Санкт-Петербургский  государственный  политехнический  университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

Дисциплина: Математические и численные методы

  механики сплошных  сред

Тема: Кручение упругопластического стержня  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Санкт-Петербург

2008 

Содержание

1. Физическая мотивация

 

    В данной работе исследуется задача о кручении упругопластического стержня. Рассмотрим очень длинный стержень. Выделим участок длины из его середины, далеко от концов. Получившийся цилиндр приведен на Рис.1. 

    

                                    Рис.1 Стержень длины h    

 – основание стержня, описываемое  уравнением  ,

 – основание стержня, описываемое  уравнением  ,

 – боковая поверхность  стержня.

 

Сделаем следующие  предположения:

1. стержень сделан из изотропного материала;
2. на стержень не действуют объемные силы;
3. боковая поверхность свободна от нагружений;
4. на  и ;
5. на ;
6. на ;
7. на ;

 

Из второго условия следует, что уравнение равновесия запишется в виде:

                                                                                                                          (1.1)

Тогда допустимые поля напряжений принадлежат множеству 

(1.2)

Последние два условия задают поворот точек  верхнего сечения вокруг оси  , где – угол закрутки на единицу длины.

В соответствии с принципом Хаара-Кармана поле минимизирует функционал

                                                                                       (1.3)

Можно показать, что решение этой задачи таково, что все компоненты , кроме и , равны нулю. Тогда из уравнений равновесия остается только одно:

                                                           (1.4)

Введем  функцию тока и положим:

                   

Тогда уравнение (1.4) автоматически выполнено.

Уравнения на части границы можно представить в виде:

                                                                                           (1.5)

С другой стороны,                                                                              (1.6)

Следовательно,  , т.е. на границе . Не умаляя общности, можем положить на . Значит, . 

Рассмотрим  условие пластичности Мизеса:

, – предел текучести материала.                           (1.7)

В данном примере, . Отсюда, почти везде на . Переформулировав условие Мизеса в терминах , получаем

                                                                                                                           (1.8)       

В итоге  принцип Хаара-Кармана приводит к следующей вариационной задаче:  

З1: Найти такое, что достигает минимума функционал

,

где ,                                                                      (1.9)

 – коэффициент Пуассона. Не умаляя общности, можем положить .

Если  ввести билинейную форму , элемент и скалярное произведение , то задача З1 запишется в виде

                                                                                                            (1.10)

или в форме вариационного неравенства:               (1.11)

2. Математическая корректность

 

Теперь  покажем, что задача З1 математически корректна.

Задача  называется математически корректной, если выполнены три условия:

1. ее решение существует (условие существования);
2. решение единственно (условие единственности);
3. решение задачи непрерывно зависит от данных задачи (условие устойчивости).

Проверим  выполнение всех трех условий.

2.1 Существование решения

 

Существование решения обеспечивается теоремой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал достигает своей точной нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова пространства. 

                                            (2.1.1)   

 – рефлексивное банахово  пространство,

Подмножество  является непустым, замкнутым и выпуклым множеством.

 

Покажем, что  – непрерывный и выпуклый функционал.

                                                                                     (2.1.2)

Пусть : в

Тогда в и в , при

Следовательно, ,

 т.е. функционал является непрерывным. 

Покажем выпуклость функционала, используя  его запись в общем виде.

                                                                                                       (2.1.3)

      

Таким образом, все условия указанной  выше теоремы выполнены, и, следовательно, задача З1 имеет решение.

2.2 Единственность решения

 

Утверждение 1.  Билинейная форма – V-эллиптическая. 

Доказательство:  (в силу эквивалентности норм в пространстве );

                                  

Утверждение 2.  Решение задачи З1 единственно. 

Доказательство:  

    Будем доказывать это утверждение от противного.

Пусть существуют различные , которые доставляют минимум функционалу .

    Тогда, из (1.11) выполнено:                               (2.2.1)

                                                                            (2.2.2)

    Подставим в (2.2.1) вместо , в (2.2.2) вместо .

    Получим                                                                            (2.2.3)  

                                                                                               (2.2.4)  

    Умножим (2.2.4) на -1:

    Отсюда,

                   

    Форма – эллиптическая, .

    Окончательно,

     

2.3 Устойчивость решения

 

Решение должно удовлетворять неравенству   (2.3.1)

Перепишем неравенство (2.3.1) как                         (2.3.2)

Неравенство (2.3.2) выполняется для :                           (2.3.3) 

Оценим  правую часть неравенства (2.3.3) сверху:

                                                                            (2.3.4)

Левую часть (2.3.3) оценим снизу:

                                                                                       (2.3.5)

Тогда                                                      (2.3.6)

                  - первое основное неравенство

3. Аппроксимация

, иначе 

Рассмотрим  семейство конечномерных пространств , каждое из которых является внутренней аппроксимацией пространства .

