Контрольная работа по "Теории вероятностей". 4

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ  

 

ЗАДАНИЕ № 1 

Вычисление вероятностей с помощью  формул комбинаторики 

 

Пример:  В партии из  N = 10  деталей имеется L = 7  стандартных.

Наудачу отобраны  k = 6  деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно r = 4  стандартных.

Решение: Число n  всех возможных элементарных исходов выбора равно числу способов, которыми можно извлечь k  деталей из  N  деталей, т.е.  n = – числу сочетаний из  N элементов по  k.

n =    =    =    = 210

Подсчитаем число исходов, составляющих интересующее нас событие А – (среди k  деталей ровно r  стандартных). Из  k  стандартных деталей взять r  стандартных деталей можно   способами,  при этом  остальные k – r  деталей должны быть нестандартными; взять их из  N – L  нестандартных деталей можно    способами. Число m  всех благоприятствующих  А  исходов равно произведению  m = · .

m  =  ·   =  ·   =  ·   =  105.

Вероятность события  А  равна отношению m – числа исходов, благоприятствующих событию А,  к n – числу всех возможных элементарных исходов

Р(А)  =    =      =  0,5.

Контрольные задачи 1 – 10

1. Из 100 изготовленных пальто оказалось  7 третьего сорта, а остальные  пальто первого и второго сорта.  Какова вероятность, что пять  отобранных пальто будут первого или второго сорта.

2. Студент знает 30 из 40 вопросов  программы. Каждый билет содержит  два вопроса программы. Найти  вероятность того, что студент  знает оба вопроса билета.

3. Из урны, в которой 30 шаров  белых и 4 красных, наудачу вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди них есть хотя бы один красный шар.

4. В партии из 10 приборов 8 не  имеют дефекта. Найти вероятность  того, что из двух наудачу взятых  приборов хотя бы один без  дефекта.

5. Из полного набора костей  домино наугад берут 3 кости.  Какова вероятность того, что хотя бы две из них дубли?

6. Открываются одна за другой  карты колоды из 36 штук. Какова  вероятность того, что первой  картой пиковой масти окажется  пятая карта? 

7. В урне 6 белых и 5 красных шаров. Наугад последовательно без возврата вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара красные.

8. Среди 17 студентов группы, из которых восемь девушек, разыгрывается семь билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся четыре девушки?

9. Партия из 100 изделий содержит 40 изделий 1–го сорта, а остальные  второго сорта. Наудачу берут  4 изделия, найти вероятность того, что все они будут одного  сорта.

10. Найти вероятность того, что  в 4-х значном номере наудачу  взятой машины: а) все цифры различны, б) все цифры одинаковы. 

 

 

  

 

 

 

ЗАДАНИЕ № 2 

Вычисление вероятностей независимых  событий 

 

Пример: Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих автомата – сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна  p₁ = 0,95, второй – p₂ = 0,9. Найти вероятность события А – при аварии поступит сигнал хотя бы от одного сигнализатора.

Решение: Событие А  может осуществиться, если произойдет одно из следующих событий: сработает первый сигнализатор и одновременно не сработает второй – А_{1 2}; сработает второй сигнализатор и одновременно не сработает первый – ₁А₂; одновременно сработают оба сигнализатора – А₁А₂, т.е.  А = А_{1 2} + ₁А₂ + А₁А₂. Вероятности противоположных событий ₁  и  ₂ соответственно равны  q₁ = 1 – p₁ = 0,05  и q₂ = 1 – p₂ = 0,1. События, составляющие  А,  несовместны (не могут произойти одновременно), поэтому вероятность события А  равна

Р(А) = Р(А_{1 2}) + Р( ₁А₂) + Р(А₁А₂) = p₁·q₂ + q₁·p₂ + p₁· p₂ = 0,995.

2–й способ: Событие   противоположное А  произойдет, если одновременно не сработают оба сигнализатора – _{1 2}. Тогда вероятность события А  равна        

Р(А) = 1 – Р( _{1 2})  = 1 – q₁·q₂ = 1 – 0,005 = 0,995 

 

Контрольные задачи  11 – 20 

 

11. Трое охотников одновременно выстрелили в зайца. Найти вероятность того, что заяц будет убит, если каждый из охотников убивает зайца с вероятностью  0,5; 0,7  и  0,9  соответственно.

