Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по теории вероятности

Контрольная работа по теории вероятности №3 Вариант 3. Выполнено авторским коллективом ООО «Взфэи-архив.рф» © 2010. Avzfei.ru. Авторские права на данную работу зарегистрированы Российским авторским обществом КОПИРУС совместно с Федеральным государственным учреждением Российская государственная библиотека - РГБ.

Электронная версия данного текстовой работы предназначена исключительно для ознакомления. Незаконное распространение, публикация (в том числе и на интернет-ресурсах), передача третьим лицам текста данной работы, либо фрагментов текста данной работы без прямой цитаты и согласования с правообладателем преследуется по закону, а лица виновные в данных правонарушениях несут ответственность, предусмотренную главой 4 Гражданского Кодекса РФ.

Если Вы обнаружили данную работу на каком-либо сайте, кроме avzfei.ru, взфэи.su, взфэи-архив.рф – немедленно сообщите об этом на адрес электронной почты: [email protected] – Вознаграждение сообщившему гарантируется!

Контрольная работа № 3

Вариант 5

Задача № 1

Ребёнок играет кубиками, на которых написаны буквы: , , , , , , . Найти вероятность того, что произвольно поставленные в ряд пять букв образуют слово «ШАРИК».

Решение.

Испытание (опыт) заключается в выборе по одному пяти кубиков с буквами в случайном порядке без возврата.

Элементарным событием (исходом испытания) является полученная последовательность из пяти букв. Элементарные события являются размещениями из 7 букв (, , , , , , ) по 5 букв.

Число всех возможных исходов испытания:

Пусть событие заключается в том, что буквы выбраны в порядке заданного слова «ШАРИК».

Число исходов, благоприятствующих появлению события , соответствует числу всех возможных использований букв Ш, А, Р, И и К, входящих в слово «ШАРИК»:

Воспользовавшись классическим определением вероятности, получаем:

Ответ: .

Задача № 2

При тестировании качества радиодеталей установлено, что на каждые 10000 радиодеталей в среднем приходится четыре бракованных. Определить вероятность того, что при проверке 5000 радиодеталей будет обнаружено:

а) не менее трёх бракованных деталей;

б) не менее одной и не более трёх бракованных деталей.

Решение.

Здесь мы имеем дело с независимыми испытаниями, каждое из которых заключается в тестировании качества радиодетали. Число испытаний в нашем случае .

В нашем случае событие состоит в том, что деталь является бракованной.

а) Вероятность обнаружения при проверке 5000 радиодеталей не менее трёх бракованных деталей равна .

Вычислить искомые вероятности , , появления события в 5000 испытаниях по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Искомую искомые вероятности , , можно вычислить, используя асимптотические (приближённые) формулы Пуассона и Муавра – Лапласа.

Воспользуемся теоремой Пуассона:

если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала , число испытаний – велико и число – незначительно , то вероятность того, что событие появится раз в независимых испытаниях вычисляется по приближённой формуле , где – функция Пуассона.

В нашем случае вероятность появления события постоянна и мала, число независимых испытаний велико, число .

Значит вероятность появления события не менее 3 раз в 5000 испытаниях:

По таблице значений функции Пуассона находим:

, , .

Следовательно, вероятность обнаружения при проверке 5000 радиодеталей не менее трёх бракованных деталей равна

б) Вероятность обнаружения при проверке 5000 радиодеталей не менее одной и не более трёх бракованных деталей равна .

Снова воспользуемся теоремой Пуассона:

В нашем случае вероятность появления события постоянна и мала, число независимых испытаний велико, число .

Значит вероятность появления события не менее 1 и не более 3 раз в 5000 испытаниях:

По таблице значений функции Пуассона находим:

, , .

Следовательно, вероятность обнаружения при проверке 5000 радиодеталей не менее одной и не более трёх бракованных деталей равна

Ответ: а) ; б) .

Задача № 3

Вероятность гибели саженца составляет 0,4. Составить закон распределения числа прижившихся саженцев из имеющихся четырёх. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения этой случайной величины.

Решение.

Дискретная случайная величина Х – число прижившихся саженцев – имеет следующие возможные значения: , , , , .

Найдём вероятности , , , , этих возможных значений.

Искомый закон распределения дискретной случайной

величины Х, соответственно, будет иметь вид:

Пусть – событие, которое заключается в том, что саженец погиб.

Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Бернулли , где

– число сочетаний из элементов по ;

– вероятность появления события в каждом из испытаний, по условию ;

– вероятность непоявления события в каждом из испытаний, .

