Контрольная работа по "Тепломассообмену". 2

Список условных обозначений

 

 температура, ;

 время, ;

 коэффициент теплоотдачи, ;

коэффициент теплопроводности, ;

 тепловой поток, ;

  внутренний радиус цилиндрической  стенки, ;

  радиус первого слоя цилиндрической  стенки, ;

  радиус изоляционного слоя цилиндрической  стенки, ;

 толщина ребра, ;

 высота ребра, ;

 площадь сечения ребра, ;

 шаг оребрения, ;

 коэффициент  оребрения;

 параметр оребрения;

 количество  тепла, отдаваемое ребром;

 приведённая  температура;

 число Био;

 число Фурье.

 

 

 

Задание и исходные данные

1. Цилиндрическая стенка состоит из двух слоев (второй слой - изолятор) с радиусами поверхностей , , и теплопроводностями , соответствующими материалу слоя. Коэффициенты теплоотдачи и температуры жидкостей с внутренней и внешней сторон стенки соответственно равны ,

• Рассчитать линейный тепловой поток через стенку.
• Определить, как изменится тепловой поток, если слои поменять местами.
• Рассчитать температуры внутри слоев и построить график

• Определить критический диаметр цилиндрической изоляции.

• Рассмотреть стенку, состоящую только из первого слоя. В этом случае, оставляя радиус внутренней поверхности  неизменным, определить толщину слоя, при которой можно использовать (с точностью 5 %) формулы плоской стенки.

• Определить плотность теплового потока для стенки без изоляционного слоя (размеры стенки, и те же, что и в предыдущих пунктах).
• Полагая теплопроводность стенки последовательно равной и , определить распределение температуры внутри стенки и температурные напоры в жидкости и внутри стенки. Вычислить соответствующие числа Bi. Построить графики . Коэффициент теплоотдачи с обеих сторон принять .
• Подобрать материал стенки, при котором она будет термически тонкой, т.е. . Найти отношение температурных напоров в стенке и в жидкости.

• 2. Имеется стенка толщиной  и теплопроводностью , оребренная с двух сторон ребрами из того же материала. Толщины ребер . Температуры омывающих стенку жидкостей и , соответствующие коэффициенты теплоотдачи и . Размеры стенки (ребра расположены вдоль стороны ) - , .

• Определить тепловой поток , отдаваемый ребром, полагая температуру основания ребра , а температуру жидкости , коэффициент теплоотдачи . Значение высоты ребра изменять от до . Определить концевую температуру и построить графики и .

• Задавшись , вычислить приведенный коэффициент теплоотдачи для обеих поверхностей стенки, изменяя при этом шаг оребрения в пределах . Построить графики зависимостей коэффициента теплоотдачи коэффициента оребрения , параметра оребрения Выбрать значения шагов и при которых и приблизительно равны, и вычислить в этом случае тепловой поток через стенку .

• Вычислить тепловой поток через стенку для случаев, когда шаг и когда , оставляя неизменным.

• 3. Некоторое тело, имеющее форму параллелепипеда с размерами , теплопроводностью , плотностью и теплоемкостью охлаждается так, что в начальный момент времени его температура , а температура среды, в которой оно находится . Коэффициент теплоотдачи между телом и средой . Размеры тела Требуется рассчитать следующее.

• Число Био, соответствующее длине, ширине и толщине параллелепипеда.

• Промежутки времени  необходимые для достижения температуры в центре тела.

• Распределение температуры на продольной и поперечной осях параллелепипеда в моменты времени построить соответствующие графики.

• Изменение температуры в одной из вершин параллелепипеда с течением времени, построить график полученной зависимости.

• Тепло, отданное телом в процессе охлаждения за промежутки времени .

