Контрольная работа по "Теории вероятности". 10

Нижегородский институт менеджмента  и бизнеса. Неизвестная Е. В.

Содержание

Задание 1

Постановка  задачи

В мешочке  имеются карточки, на каждой из которых  написано по одной букве данного  слова. Случайным образом из мешочка  достают последовательно по одной  карточке. Найти вероятность того, что на расположенных в одну линию  карточках можно будет прочесть исходное слово КОЛОНКА.

Решение

Всего из имеющихся  букв можно составить 7! слов. n = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7 = 5040

Букв К – две, букв О – тоже две, следовательно, число  благоприятных исходов: m = 2! ∙ 2! = 4.

Вероятность того, что сложится слово КОЛОНКА равна: р =

Задание 2

Постановка  задачи

В вазе стоят т роз и n гвоздик. Выбирается случайным образом 6 цветов. Найти вероятность того, что выбранными окажутся: а) k роз; б) не менее l гвоздик.

m=4; n=5; k=3; l=4

Решение

а) В вазе стоят 4+5 = 9 цветов. Составить букет из 6 цветов, имея всего 9 цветов можно способами.

= =84

Выбрать 3 розы из 4-х имеющихся можно  способами: = = 4;

выбрать 3 гвоздики из 5 имеющихся можно  способами: = =10, таким образом, составить букет из 6 цветов, в котором будут ровно 3 розы можно 4∙10 = 40 способами. Вероятность того, что в букете из 6 цветов будет ровно 3 розы:

р(А) = = 0,476

б) Выбрать 4 гвоздики из 5 можно  способами. = = 5, выбрать две розы из 4-х можно способами. = =6, следовательно, составить букет из 4-х гвоздик и 2-х роз можно 5∙6 = 30 способами.

Если гвоздик будет 5, их можно  выбрать 1-м способом, одну розу из 4-х можно выбрать 4-мя способами, следовательно, составить букет из пяти гвоздик и одной розы можно 1∙4 = 4 способами. Всего способов составить букет, в котором не менее 4-х гвоздик можно 30+4 = 34 способами. Вероятность того, что в букете из 6 цветов не менее 4-х гвоздик: р(В) = = 0,4

Задание 3

Постановка  задачи

Студент в сессию должен сдать 3 экзамена, причем известно, что положительную оценку он может получить за них с вероятностями  р₁, р₂, р₃.

Предполагая, что различные экзамены представляют собой независимые испытания, построить ряд распределения и многоугольник распределения случайной величины X - числа успешно сданных экзаменов. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X. Найти вероятности того, что студент: а) не сдаст ни одного экзамена; б) студент сдаст ровно два экзамена; в) студент сдаст хотя бы один экзамен.

р₁ = 0,4, р₂ = 0,6, р₃ = 0,5.

Решение

Случайная величина Х – число сданных  студентом экзаменов, может принимать  следующие значения: 0; 1; 2; 3.

Подсчитаем вероятность того, что студент не сдаст ни одного экзамена.

Р(0) = (1-0,4) ∙ (1-0,6) ∙ (1-0,5) = 0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,5 = 0,12

Вероятность того, что студент сдаст один экзамен:

Р(1) = 0,4∙ (1-0,6) ∙ (1-0,5) + (1-0,4) ∙ 0,6 ∙ (1-0,5) + (1-0,4) ∙ (1-0,6) ∙ 0,5 = 0,08+0,18+0,12=0,38

Вероятность того, что студент сдаст два  экзамена:

Р(2) = 0,4∙0,6∙ (1-0,5) + (1-0,4) ∙ 0,6∙0,5 + 0,4∙(1- 0,6)∙ 0,5 = 0,12+0,18+0,08 = 0,38

Вероятность того, что студент сдаст все  три экзамена

Р(3) = 0,4∙0,6∙0,5 = 0,12.

Построим  ряд распределения случайной величины Х – числа сданных экзаменов.

Проверим, выполнено ли основное свойство ряда распределения: 0,12+0,38+0,38+0,12 = 1

Чтобы придать ряду распределения более  наглядный вид, часто прибегают  к его графическому изображению: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения. Построим многоугольник распределения случайной величины Х.