12. Два студента ищут нужную  книгу в магазинах. Вероятность  того, что книга будет найдена  первым студентом, равна 0,6, а вторым - 0,7. Найти вероятность того, что только один студент найдет книгу.

13. В электрической цепи 3 элемента, которые выходят из строя независимо  друг от друга с вероятностями  0,3; 0,2 и 0,1. Определить вероятность  разрыва цепи при параллельном соединении элементов.

14. Вероятность наличия нужного  материала на 1–й базе равна  0,9,  на 2–й – 0,95, на 3–й –  0,8, на 4–й – 0,6. Найти вероятность  того, что только на одной базе  окажется нужный материал.

15 Два стрелка делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком 0,7, а вторым равна 0,6. Найти вероятность того, что а) мишень будет поражена; б) только одно попадание в цель.

16. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй – 0,4, третий – 0,7. Найти вероятность того, что в течение часа только один станок не потребует внимания рабочего.

17. . Вероятность наличия нужного  материала на 1–й базе равна  0,9,  на 2–й – 0,95, на 3–й – 0,8, на 4–й – 0,6. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.

18. В электрической цепи 3 элемента, которые выходят из строя независимо друг от друга с вероятностями 0,3; 0,2 и 0,1. Определить вероятность разрыва цепи при последовательном соединении этих элементов.

19. Вероятность безотказной работы  блока, входящего в систему,  составляет 0,8. Для повышения надежности  устанавливают такой же резервной  блок. Найти вероятность безотказной  работы блока.

20. Три спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятности зачисления в сборную команду первого, второго и третьего спортсмена соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6, Найти вероятность того, что хотя бы один из этих спортсменов войдет в сборную.  

 

 

 

ЗАДАНИЕ № 3 

Формула полной вероятности 

 

Пример: За различными материалами послана автомашина наудачу на одну из трех баз. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0,9, на второй - 0,8, на третьей - 0,6. Найти вероятность того, что автомашина не привезет нужного материала.

Решение: Для получения нужного материала необходимо выбрать одну из баз. События Н₁, Н₂, Н₃ - взятие материала с определенных баз составляют полную группу событий, примем эти события за гипотезы,   их вероятности равны  Р(Н₁) = Р(Н₂) = Р(Н₃) = 1/3, т.к. гипотезы равновозможные. Условные вероятности события А – (нет нужного материала) соответственно равны  Р(АïН₁) = 1 – 0,9 = 0,1,  Р(АïН₂) = 0,2,  Р(АïН₃) = 0,4. Тогда по формуле полной вероятности получим

Р(А) = Р(АïН₁)·Р(Н₁) + Р(АïН₂)·Р(Н₂) + Р(АïН₃)·Р(Н₃) = 0,175. 

 

Контрольные задачи  21 – 30

21. В одной урне 5 белых и 8 красных,  а в другой 10 белых и 6 красных  шаров. Наудачу вынимают один  шар. Какова вероятность того, что он белого цвета?

22. Вероятность выполнить работу без ошибок для 10–ти студентов из группы равна 0,95; для 15–ти – 0,7, а для 3–х  остальных – 0,2. Преподаватель берет наудачу одну тетрадь для проверки. Какова вероятность того, что работа выполнена без ошибок?

23. На сборку поступило 3000 деталей с первого станка и 2000 со второго. Первый станок дает 0,2%, а второй 0,3% брака. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из не рассортированной продукции станков окажется бракованной. 

 

24. Имеется 2 партии одинаковых  изделий из 10 и 12 штук, причем в каждой партии по одному бракованному изделию. Наудачу взятое изделие из первой партии переложили во вторую, после чего наудачу взяли изделие из 2–й партии. Найти вероятность того, что оно бракованное.

25. В сосуд, содержащий 5 шаров,  опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из него белый шар, если предположения о первоначальном присутствии в сосуде от 0 до 5 белых шаров равновозможны?

