Круглый волоконный волновод со ступенчатым профилем показателя преломления
Круглый волоконный волновод со ступенчатым профилем показателя преломления.
- Постановка задачи.
Введём систему координат x,y,z, которая представляет собой правую тройку. Волоконный световод можно представить в виде диэлектрического цилиндра радиуса a и диэлектрической проницаемости n1 (жила), помещённого в пространство, заполненное диэлектриком n2 (оболочка). Ось симметрии цилиндра направим вдоль оси z системы координат. (Рис.1) Диэлектрики положим изотропными, т.е. диэлектрическая проницаемость не зависит от направления вектора электрического поля. Будем считать, что диэлектрики имеют такое малое поглощение, что им можно пренебречь. Также допускаем, что диэлектрики не восприимчивы к магнитному полю, что во многих случаях реализуется на практике.
Задача формулируется следующим образом:
1.Определить параметры данной структуры, (n1 ,n2 ,a) при которых в ней возможно распространение электромагнитных волн вдоль оси z, которые локализованы в жиле и прилегающей к ней области.
2.Определить пространственное распределение электромагнитного излучения распространяющегося вдоль оси z, которое поддерживается в такой структуре.
Отличие такого приближенного рассмотрения от реальных волокон состоит в том, что диэлектрик n2 не простирается до бесконечности, а может иметь конечные размеры и внешнюю границу в виде цилиндра с осью z в качестве оси симметрии. Если рассматривать только такие возбуждения электромагнитных волн в волокне, которые сосредоточены в основном в жиле, то можно пренебречь эффектами, связанными с конечным размером оболочки, при условии, что он достаточно велик. Количественную оценку этого критерия можно будет сделать ниже. Также реальные волокна могут иметь заметное поглощение, но этот вопрос мы не будем рассматривать, как и вопрос о влиянии изгибов волокна, которые тоже имеют место в работе с реальными волокнами. Ещё мы не учитываем анизотропных свойств диэлектрика, из которого изготовлено волокно. Таким образом, решение, которое может быть получено в такой постановке, является в сильной степени приближенным. Но, несмотря на это, оно вполне приемлемо в случаях малого поглощения и малых радиусов закругления изотропного волокна. Такая ситуация имеет место, например, в случае связного волокна.
- Уравнения Максвелла для поля в волокне.
Существует два подхода к решению поставленной задачи. Первый – на основе геометрической оптики, а второй – на основе уравнений Максвелла. Каждый из этих подходов обладает своими преимуществами, но второй метод является общим, поэтому он и использовался для решения задачи.
Запишем уравнения Максвелла с учётом отсутствия свободных зарядов, могущих создавать ток, и наличия изотропного немагнитного диэлектрика :
(0.a) (1.a)
(0.b) { и , , , }” (1.b)
(0.c) (1.c)
(0.d) (1.d).
Где ep=(np)2, а p=1для жилы и p=2 для оболочки. Решения этих уравнений будем искать в виде гармонических во времени колебаний:
Где амплитуды и не зависят от времени. В выражениях (2) физически осмысленное значение несёт только действительная часть выражения стоящего слева. Однако сами амплидуды и уже не обязаны быть чисто действительными величинами. Наоборот, только в случае комплексных и , выражения (2) обладают всей полнотой. Что бы это показать, необходимо просто разделить мнимые и действительные части одного из уравнений (2):
Из уравнений Максвелла можно получить выражения для этих комплексных амплитуд:
(3.c)
(3.d)
Теперь, сами функции и представим в виде ряда Фурье:
С физической точки зрения действие выражений (2) и (4) представляет собой разложение по плоским волнам с дискретным спектром значений bq , бегущих вдоль z. Подставив такое разложение в выражения (3), получим выражения для и , которые представляют собой распределения амплитуд бегущих вдоль z электромагнитных волн:
(5.c)
(5.d)
Где - единичный орт в направлении оси z. Параметр bq называют константой распространения. Его можно интерпретировать как фазовую скорость распространения вдоль z определённого распределения поля и в поперечном сечении волокна. Далее, разложим векторы амплитуд электрического и магнитного полей на продольные и поперечные составляющие:
Из уравнений (5) и (6):
Эти уравнения можно спроецировать на ось z и на плоскость (x,y). Для проекции на ось z:
А для проекции на плоскость (x,y) :
С помощью выражений (8) и (9) можно однозначно выразить поперечные составляющие через продольные:
И наоборот:
Важной является зависимость поперечных компонент от продольных. С её помощью, зная только решения для продольных составляющих, можно восстановить все остальные компоненты поля. Теперь остаётся определить решения только для продольных компонент и .