 

Решение

Задача 1

1) Для расчета линейного теплового  потока  через цилиндрическую  стенку запишем  следующую систему уравнений:

 

Сложим записанные уравнения:

 

Все используемые в выше записанном выражении величины известны. Подставим их численные значения и найдем :

 

 

Тот факт, что  значение теплового потока в ходе расчетов оказалось отрицательным, указывает на то, что тепловой поток направлен в противоположную сторону, т.е. от внешней стенки трубы к ее оси. Таким образом будет справедливо записать, что

 

2) Определим как изменится тепловой  поток через ту же цилиндрическую стенку, если поменять слои, из которых она состоит, местами. Составим для этого случая следующую систему уравнений:

 

Сложим записанные уравнения:

 

Все используемые в выше записанном выражении величины известны. Подставим их численные значения и найдем :

 

 

Сравним значения полученные в первом и втором случаях:

 

Очевидно, что  разница между полученными значениями пренебрежимо мала, поэтому такая перемена слоев местами не имеет смысла.

 

3) Рассчитаем температуры на границе  слоев   и , а также температуру между слоями . Для этого воспользуемся ранее записанной системой уравнений, переписав ее с учетом направления движения теплового потока:

 

Воспользуемся найденным в задании 1.1 значением и определим температуру , выразив ее из первого уравнения системы:

 

Подставим численные  значения:

 

Аналогичным образом  выразим температуру  из последнего уравнения системы:

 

Подставим численные  значения:

 

Из третьего уравнения  системы выразим температуру :

 

 

Подставим численные  значения:

 

 
Построим график, отражающий зависимость  изменения температуры внутри слоев  трубы вдоль радиуса .

Из графика видно, что основное изменение температуры происходит в изоляционном слое с радиусом .

В первом слое изменение  температуры является незначительным, что объясняется достаточно высокой теплопроводностью его материала.

 
4) Определим критический диаметр цилиндрической изоляции. В рассматриваемой задаче изоляционным является последний слой стенки. Увеличение его толщины приводит к увеличению сопротивления теплопроводности, т. к. оно . С другой стороны, с увеличением площадь теплоотдачи увеличивается, а термическое сопротивление уменьшается. Таким образом, величина имеет минимум, а соответственно    максимум.

Взяв  производную  и приравняв ее к нулю, получим:

 

Перепишем эту формулу через диаметр:

 

Здесь - коэффициент теплоотдачи жидкости, которая контактирует с изоляционным слоем. В рассматриваемом случае Подставим численные значения и определим :

 

 

5) Рассмотрим ту же цилиндрическую стенку, считая, что она состоит только из первого слоя и имеет внутренний радиус , а внешний (рис 5.1). Для такой стенки будет справедлива следующая система уравнений:

 

Просуммировав эти  уравнения получим:

 

Если рассматривать стенку не как цилиндрическую, а как плоскую, то для нее можно составить следующую систему уравнений:

 

Сложим эти уравнения:

 

Разделим друг на друга правые части уравнений (5.1) и (5.2). Учитывая, что точность определения линейного теплового потока двумя разными способами составляет 5%, можно записать, что .

 

Тогда отношение  будет равно:

 

Выразим из этого  выражения толщину стенки :

 

 

Подставим численные значения и определим :

 

 

Таким образом, чтобы  при использовании расчетных  формул плоской стенки результаты для цилиндрической были достоверными, ее толщина должна находится в пределах Очевидно, что на практике цилиндрические стенки такой толщины встречаются крайне редко, а для более тонких стенок погрешность расчета при помощи использования формул плоской стенки будет недопустимой. Использование этих формул для упрощения расчета невозможно.