26. Радиолампа, вставленная в телевизор,  может принадлежать к одной  из партий с вероятностями: 0,3: 0,2; 0,5. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий равны соответственно: 0,9; 0,8; 0,6. Найти вероятность того, что лампа проработает заданное число часов,  если она выбрана наудачу.

27. Студенту нужна книга, которая  может находиться в одной из 4–х библиотек с вероятностями 0,8; 0,7; 0.9; 0,75. Студент пошел в наудачу выбранную библиотеку. Какова вероятность того, что он получит книгу?

28. Команда разделена на 3 группы: старшая –5 человек, средняя  – 4 человека, младшая – 10 человек.  Вероятности занять первое место для членов каждой группы равны соответственно 0,2; 0,15; 0,1. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен станет чемпионом?

29. В ящиках находятся соответственно: I) 2 белых и 3 черных шара; 2) 4 белых и 3 черных шара: 3) 6 белых и 2 черных шара. Из наудачу выбранного ящика вынимают шар. Найти вероятность того, что он белый.

30. Легковые и грузовые автомобили  в транспортном потоке мимо  АЗС встречаются в отношении  5:3. На заправку заезжает каждая 8-я легковая и каждая 12-я грузовая. Какова вероятность того, что подъезжающая машина заедет на заправку? 

 

 

  

 

ЗАДАНИЕ № 4 

Формула Бернулли 

 

Пример: При массовом производстве деталей вероятность брака равна р = 0,1. Какова вероятность, что из 20 наугад взятых деталей: а) 5 бракованных; б) более 2-х бракованных?

Решение: Вероятность наугад взять одну бракованную деталь  р= 0,1, вероятность наугад взять одну хорошую деталь  q = 1 – р = 0,9, вероятность события А – из  n = 20 деталей взять k = 5 бракованных по формуле Бернулли Р_n^k =  C_n^kp^kq^n–k  равна

Р(А) = Р₂₀⁵=  C₂₀⁵·0,1⁵·0,9¹⁵  =  0,032.

Вероятность события  В – из  n = 20 деталей взять k > 2 бракованных равна   Р(k > 2) = 1 – Р(k £ 2) = 1 – (Р₂₀⁰ + Р₂₀¹ + Р₂₀²) = 1 – (C₂₀⁰·0,1⁰·0,9²⁰ + + C₂₀¹·0,1¹·0,9¹⁹ + C₂₀²·0,1²·0,9¹⁸) = 0,32.    

 

Контрольные задачи  31 - 40

31. Вратарь берет 1/3 ударов. Найти  вероятность того, что он возьмет  хотя бы 2 из 4 мячей.

32. Найти вероятность того, что  при 4–х подбрасываниях игральной  кости выпадет хотя бы один  раз четное число очков.

33. Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти первых покупателей: а) все пять первых покупателей потребуют обувь 41 размера; б) хотя бы один покупатель потребует обувь 41 размера; в) не менее двух  покупателей потребует обувь 41 размера.

34. Среди вырабатываемых рабочим  деталей в среднем 4% брака.  Какова вероятность того, что  среди взятых на испытание  пяти деталей:  а) не найдется  ни одной бракованной: б) хотя  бы одна  бракованная.

35. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 1/7. Какова вероятность того, что обладатель пяти билетов выиграет: а) по всем пяти билетам; б) хотя бы по одному билету; в) ни по одному билету.

36. На автобазе имеется 12 автомашин.  Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее восьми автомашин.

37. Всхожесть семян некоторого  растения составляет 70%. Какова вероятность  того, что из 10 посеянных семян взойдут: а) восемь семян; б) по крайней мере восемь; в) не менее трех.

38. Пусть вероятность того, что  наудачу взятая деталь нестандартная,  равна 0,1. Найти  вероятность  того, что среди взятых наудачу  шести деталей не более двух  окажутся нестандартными.

39. Пусть вероятность того, что  телевизор потребует ремонта  в течение гарантийного срока,  равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного  срока из шести телевизоров:  а) не более одного потребует  ремонта; б) хотя бы один  потребует ремонта.