3. Уравнение Гельмгольца для продольных компонент.
Вернёмся к уравнениям (3) для амплитуд монохроматических колебаний электромагнитного поля. Действуя на первые два уравнения операцией rot() используя равенства (3) получим выражения:
В соответствии с представлением амплитуд и в виде набора бегущих волн (4) из этих уравнений можно получить выражения для амплитуд бегущих вдоль оси z волн:
И проецируя эти уравнения на ось z, выделим выражения только для продольных компонент поля. В итоге получим для них уравнения Гельмгольца на плоскости(x,y):
где оператор D в выбранной системе координат имеет вид:
Решения этих уравнений и определят вид зависимостей и в поперечном сечении волокна. Как видно, связи между этими двумя уравнениями нет. Однако это не означает, что продольные компоненты электрического и магнитного полей независимы друг от друга. Эта связь имеет место, тесно связана с граничными условиями в местах разрыва показателя преломления, и в дальнейшем она проявиться. Поперечные компоненты поля найдутся с помощью зависимостей (10) , и, тем самым, мы полностью определим вид монохроматического электромагнитного поля в волокне:
Решения для не монохроматических полей можно представить в виде суммы (интеграл Фурье) таких зависимостей для каждой частоты w взятых с определенным весом, который определяется спектром этого возбуждения. В дальнейшем будем рассматривать только монохроматическое возбуждение.
3. Решения.
Как было показано выше, задача свелась к тому, что необходимо решить скалярные уравнения в частных производных (12). Фактически надо решить только одно уравнение, поскольку решение второго имеет похожий вид. В связи с круговой симметрией задачи решение уравнений (12) удобно искать в полярных координатах (рис 2). Запишем одно из уравнений (12) в полярных координатах:
Опять же, благодаря круговой симметрии решения уравнения (13) можно представить в виде произведения двух функций. Первая функция зависит только от радиуса r, а вторая - только от угла j (метод разделения переменных):
Подставляя (14) в (13):
Теперь, разделив всё уравнение на величину Y(r)×c(j)¤r2 , перенесём в правую часть выражение, зависящее только от одной переменной:
Каждая часть этого выражения зависит только от одной, своей переменной. Это означает, что левая и правая части этого уравнения определяет некоторое число l2, которое остаётся одним и тем же для всех возможных значений r и j. Следовательно, функция от угла c(j) должна удовлетворять уравнению:
Откуда получим выражение для c(j):
Значения постоянной l должны быть целыми и действительными, потому что только в таком случае поле будет удовлетворять условию самосогласованности c(j)=c(j+2p). Поскольку показатель преломления не имеет разрывов в своём угловом распределении, то и электромагнитное поле тоже будет иметь непрерывное угловое распределение. А так, как угловые координаты j и j+2p соответствуют одной и той же точке в пространстве для заданного значения координаты r, то должно выполняться условие самосогласованности. Если рассматривать случай r=a, то тогда следует говорить о значении показателя преломления как о пределе функции n(r) слева и справа от точки a (рис 3). Для каждого такого предела будет иметь место соответствующий предел функции распределения электромагнитного поля. Итак
l=0,1,2… .
Выражение (16) определяет функцию c(j) с точностью до комплексного множителя A1. Без ущерба для дальнейших выводов, можно принять A1=exp(i×d),где d-некоторое число, тогда выражение (16) примет вид:
(16,a)
В такой записи явно просматривается роль d, как угла поворота углового распределения c(j) относительно выбранной системы координат. Подставив (16,a) и (14) в (13) получим уравнение для функции от радиусаY(r):
Теперь следует конкретизировать вид выражения (17) для областей жилы и оболочки. На рисунке 3 представлен профиль показателя преломления n(r). Для области жилы e1=(n1)2, а для области оболочки: e2=(n2)2. Будем рассматривать только такие значения констант распространения bq, значения которых лежат в пределах:
Удобно ввести величину эффективного показателя преломления nq:
Тогда условие (18) можно представить в более наглядном виде:
Это условие не является случайным, поскольку, как будет ниже показано, только в этом случае поле может быть локализовано в жиле и некоторой прилегающей к ней области.