Будем строить  по схеме метода конечных элементов.

Построим  триангуляцию области  . В результате получим область , где – число треугольников в разбиении, – i-тый треугольник разбиения.

Для каждого  узла триангуляции построим аффинную функцию , обладающую следующими свойствами:

2. , где – вершины, смежные с    
3. , где – семейство полиномов первого порядка.

Составим  пространство из построенных функций .

Теперь  необходимо аппроксимировать множество , заданное формулой (1.9).

Пусть . Тогда .

Покажем, что множество  аппроксимирует .

От  противного: Пусть такие, что

            Но, по свойству предельной плотности

            . Следовательно, , т.е. .

Отсюда, по лемме о сохранении строгих неравенств требуемое свойство выполнено.

   2)  слабо.

          (конечномерное пространство), значит сильно,  

       
 

Запишем задачу З1: найти такое, что

Наряду  с ней сформулируем задачу З2:

найти такое, что

При сделанных  предположениях относительно .

4. Численный метод

 

Для решения  задачи З2 будем использовать метод штрафа.

Исходная  вариационная задача:                    (4.1)

Построим  вспомогательный функционал

                        (4.2)

 – функция штрафа.                                                    (4.3)

, если 

, если 

Тогда вместо решения задачи (4.1) можем  решать задачу . По свойствам функционала ее решение существует и единственно. 

Кроме того, – выпуклая, дифференцируемая по Гато функция [2].

Производная Гато функции  :

     

Тогда задача эквивалентна решению уравнения

                                                                        (4.4)

         (4.5)

Можно показать, что – монотонный оператор и , если [3].

Следовательно, решение вариационной задачи  .

 

Замечания по реализации:

Неизвестную функцию  решения  будем искать в виде:

                                                   ,                                                                (4.6) где – число узлов триангуляции, 

       – значение функции в i-том узле,

       – базисная функция из пространства . 

Тогда задача минимизации функционала (4.2) превратится в задачу многомерной  минимизации по :

5. Тесты

 

Алгоритм для  нахождения минимума функционала (4.2) реализован в среде Matlab.

Были проведены  расчеты для различных форм сечений  стержня (области ): круга, квадрата и треугольника.

В случае если сечение стержня – круг, то известно аналитическое решение задачи.  

 

 

1) . Точное решение задачи .

На рис. 2-5 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .  

Рис.2 Число узлов = 29

        

Рис.3 Число узлов = 146

Рис.4 Число узлов = 270 
 

Рис.5 Число узлов = 549 

Для оценки погрешности  решения введем величину , характеризующую относительную погрешность.

Здесь – точное решение, – численное решение;

, где  – число узлов.

В таблице 1 приведены  результаты сравнения численного и точного решения. 

                                  

                                         Таблица 1 Результаты сравнения (1). 

2) . Точное решение задачи .

На рис. 6-9 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .   

Рис.6 Число узлов = 29 
 

Рис.7 Число узлов = 146 
 

Рис.8 Число узлов = 270

Рис.9 Число узлов = 549

 

Как и в первом примере, вычислена относительная  ошибка, см. Таблицу 2.    

 

                                                Таблица 2 Результаты сравнения (2). 

3) На Рис.10-11 изображены численные решения задачи для стержня с квадратным сечением,

Рис.10 Число узлов = 27

Рис.11 Число узлов = 177 
 

4. На Рис.12 изображено численное решение задачи для стержня с треугольным сечением,

Рис.12 Число узлов = 144 

Выводы

 

В ходе выполнения данной работы была изучена задача о кручении упругопластического стержня.  

Показано, что решение задачи существует и  единственно.  

Предложен метод численного решения поставленной задачи, основанный на применении конечноэлементного подхода для перехода от бесконечномерной задачи к конечномерной, а также на применении метода штрафа для минимизации целевого функционала. 

Проведены различные численные эксперименты; для случая, когда известно аналитическое  решение задачи, вычислена относительная  ошибка численного решения по сравнению  с точным. 
 
 
 
 
 
 
 

Список литературы

 

1. Сьярле  Ф. Метод конечных элементов для  эллиптических задач. – М.:Мир, 1980.
2. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. – М.:Мир, 1979.
3. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.:Мир, 1972.