40. Вероятность изготовления стандартной  детали равна 0,9. Какова вероятность  того, что среди 10 деталей окажется  не более одной нестандартной?

ЗАДАНИЕ № 5 

Формула Пуассона  

 

Пример: Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что в данную минуту она получит точно 2 вызова?

Решение:  Ожидаемое за минуту среднее число вызовов равно  λ = np = = 5. Вероятность события А – за минуту ровно  k = 2 вызова по формуле Пуассона  Р(к, l )=  равна

Р(А) = Р(2,5 )=   =    =  0,084  

 

Контрольные задачи 41 – 50

41. Пусть вероятность  нарушения герметичности банки  консервов равна 0,0005. Найти вероятность  того, что среди 2000 банок окажутся  с нарушением герметичности: а)  две; б) не более двух.

42. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется бракованных: а) восемь деталей; б) менее восьми деталей.

43. На прядильной  фабрике работница обслуживает  750 веретен. Считая, что вероятность  обрыва пряжи на каждом из веретен в течение некоторого промежутка времени равна 0,008, найти вероятность того, что за это время у работницы произойдет не более 5 обрывов.

44. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости равна 0,05. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что: а) в коробке не окажется бракованных сверл; б) число бракованных сверл будет не более трех.

45. Аппаратура содержит 2000 одинаково  надежных элементов, вероятность  отказа каждого из них равна  0,0005. Какова вероятность отказа хотя бы одного из элементов?

46. Вероятность того, что изделие  не выдержит испытание, равна  0,001. Найти вероятность того, что  из 5000 изделий более чем одно  не выдержит.

47. Вероятность того, что любой  абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,005. Телефонная станция обслуживает 600 абонентов.  Какова вероятность того, что в течение часа позвонит 5 абонентов; не менее 5 абонентов.

48. Имеется 50 кг теста для изготовления  булок и изюм в количестве 2500 изюминок. На каждую булку идет 100 г теста. Какова вероятность того, что в наугад взятой булке будет хотя бы одна изюмина?

49. ДСК отправил на стройку  500 оконных рам. Вероятность разбить  стекло в раме при перевозке  равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено менее трех рам.

50. Во время стендовых испытаний  подшипников качения 0,4% отходит  в брак. Какова вероятность того, что при случайном отборе 5000 подшипников  обнаружится не более 5 бракованных?  

 

ЗАДАНИЕ № 6 

Локальная и интегральная формулы  Лапласа 

 

Пример: Вероятность набить перфокарту неверно, равна  q = 0,2. Найти вероятность того, что среди n = 900  набитых перфокарт окажется: а) 720 набитых правильно; б) не менее 730 набитых правильно.

Решение: Вероятность события А – ровно  k = 720 перфокарт набито

правильно по локальной формуле Лапласа равна  Р(А) = ,  где    p = 1 – q = 0,8,  х = = = 0,  φ(x) =  – функция Гаусса, её значения приведены в приложении 1, а именно φ(0) = 0,3989,  и Р(А) =  = 0,033.

Для события В – правильно набито от  k₁ = 730 до k₂ = 900 перфокарт по интегральной формуле Лапласа имеем   Р(В) =  Φ(х₂) – Φ(х₁) ,   где  

 

х₁ =

= =0,833,  х₂ = = =15, 

 

  а значения функции Лапласа  приведены в приложении 2. Φ(15)=0,5, Φ(0,833) = 0,2967. Тогда вероятность события В равна

Р(В) =  Φ(15) – Φ(0) = 0,5 – 0,2967 = 0,203. 

 

Контрольные задачи  51 – 60

51. Вероятность рождения мальчика  равна 0,515. Какова вероятность  того, что среди 1000 новорожденных  окажется не менее 480 девочек?

52. При штамповке металлических  клемм получается в среднем  90% годных. Найти вероятность того, что среди 900 клемм окажется  от 790 до 820 (включительно) годных.

53. Вероятность сборки неточного  прибора равна 0,2. Найти вероятность  того, что среди 500 приборов окажется  от 410 до 430 (включительно) точных.