В таком случае, выражение будет иметь разные знаки в зависимости, от того для какой области записывается уравнение (17). В области жилы оно принимает положительные значения, а в области оболочки – отрицательные. Примем обозначения:
Эти константы являются положительными при выполнении условия (18). Выпишем уравнения (17) для жилы и оболочки с помощью этих констант:
(22.a)
И, произведя замены переменных r’=+|uq|r для первого уравнения, и r’’=+|vq|r для второго, получим следующие уравнения в области жилы и оболочки:
Эти два уравнения известны как уравнение Бесселя (23.a) и модифицированное уравнение Бесселя (23.b). Их решения хорошо известны. Из этих решений выберем те, которые являются конечными в области их рассмотрения. Так, для уравнения (23.a) выберем функции Бесселя первого рода Jl(r’), а для уравнения (23.b) выберем модифицированные уравнения Бесселя второго рода Kl(r’’). Характерный вид этих функций показан на рисунках 4 и 5.Видно, что функция Jl(r’) является ограниченной, а функция Kl(r’’) стремиться к бесконечности при стремлении к нулю r, и стремиться к нулю при неограниченном увеличении r. Такой выбор функций хорошо согласуется с условием локализации поля в жиле и её окрестности. Здесь же отметим, что такая локализация оказывается возможной только в случае выполнения условия (20). Если величина эффективного показателя преломления будет меньше чем n2, то уравнения (17) в области оболочки приняло бы вид уравнения (22.a),а его решения вид функций Бесселя первого рода. А эти функции имеют осциллирующий слабо затухающий характер. Поэтому поле, описываемое такими функциями, не было бы локализовано в окрестности жилы, а простиралось бы далеко в оболочку. Но мы такие поля рассматривать не будем, поэтому в соответствии с условием (20), функция Y(r) имеет следующий вид:
А сами продольные компоненты поля представляются в виде:
Где A1, A2, B1, B2 некоторые постоянные, которые нужно определить.
Теперь используя эти выражения и формулы (10) получим вид поперечных составляющих электромагнитного поля. В полярных координатах это будут радиальные и тангенсальные компоненты Er и Ej. для электрического поля и Hr и Hj. для магнитного.
Вид поперечных компонент электромагнитного поля:
Где штрихи означают производную по аргументу функции, а не по r. Тем самым, характер пространственной зависимости поля определён с точностью до четырёх коэффициентов A1, A2, B1, B2.
4. Характеристическое уравнение и классификация мод.
Теперь остаётся найти значения постоянных коэффициентов в (25) и набор значений констант распространения bq. Это можно сделать, если удовлетворить граничным условиям, которым должно подчиняться электромагнитное поле на границе раздела двух сред. В нашем случае это означает, что продольные и тангенсальные компоненты должны быть непрерывными:
Система уравнений (27) определяет связь между коэффициентами A1, A2, B1, B2. Эта система является линейной относительно этих коэффициентов, и сводиться к виду:
где вектор
а S является матрицей:
Система уравнений (28) является совместной при условии, что детерминант матрицы S равен нулю:
Это уравнение называют характеристическим. Его решения зависят как от параметров волокна n1,n2,a, так и от параметров электромагнитного поля w и bq. Но можно составить из этих параметров такие комбинации, что искомые решения практически будут зависеть только от них. Вводится параметр V называемый нормализованной частотой. Он определяется так:
Искомое решение теперь сильно зависит от этого параметра и слабо зависит от конкретных значений e1 и e2, при условии, что разница между ними много меньше их самих. Именно такой случай и имеет место на практике. Таким образом, решения характеристического уравнения (31) представляют собой неявную зависимость константы распространения от параметра V: . Для наглядности представления результатов вводят ещё один параметр bq:
который называют нормализованным показателем преломления. И решения уравнения (31) представляют в виде набора зависимостей bq(V).
