менее 56	56 – 60	60 – 64	64 – 68	68 – 72	Более 72	Итого
Число организаций	9	11	19	30	18	13	100

Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключён средний объём выполненных работ всех строительных организаций региона;

б) вероятность того, что доля всех строительных организаций, объём работ которых составляет не менее 60 млн. руб., отличается от доли таких организаций в выборке не более чем на 0,05 (по абсолютной величине);

в) объём бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объёма выполненных работ (см. п. а)) можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

………………………….

Задача № 2

По данным задачи 1, используя – критерий Пирсона, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина – объём выполненных работ – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

……………

Задача № 3

Распределение 100 средних фермерских хозяйств по числу наёмных рабочих (чел.) и среднемесячной заработной плате на одного человека (тыс. руб.) представлено в таблице:

Y Х	10 – 20	20 – 30	30 – 40	40 – 50	50 – 60	Свыше 60	Итого
102						10	10
103					6	15	21
104			10	11	8		29
105			8	3			11
106		5	6				11
107	5	9	4				18
Итого	5	14	28	14	14	25	100

Необходимо:

Вычислить групповые средние и , построить эмпирические линии регрессии.
Предполагая, что между переменными и существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными и ;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднемесячную заработную плату одного рабочего фермерского хозяйства, в котором работает 10 наёмных рабочих.

КР № 4 По ВАР 10

Можно купить.

Цена – 500р.

Оплата: webmoney, yandex.деньги

Обращаться [email protected]

Контрольная работа по Теории веротяности и математической статистике 📙 Контрольная → 🆔 70529