54. Всхожесть семян данного растения  составляет 90%. Найти вероятность  того, что из 900 посеянных семян взойдет не менее 800.

55. Пусть вероятность того, что  покупателю необходима обувь  41 размера, равна 0,3. Найти вероятность  того, что из 750 покупателей не  более 230 потребуют обувь этого  размера.

56. Предприятие имеет 2400 агрегатов. В каждый агрегат входит деталь, вероятность выхода из строя которой за время t равна 1/6. Отдел снабжения заготовил 400 запасных деталей. Найти вероятность того, что это количество запасных деталей обеспечит бесперебойную работу всех агрегатов в течение времени t.

57. Определить вероятность того, что ширина взятой наугад панели выйдет за допустимые пределы  297,5 - 302,5 см, если среднее значение ширины равно 3 м, а среднеквадратическое отклонение  1,5 см.

58. Поперечные размеры перегородок,  выпускаемых ДСК, распределяются по нормальному закону со средним значением  8 см  и среднеквадратичным отклонением  0,5 см. Какова вероятность, что поперечный размер наудачу взятой перегородки будет лежать в пределах от 7,6  до  8,З см.

59. Размер детали, выпускаемой цехом, есть нормально распределенная случайная величина со средним значением 5см и дисперсией 0,81см2. Определить максимально допустимое  отклонние от среднего значения,   которое не будет превзойдено при контроле детали  с вероятностью 0,95.

60 Пусть величина силы, действующей на балку, является нормальной случайной величиной со средним значением   20 кг  и среднеквадратичным отклонением 4 кг. Найти вероятность того, что величина силы будет находиться в интервале от 24 кг до 32 кг. 

 

ЗАДАНИЕ № 7

Статистическая обработка данных  

 

Пример: Дана выборка значений, полученных при наблюдении случайной величины Х, объема  n  =  240.

Построить полигон, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии  и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью  γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения. Задаваясь уровнем значимости  α = 0,01, проверить гипотезу о нормальном законе распределения  X  с помощью критерия Пирсона. 

 

50,0	56,0	61,0	65,1	67,0	70,1	73,1	75,2	81,0	86,0	64,3	73,0
51,0	56,5	61,1	65,2	67,1	70,2	73,2	75,3	81,3	87,0	64,4	78,7
52,0	57,0	61,2	65,3	67,2	70,3	73,3	75,4	81,6	88,0	64,5	78,8
53,0	57,0	61,3	65,4	67,3	70,4	73,4	75,6	81,9	89,0	64,6	78,9
54,0	57,0	61,4	65,5	67,4	70,5	73,5	75,8	82,2	90,0	64,7	79,0
55,0	58,0	61,5	65,6	67,5	70,6	73,6	76,0	82,5	70,0	64,8	79,2
59,0	61,6	65,7	67,6	70,7	73,7	76,1	82,8	83,7	74,4	64,9	79,4
59,0	61,7	65,8	67,7	70,8	73,8	76,2	83,1	84,0	74,5	65,0	79,6
60,0	61,8	65,9	67,8	70,9	73,9	76,3	83,4	84,3	74,6	68,0	79,8
62,0	66,0	67,9	71,0	74,0	76,4	84,6	74,2	78,5	75,0	69,9	80,0
62,1	66,1	68,0	71,1	73,0	76,5	84,9	74,3	78,6	64,2	74,0	77,5
62,2	66,2	68,1	71,2	73,1	76,6	63,2	67,1	69,0	72,1	74,1	77,6
62,3	66,3	68,2	71,3	73,2	76,7	63,3	67,2	69,1	72,2	74,2	77,7
62,4	66,4	68,3	71,4	73,3	76,8	63,4	67,3	69,2	72,3	74,3	77,8
62,5	66,5	68,4	71,5	73,4	76,9	63,5	67,4	69,3	72,4	74,4	77,9
62,6	66,6	68,5	71,6	73,5	77,0	63,6	67,5	69,4	72,5	74,5	78,0
62,7	66,7	68,6	71,7	73,6	77,1	63,7	67,6	69,5	72,6	74,6	78,1
62,8	66,8	68,7	71,8	73,7	77,2	63,8	67,7	69,6	72,7	74,7	78,2
62,9	66,9	68,8	71,9	73,8	77,3	64,0	67,8	69,7	72,8	74,8	78,3
63,0	67,0	68,9	72,0	73,9	77,4	64,1	67,9	69,8	72,9	74,9	78,4
50,0	56,0	61,0	65,1	67,0	70,1	73,1	75,2	81,0	86,0	64,3	73,0
51,0	56,5	61,1	65,2	67,1	70,2	73,2	75,3	81,3	87,0	64,4	78,7
52,0	57,0	61,2	65,3	67,2	70,3	73,3	75,4	81,6	88,0	64,5	78,8