Раскрывая детерминант (30) получим уравнение:
Решения этого уравнения определяют значения bq. Однако его можно представить в более удобном виде, используя обозначения для параметров bq и V , и выразив через них константы vq и uq, получим:
где приняты следующие обозначения:
и использовано универсальное для всех цилиндрических функций соотношение:
Каждое решение характеристического уравнения приводит к определённой конфигурации поля, которая называется модой. Все моды разделяют на два типа: HE и EH моды. Такое разделение связано с тем, что уравнение (34) можно разделить на два уравнения, определив его нули относительно h. Нули уравнения (34):
И теперь получаем
h-h1=0 (35.a)
h-h2=0 (35.b)
Уравнение (35.a) соответствует HE модам, а (35.b) EH модам. Каждое из уравнений (35) может иметь несколько действительных корней. Количество этих корней зависит от параметра V, числа l и типа моды. Не для всех чисел l, при заданном V существуют решения. Но при достаточно больших значениях V может существовать несколько решений при данном значении l. Вводят второй индекс m который отвечает за номер решения при некотором l.При увеличении параметра V от нулевого значения сначала может не быть ни одного решения с заданным l, потом появляется одно решение, затем второе и т.д. Число m ставят в соответствии с этой очерёдностью появления решений. Таким образом, выстраивается семейство решений, или семейство мод, поскольку каждое решение приводит к одной определённой моде. Каждую моду обозначают следующим образом: HElm или EHlm, в зависимости от её типа и номеров l и m. Для каждого номера q ставиться в соответствие тип моды и два индекса l и m. Это соответствие строится таким образом, что бы большим номерам q соответствовало большее значение bq.
Следует выделить один исключительный случай, когда выполняется равенство l=0. При этом система уравнений (28) распадается на две независимые системы. Причём одна система связывает только коэффициенты A1 и A2 (при этом полагается, что B1=B2=0) , а вторая, только B1 и B2 (аналогично A1=A2=0). Условие совместности для каждой системы даст некоторое характеристическое уравнение. Впрочем, общий вид (35) разделения характеристического уравнения вмещает в себя этот случай (при этом для ненулевых коэффициентов A1,A2 используется первое уравнение с h1=0, а для ненулевых B1,B2 второе с h2=-p/a). В связи с тем, у мод с l=0 отсутствуют продольные компоненты либо электрического, либо магнитного полей, их называют также TE и TM модами. TM0m (Transverse Magnetic) моды волокна соответствуют обозначению НЕ0m, а TE0m (Transverse Electric) - ЕН0m.
Само характеристическое уравнение не может быть решено аналитически. Оно решается численно. Результаты численного вычисления представлены на рисунках. Такие диаграммы позволяют легко определить число мод распространяющихся по волокну. А поскольку при наличии определённого волокна нормализованная частота может изменяться только за счёт изменения частоты, то эти зависимости могут также определить и характер дисперсии излучения в волокне. При наличии нескольких мод имеет место межмодовая дисперсия, связанная с тем, что различные моды имеют различные фазовые скорости. Кроме того, имеет место внутримодовая дисперсия, определяемая зависимостью фазовой скорости от частоты. Эта зависимость непосредственно связана с показанными диаграммами.
Как видно, не всегда может распространяться та или иная мода, но мода HE11 может существовать при любом положительном V. Величина нормализованной частоты, ниже которой определенная мода не может существовать называется нормализованной частотой отсечки. Сразу оговоримся, что имеются в виду моды, которые локализованы в окрестности жилы, т.е. такие моды, для констант распространения которых выполняется условие (18). Согласно этому условию параметр bq должен находиться в пределах: bqÎ(0,1). Поэтому частота отсечки определённой моды с номером q будет определяться условием bq=0.
Для моды HE11 частота отсечки нулевая, поэтому её называют основной. Значение Vc»2.405 является отсечкой для мод HE01 и EH01. При всех значениях V меньше этого значения волокно является одномодовым.
- Распределение полей.