 

6) Определим плотность теплового  потока для той же цилиндрической  стенки без изоляционного слоя. Для этого запишем следующую  систему уравнений:

 

Просуммировав эти  уравнения получим:

 

Подставим численные значения и определим :

 

Сравним полученное значение со значением  для случая стенки с изоляционным слоем, найденным в задании 1.1. Его величина составила . Очевидно, что отсутствие изоляции вызвало увеличение плотности теплового потока на величину

 

 

7) Определим распределение температуры  внутри стенки и температурные напоры в жидкости и внутри стенки, принимая теплопроводность стенки последовательно равной и

а) Предположим, что стенка имеет теплопроводность . Тогда для нее будет справедлива следующая система уравнений:

 

Просуммируем  эти уравнения:

 

Подставим численные значения и определим :

 

Из первого  уравнения системы выразим температуру :

 

После подстановки  численных значений получим:

 

Из третьего уравнения  системы выразим температуру :

 

 

Подставим численные значения:

 

Вычислим температурные  напоры в жидкости и внутри стенки . Для этого температуру жидкости вблизи стенки будем считать равной температуре стенки.

 

 

 

Вычислим для  рассматриваемой стенки число Био:

 

Толщину стенки определяем как разность радиусов:

 

Тогда:

 

Таким образом, отношение внутреннего  термического сопротивления теплопроводности к внешнему термическому сопротивлению теплоотдачи, которое представляет собой число Био, весьма мало.

На основании  ранее рассчитанных данных построим график распределения температуры

Очевидно, что  основной перепад температур происходит в жидкости вблизи стенок. Температурный напор внутри стенки пренебрежимо мал, что объясняется высокой теплопроводностью ее материала.

 

б) Предположим, что стенка имеет теплопроводность . Запишем для нее следующую систему уравнений:

 

Просуммируем  эти уравнения:

 

Подставим численные значения и определим :

 

Из первого  уравнения системы выразим температуру :

 

После подстановки  численных значений получим:

 

Из третьего уравнения  системы выразим температуру :

 

 

Подставим численные значения:

 

Вычислим температурные  напоры в жидкости и внутри стенки . Для этого температуру жидкости вблизи стенки будем считать равной температуре стенки.

 

 

 

Вычислим для  рассматриваемой стенки число Био:

 

Толщину стенки определяем как разность радиусов:

 

Тогда:

 

На основании рассчитанных данных построим график распределения температуры

Анализируя полученную графическую зависимость можно заключить, что температурный напор внутри стенки, при уменьшении теплопроводности используемого материала, значительно увеличился: с при теплопроводности до при . Однако основной перепад температур также происходит внутри жидкости.

 

8) Подберем материал  стенки таким образом, чтобы  она была термически тонкой, т.е.  чтобы 

Таким образом  будем считать число Био заданным по условию. Тогда справедливо будет выражение:

 

Отсюда выражаем теплопроводность :

 

Подставляя численные  значения будем иметь:

 

Запишем для рассматриваемой  стенки следующую систему уравнений:

 

Просуммируем  эти уравнения:

 

Подставим численные значения и определим :

 

Из первого  уравнения системы выразим температуру :

 

После подстановки  численных значений получим:

 

Из третьего уравнения  системы выразим температуру :

 

Подставим численные значения:

 

Вычислим температурные  напоры в жидкости и внутри стенки . Для этого температуру жидкости вблизи стенки будем считать равной температуре стенки.

 

 

 

Суммарный температурный  напор в жидкости определим как:

 

Тогда отношение  температурных напоров в стенке и в жидкости определится следующим  образом:

 

 

Задача 2

1) Тепловой поток, отводимый прямым ребром с высотой , толщиной , длиной , теплопроводностью определяется выражением:

 

 

В представленной зависимости  - разность температур между основанием ребра и жидкостью. По условию задачи температура основания ребра определятся как:

 

Коэффициент теплоотдачи  между поверхностью ребра и жидкостью . Площадь поверхности ребра определяется согласно выражению:

 

где - эффективная высота ребра, позволяющая учесть теплоотдачу с торца ребра.

Эффективность ребра определяется зависимостью:

 

где параметр ребра  имеет вид:

 

 

 

 

Послкольку по условию задачи то последнее выражение перепишется в виде:

 

Подставим численные значения и определим параметр ребра :

 

С учетом всех записанных выражений  зависимость (1) примет вид:

 

В соответствии с заданием будем изменять высоту ребра от 5 до 50 с шагом 5. Т.е. будет принимать значения от 2 мм до 20 мм.