 

 

Решение:

1. По формуле Стрэджеса определим  оптимальное число интервалов группировки данных  m = 1 + 2,7×lgN = 1+2,3lg240 = 7,5. Примем m = 8  и ширину каждого интервала d = (X_max - X_min)/m = (90 - 50)/8 = 5. Вычислим середины интервалов  X_i^ср,  найдем частоты n_i  попадания в каждый из интервалов, накопленные частоты  Sn_i  и получим эмпирические закон и функцию распределения в форме таблицы  

 

Х	50-55	55-60	60-65	65-70	70-75	75-80	80-85	85-90
Хiср	52,5	57,5	62,5	67,5	72,5	77,5	82,5	87,5
ni	6	9	38	61	66	41	14	5
Sni	6	15	53	114	180	221	235	240

 

 

Для наглядного представления построим полигон частот и

  ^{ni Х}

гистограмму,

^{ni/d Х}

и эмпирическую функцию распределения

^{Sni Х} 

 

2. Вычислим статистические оценки  параметров распределения:

Cреднее значение  Х_ср =  ,  Х_ср = = 70,3

Исправленную дисперсию  S² = = =50,9 и

Исправленное среднее квадратичное отклонение ,   S = = 7,13

3. Задаваясь доверительной вероятностью  g = 0,98, найдем доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.

По таблице распределения Стьюдента, Приложение 3, для  g = 0,99  и n > 120  имеем коэффициент t_g = 2,58  и математическое ожидание 

а = Х_ср ± t_gS/ = 70,3 ± 1,2,                     69,1 < а < 71,5.

По таблице распределения  c², Приложение 4, для g = 0,99  и числа значений  n = 240  имеем коэффициент  q = 0,12  и находим для среднего квадратичного отклонения

s = S ± qS = 7,13 ± 0,86 ,                        6,27 < s < 7,99.

4. Проверим гипотезу о нормальном  распределении с помощью критерия  Пирсона, при уровне значимости  a=0,01, означающем вероятность (риск) совершить ошибку при проверке гипотезы, а именно принять верной ошибочную гипотезу. По таблице Приложения 5 для числа степеней свободы  к = 8 – 3 = 5  имеем критическое значение  c²_кр =15,1, для которого  Р(c²>c²_кр) = a = 0,01.

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона  c²_набл = , _{где  niт = n[F( ) - F( )] – теоретические частоты,}

Х_i^прав, Х_i^лев – соответственно правая и левая границы интервалов разбиения данных. Результаты вычислений приведем в таблице  

 

Х	50-55	55-60	60-65	65-70	70-75	75-80	80-85	85-90
ni	6	9	38	61	66	41	14	5
niт	3,6	15,1	38,6	61,9	61,9	38,6	15,1	3,6
(ni-niт)2/niт	1,6	2,48	0,01	0,01	0,27	0,14	0,08	0,54

 

 

Получим  c²_набл = 5,14 < 15,1 = c²_кр, т.е. гипотезу о нормальном распределении случайной величины  Х  принимаем. 

 

Контрольные задачи   61 – 70

Даны результаты наблюдений случайной  величины  X.

1. Построить полигон, гистограмму,  эмпирическую функцию распределения.

2. Найти оценки математического  ожидания, дисперсии и среднего  квадратичного отклонения исследуемой случайной величины.

3. Задаваясь доверительной вероятностью  γ, найти доверительные интервалы  для математического ожидания  и среднего квадратичного отклонения.