Найдя одно из решений характеристического уравнения, можно решить систему уравнений (28) , выразив все коэффициенты через какой-либо один. А его в свою очередь можно задать из соображений нормировки. Таким образом определяться все четыре коэффициента, а значит и полная структура поля.
Выразим все коэффициенты через A1:
Здесь уравнение (36.b) справедливо только при l¹0. При l=0 связи между коэффициентами A1,A2 и B1,B2 нет.
Ниже представлены распределения электрического поля в волокне посчитанные для некоторых мод. Как отмечено выше особое значение имеет основная мода. Также рассмотрим моды HE01 и EH01..На рисунках представлены только распределения электрического вектора и интенсивности света. Поле основной моды проникает далеко в оболочку при V меньше чем 0.5. Это ограничивает применение решения этой задачи, поскольку в таком случае становится значительным влияние конечных размеров оболочки. Поэтому основная мода тоже имеет некоторую эффективную частоту отсечки, но она находиться уже за пределами выбранного приближения. Относительно всех мод можно сказать, что они имеют некоторые эффективные частоты отсечки, которые имеют значение несколько выше номинального, определяемого в рамках этой модели. Условие отсечки, которое взято в модели за основу это условие (18). Это условие обеспечивает требуемую локализацию поля в некоторой конечной области жилы, его характерное затухающее поведение в глубине оболочки. Однако, при эффективных частотах близким к частотам отсечки, область локализации может быть хоть и конечной, но всё же больше или сравнима с размерами самого волокна. Как правило, это приводит к сильному поглощению света или к сильному его высвечиванию даже на не больших на изгибах волокна. Поэтому не наблюдается эффективного прохождения излучения по волокну. Как говорят “мода не волноводится”. Откуда и возникает понятие об эффективной частоте отсечки, как о таком значении параметра V, когда начинают проявляться указанные эффекты. Количественные расчёты, учитывающие эффекты такого рода довольно сложны, и здесь не представлены.
Все распределения, показанные на рисунках, построены для коэффициента d, в выражении (16.а), равного нулю. При этом показаны только действительные части амплитуды . Но несложно представить себе и мнимую часть распределения амплитуды электрических колебаний. Распределение мнимой продольной компоненты будет таким же, как и для действительной, но “повёрнутое” на угол 90/l градусов вокруг оси z. Тогда если мы положим d=-90/l градусов, и посчитаем действительные распределения амплитуд, то они будут такими же как мнимые распределения при d=0. Но угол d есть ничто иное, как угол поворота относительно выбранной системы координат. Значит, картина распределения мнимой части амплитуды поля будет такая же, как и действительная, но только повёрнутая на угол 90/l. В частности, для показанной моды HE11 мнимая часть распределения амплитуды будет поляризована вдоль оси x.
Как показывает выражение (2.c) колебания с мнимым распределением амплитуды будут отставать по фазе от колебаний с действительным распределением на величину p¤2. Если вектора и в какой-либо точке поперечного сечения волокна равны по модулю и ортогональны друг другу, то согласно (2.c) электромагнитное поле в этой точке будет иметь круговую поляризацию. В противном случае имеет место эллиптическая поляризация, а при условии, что один из векторов равен нулю, получим линейную поляризацию.
Рассмотрим теперь моды с l=0. Эти моды имеют следующую особенность. Один из векторов или для TM мод ( или для TE мод) имеет только продольную составляющую, а другой только поперечную. Поэтому поле этих мод в каждой точке поперечного сечения волокна имеет линейную поляризацию. (См рис. 16)
Жабин С.Н. 26.02.2002
- Круг наследников по закону. Принцип очередности наследования по закону
- Круговорот веществ в биосфере
- Круговорот веществ в биосфере
- Круговорот веществ в природе
- Круговорот веществ в природе
- Круговорот веществ в природе
- Круговорот веществ и потоки энергии в экосистемах
- Кросс-культурный анализ рекламной коммуникации
- Кросс-культурный анализ. Швеция
- Кросс-культурный менеджмент
- Кросскультурный менеджмент
- Кр по конст праву
- Кр по правоведению
- "Круг Земной" Снорри Стурлсона как исторический источник