Определим значение по формуле (2) для каждого значения . Полученные данные сведем в таблицу:

Таблица 2.1

Высота ребра	Тепловой поток
2	22,088
4	21,084
6	20,749
8	20,582
10	20,481
12	20,414
14	20,366
16	20,331
18	20,303
20	20,280

 

 

 

 

В соответствии с рассчитанными  величинами построим график

 

 

Построенная зависимость  имеет убыающий экспоненциальный характер. Основное падение значения теплового потока происходит вначале зависимости, до - мм. Тепло отводимое ребром при мм практически не изменяется.

 

Температура на конце ребра определяется выражением:

 

Учитывая что , выражение запишется в виде:

 

Параметр ребра  был определен ранее. Высота ребра изменяется в тех же пределах: от 2 мм до 20 мм.

Определим значение по формуле (3) для каждого значения . Полученные данные сведем в таблицу:

Таблица 2.2

Высота ребра	Температура
2	68,99
4	47,35
6	29,0
8	16,99
10	9,8
12	5,63
14	3,22
16	1,85
18	1,06
20	0,6

 

 

В соответствии с рассчитанными  величинами построим график

Построенная зависимость, также  как и  имеет убыающий экспоненциальный характер.Основное падение температуры происходит в начале зависимости до - мм. При изменение температуры на конце ребра практически не происходит.

Таким образом обе построенные  зависимости  и претерпевают основное падение до значения высоты ребра -. Это означает, что делать ребро выше этого значения не имеет смысла, поскольку оно не будет оправдывать своего назначения.

 

2) Примем высоту ребра постоянной  и равной  и определим приведенный коэффициент теплоотдачи для обеих поверхностей стенки. Для этого воспользуемся следующей зависимостью:

 

В представленном выражении  - коэффициент оребрения, определяется согласно формуле:

 

где - высота ребра; - шаг оребрения.

Относительная площадь  ребра  может быть определена выражением:

 

Эффективность ребра определяется зависимостью:

 

где - параметр ребра определяется по формуле:

 

Поскольку с разных сторон стенки находятся жидкости с  разным коэффициентом теплоотдачи, то параметр ребра с каждой стороны  будет иметь свое значение. Для  первого случая, подставляя численные  значения, будем иметь:

 

Для второго:

 

Таким образом  после подстановки перечисленных  выражений формула для определения коэффициента теплоотдачи примет вид:

 

При расчете будем  изменять шаг оребрения  в пределах или подставив вместо численное значение , увеличивая его значение каждый раз на

Определим коэффициент  теплоотдачи  для первой стороны пластины. Найденные значения сведем в таблицу:

Таблица 2.3

Шаг оребрения	Коэффициент теплоотдачи
0,8	6635
1,6	3668
2,4	2678
3,2	2184
4,0	1887

 

По полученнмым значениям построим зависимость 

 

 

Далее рассчитаем коэффициент теплоотдачи  для второй стороны пластины. Найденные значения сведем в таблицу:

Таблица 2.4

Шаг оребрения	Коэффициент теплоотдачи
0,8	2383
1,6	1266
2,4	894
3,2	708
4,0	596

 

По полученнмым  значениям построим зависимость 

 

 

 

 

 

 

 

Обе построенные  зависимости  и являются убывающими. Это означает, что тепловой поток отдаваемый ребристой поверхностью уменьшается, поскольку уменьшается количество ребер и следовательно их площадь.

 

Определим также  зависимость коэффициента оребрения  и параметра оребрения от шага оребрения , который будем изменять в тех же пределах от до . Для этого воспользуемся вышеприведенным зависимостями

 

 

Полученные результаты сведем в таблицу.

Таблица 2.5

Шаг оребрения	Коэффициент оребрения
0,8	21
1,6	11
2,4	7,67
3,2	6
4,0	5

 

По полученным значениям построим зависимость 

 

 

Определим параметр оребрения  при разных значениях шага оребрения . Результаты представим в виде таблицы.