Число прижившихся саженцев возможно только в случае появления события ровно 4 раза в испытаниях. Поэтому

Число прижившихся саженцев возможно только в случае появления события ровно 3 раза в испытаниях. Поэтому

Число прижившихся саженцев возможно только в случае появления события ровно 2 раза в испытаниях. Поэтому

Число прижившихся саженцев возможно только в случае появления события ровно 1 раз в испытаниях. Поэтому

Число прижившихся саженцев возможно только в случае появления события ровно 0 раз в испытаниях. Поэтому

Сумма вероятностей .

Таким образом, искомый закон распределения дискретной случайной величины Х

имеет вид:

Вычислим числовые характеристики случайной величины Х (параметры распределения):

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х:

Дисперсия дискретной случайной величины Х: , где .

значит .

Среднее квадратическое отклонение .

Функция распределения вероятностей (интегральная функция распределения) случайной величины задаётся формулой .

При построении функции будем получать её аналитическое выражение на каждом промежутке разбиения числовой прямой точками, соответствующими значениям заданной случайной величины, используя теорему сложения вероятностей несовместных событий:

для , так как в данном случае мы имеем дело с вероятностью невозможного события (в частности для );

для (в частности для );

для (в частности для );

для (в частности для );

для

(в частности для );

для .

Обобщая полученные данные, можно записать:

Ответ: ; ; ;

;

Задача № 4

Независимые случайные величины и заданы законами распределения:

-1

0,3

-2

0,1

0,4

: :

Найти вероятности и . Составить закон распределения случайной величины и проверить свойство математического ожидания .

Решение.

1) Воспользуемся тем, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1.

Для случайной величины : ; ; ; .

-1

0,3

0,7

Вероятность того, что случайная величина примет значение, равное 4, составляет .

Закон распределения случайной величины имеет вид: .

Для случайной величины : ; ;

; ; .

-2

0,1

0,4

0,5

Вероятность того, что случайная величина примет значение, равное 3, составляет .

Закон распределения случайной величины имеет вид: .

2) Найдём закон распределения случайной величины .

Разностью (соответственно суммой, произведением) случайных величин и называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида (соответственно , ), где , , с вероятностями того, что случайная величина примет значение , а – значение : . Если случайные величины и независимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий .

Для удобства нахождения всех значений случайной величины и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом верхнем углу значения случайной величины , а в правом нижнем углу – вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин и (в нашем случае случайные величины и независимы).

			0	3
		0,1	0,4	0,5
	0,3	0,03	0,12	0,15
4	0,7	8 0,07	24 0,28	48 0,35

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

0,15

0,12

0,03

0,07

0,28

0,35

Убеждаемся в том, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1.

Действительно, .

3) Проверим свойство математического ожидания . Вычислим математическое ожидание случайной величины .

…

Математическое ожидание дискретной случайной величины , закон распределения которой имеет вид , вычисляется по формуле .

В нашем случае .

Аналогично, ;

Значит , то есть выполнено равенство .

0,15

0,12

0,03

0,07

0,28

0,35

Ответ: ; ;

Задача № 5

Плотность вероятности случайной величины имеет вид:

Найти: а) функцию распределения ;

б) математическое ожидание и дисперсию ;

в) вероятность .

Построить графики функций и .

С помощью неравенства Маркова оценить вероятности того, что случайная величина примет значения: а) больше 6; б) не больше 5/3.

Найти те же вероятности с помощью функции распределения и объяснить различие результатов.

Решение.

Найдём функцию распределения случайной величины . Для этого воспользуемся формулой , связывающей функцию распределения вероятностей с плотностью распределения вероятностей .

Для и .

Для

Следовательно, функция распределения случайной величины имеет вид

Математическое ожидание

Дисперсия .

Значит .

Определим вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала с помощью функции распределения вероятностей :

Построим графики функций и .

График функции плотности распределения вероятностей случайной величины :



				3

				2

				1

-4	-3	-2	-1	О	1	2	3	4	5	Х

График функции распределения вероятностей случайной величины :




				3

				2

				1

-4	-3	-2	-1	О	1	2	3	4	5	Х

				-1

				-2

Воспользуемся неравенством Маркова: если случайная величина принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа верно неравенство . Так как события и противоположные, можно получить другую форму неравенства Маркова: .

а) Вероятность того, что случайная величина примет значение больше 6:

б) Вероятность того, что случайная величина примет значение не больше 5/3 .

Найдём те же вероятности с помощью функции распределения вероятностей :

;

Различие результатов обусловлено тем, что в первом случае мы получили оценку вероятности с помощью неравенства Маркова, а во втором случае вычислили точную вероятность с помощью функции распределения вероятностей.

Ответ: ; ; ;

; ; ; .

Контрольная работа по теории вероятности 📙 Контрольная → 🆔 70548