Вычислим математическое ожидание случайной величины Х.

МХ = 0∙0,12 + 1∙0,38 + 2∙0,38 + 3∙0,12 = 0,38+0,76+0,36 = 1,5

Вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х

DX = 0²∙0,12 + 1²∙0,38 + 2²∙0,38 + 3²∙0,12 – 1,5² = 0,38+1,52+1,08 – 2,25 = 0,73

σ(Х) = = 0,854.

Вероятность события А: студент не сдаст ни одного экзамена, равна р(А) = 0,12 (см. ряд распределения случайной величины Х).

Вероятность события В: студент сдаст ровно  два экзамена, равна р(В) = 0,38(см. ряд  распределения случайной величины Х).

Вероятность события С: студент сдаст хотя бы один экзамен, находим из формулы  полной вероятности. р(С) = 1- р(А) = 1-0,12 = 0,88.

Задание 4

Постановка  задачи

Диаметр изготовляемых деталей Z является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a и σ. Записать вид плотности вероятности случайной величины Z, построить ее график. Найти вероятность того, что размер диаметра наугад взятой для контроля детали окажется в заданном интервале.

a = 13; σ = 3; 10 < Z ≤ 19

Решение

Так как непрерывная случайная  величина Z имеет нормальное распределение, ее плотность вероятности имеет вид

Построим график плотности вероятности  случайной величины Z. Для ее построения воспользуемся функцией НОРМРАСП пакета Microsoft Office Excel.

Вероятность попадания случайной  величины на заданный интервал найдем по формуле Р(А < Z < В) = Ф(β) – Ф(α), где Ф – функция нормального распределения с параметрами 0 и 1, ее значения затабулированы. α = ; β =

Р(10 < Z < 19) = Ф( ) – Ф( ) = Ф(2) – Ф(-1) = 0,9772-0,1587=0,8185

Задание 5

Постановка  задачи

Следующие данные представляют собой затраты  времени клиентов на заключение договора. Построить интервальный вариационный ряд представленных данных, гистограмму, найти несмещенную оценку математического  ожидания, смещенную и несмещенную оценки дисперсии.

Решение

Проведем группировку исходных данных. Количество интервалов подсчитаем по формуле Стерджесса.

к = 1+3,322lg n

k= 1+3,322lg30 = 5,9 ≈6

Величину интервала вычислим по формуле:

h =

h = =1,14≈1,3

Начало первого интервала х₁ = х_min – h/2

х₁ = 19,3-1,3/2 = 18,7

Получим следующий интервальный вариационный ряд.

Построим гистограмму полученного  интервального вариационного ряда.

Найдем несмещенную оценку математического  ожидания.

=23,2

Смещенная оценка дисперсии:

=4,1

Несмещенная оценка дисперсии  s² =

s² = =4,24

Задание 6

Постановка  задачи

В таблице X-количество клиентов некоторой фирмы, Y-затраты на рекламу за 10 кварталов. Проанализировать зависимость между X и Y с помощью коэффициента корреляции.

Решение

Для расчета коэффициента корреляции проведем промежуточные вычисления в виде таблицы.

Вычислим , ,

; ;

Определим дисперсию

D_y = ; D_х =

D_y =1255253; D_х =118,8

Определим среднеквадратическое отклонение s для показателей х и у.

s_y = ; s_х =

s_y = ; s_х =

Вычислим коэффициент парной корреляции

r_xy = = 0,962

Полученная  величина линейного коэффициента корреляции характеризует степень тесноты  связи между рассматриваемыми признаками. Связь между признаком Y и фактором X  сильная и прямая, т.е. чем больше клиентов у фирмы, тем выше затраты на рекламу.

Список литературы

1. Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. Серия «Учебники для вузов. Специальная литература» — СПб.: Издательство «Лань», 2009
2. Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие для студ. втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. — 5-е изд., испр. — М.: Издательский центр «Академия», 2010.
3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М., Высшая школа, 2009.
4. Елисеева И.И. Теория статистики с основами теории вероятностей. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009.
5. Козлов М.В. Элементы теории вероятности в примерах и задачах. - М., Изд. МГУ, 2009.