Таблица 2.6

Шаг оребрения	Параметр оребрения
0,8	0,976
1,6	0,932
2,4	0,891
3,2	0,854
4,0	0,82

 

По рассчитанным значениям построим зависимость 

 

3) Выберем значения  шагов  и , при которых и вычислим в этом случае тепловой поток через стенку .

Коэфиициенты  отдачи жидкостей приблизительно равны  между собой в случае , а Тогда

Тепловой поток  определим по формуле:

 

где - разность температур между основанием ребра и жидкостью; - площадь поверхности без ребер.

Однако, поскольку  шаг оребрения и температуры  жидкостей с разных сторон стенки разные, то тепловой поток  будет определяться суммой тепловых потоков через каждую из сторон стенки и :

 

Тепловой поток определим как:

 

Разность температур найдем согласно выражению:

 

Определим площадь  неребреной поверхности . Для этого изначально посчитаем сколько ребер расположено на этой стороне стенки:

 

Таким образом, на этой стороне стенки расположено 31 ребро. Тогда площадь неребреной поверхности  можно будет определить по формуле:

 

Подставив численные  значения будем иметь:

 

Подставим необходимые  величины в выражение для определения :

 

Аналогичным образом  найдем тепловой поток  проходящий через противоположную сторону стенки.

Разность температур находим как:

 

Количество ребер, расположенных на стороне стенки:

 

Площадь неребреной поверхности  тогда определится как:

 

Или подставляя численные значения:

 

Тогда значение тепловой поток  определим по формуле:

 

Общий тепловой поток через стенку определим  согласно выражению:

 

 

4) Вычислим тепловой  поток через стенку для случаев,  когда шаг оребрения   и когда , оставляя при этом неизменным.

а) Рассмторим первый случай, когда .

Значение . Для рассматриваемого случая выберем меньшим          на 25%, т.е.

Тепловой поток  определим по формуле:

 

где - разность температур между основанием ребра и жидкостью; - площадь поверхности без ребер.

 

Аналогично предшествующим случаям, тепловой поток  будет определяться суммой тепловых потоков через каждую из сторон стенки и :

 

Поскольку шаг  остается неизменным, то значение тоже не изменятеся и его значение можно взять из предыдущей задачи.

Тепловой поток определим как:

 

Разность температур найдем согласно выражению:

 

Количество ребер, расположенных на стороне стенки:

 

Таким образом, на этой стороне стенки расположено 41 ребро. Площадь неребреной поверхности  определим по формуле:

 

Подставив численные  значения будем иметь:

 

 

Подставим необходимые  величины в выражение для определения :

 

Тогда общий тепловой поток через стенку определим  согласно выражению:

 

б) Рассмторим второй случай, когда .

Значение . Для рассматриваемого случая выберем большим          на 25%, т.е.

 

 

Тепловой поток  определим по формуле:

 

где - разность температур между основанием ребра и жидкостью; - площадь поверхности без ребер.

Аналогично предшествующим случаям, тепловой поток  будет определяться суммой тепловых потоков через каждую из сторон стенки и :

 

Поскольку шаг  остается неизменным, то значение тоже не изменятеся и его значение можно взять из предыдущей задачи.

Тепловой поток определим как:

 

Разность температур найдем согласно выражению:

 

Количество ребер, расположенных на стороне стенки:

 

Таким образом, на этой стороне стенки расположено 25 ребер. Площадь неребреной поверхности  определим по формуле:

 

 

Подставив численные  значения будем иметь:

 

Подставим необходимые  величины в выражение для определения :

 

Тогда общий тепловой поток через стенку определим  согласно выражению:

 

 

Задача 3

1) Определим числа Био, соответствующие  длине, ширине и толщине параллелепипеда.

Число Био в  общем случае определяется выражением:

 

Поместим начало координат в центр параллелепипеда, тогда вместо толщины      будем использовать размеры параллелепипеда и .