Линейная алгебра. 4

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Филиал  федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего  профессионального  образования

«Уральский  государственный  экономический университет»

в г.Березники

Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

по дисциплине: «Линейная алгебра» 
 

Выполнила:

. 
 

Проверил: 
 
 

Березники

2011

СОДЕРЖАНИЕ 

Задание 1-10………………………………………………………………………….3

Задание 11-20…………………………………………………………………...……5

Задание 21-30…………………………………………………………………...……7

Задание 31-40…………………………………………………………………….....10

Задание 41-50…………………………………………………………………….....15

Задание 51-60…………………………………………………………………….....16

Задание 61-70…………………………………………………………………...…..18

Задание 71-80…………………………………………………………………….....18

Список использованных источников……………………………………………...19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВАРИАНТ № 8

Задание 1-10. Для матриц

найти сумму A+B, разность А–В, произведения А·В и В·А, определители, транспонированные и обратные матрицы.

Решение.

Находим сумму матриц.

_{Находим разность матриц.}

Находим произведение матриц А и В.

Находим произведение матриц В и А.

Транспонируем матрицы.

Находим определители матриц.

Находим обратную матрицу.

_{Находим обратную матрицу.}

Задание 11-20. Для матрицы

вычислить определитель и найти обратную матрицу.

Решение.

Вычисляем определитель.

Вычисляем обратную матрицу.

 обратная матрица существует

Находим алгебраические дополнения всех элементов  матрицы.

Составляем  из полученных элементов матрицу.

_{Транспонируем полученную матрицу.}

_{Находим обратную матрицу.}

Задание 21-30. Решить систему уравнений

а) с помощью правила Крамера

б) матричным методом

в) методом Гаусса.

Решение.

а) Решение  системы уравнений с помощью правила Крамера

_{Матрица из коэффициентов  системы.}

_{Столбец правых частей системы.}

Находим главный  определитель.

Для вычисления x найдем первый определитель, для чего заменим первый столбец столбцом свободных членов.

_{Аналогично  находим y.}

Делим нужные определители на главный определитель.

Решение системы: ;

б) Решение системы уравнений матричным методом

_{Матрица из коэффициентов  системы.}

_Здесь:

_{Столбец неизвестных.}

_{Столбец правых частей системы.}

_{Находим обратную матрицу.}

_Тогда,

Решение системы: ;

в) Решение системы уравнений методом Гаусса.

Составим  расширенную матрицу.

Меняем  местами первую и вторую строки.

Делим первую строку на 6. Получим ступенчатый вид матрицы.

Получаем.

Решение системы: ;

Задание 31-40. Решить систему уравнений

а) с помощью  правила Крамера

б) матричным  методом 

в) методом  Гаусса.

Решение.

а) Решение системы уравнений с помощью правила Крамера.

Матрица из коэффициентов системы.

_{Столбец правых частей системы}

Находим главный определитель

Для вычисления x найдем первый определитель, для чего заменим первый столбец столбцом свободных членов.

_{Аналогично  находим y, z}

Делим нужные определители на главный определитель.

Решение системы: ; ;

б) Решение системы уравнений матричным методом

Матрица из коэффициентов системы.

Вычисляем определитель

_{Столбец правых частей системы}

_{Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов матрицы  А.}

_{Составляем  из них матрицу.}

_{Транспонируем полученную матрицу.}

_{Находим обратную матрицу.}

Находим решение системы.

Решение системы: ; ;

в) Решение системы уравнений методом Гаусса.

Составим  расширенную матрицу.

Из главных элементов первого столбца выбираем наименьший по модулю. Меняем первую и третью строки.

Под элементом 1 в первом столбце пишем нули. Просчитываем новые элементы по правилу  прямоугольников.

Делим третью строку на 5.

Получаем  ступенчатый вид матрицы. Приведем к главному ступенчатому виду. Применяем  «обратный ход».

Это главный  ступенчатый вид матрицы.

Получаем: ; ;

Задание 41-50. Методом Гаусса решить систему уравнений.

Составим  расширенную матрицу.

Меняем  строки 1 и 2.

Умножаем 2, 3, 4 строки на -1. Меняем 2 и 3 строки.

Из 2 строки вычитаем 1 строку. 4 строку делим на 7.

3 и 4 строки одинаковые. 4 строку убираем.

Меняем 2 и 3 строки.

Получаем  главный ступенчатый вид матрицы.

Отсюда.

51-60. Даны точки А(8, 5), В(2, 6), С(9, 7), α=6, β=2. Найти координаты вектора α и β , скалярное произведение векторов и , длину вектора , косинус угла между векторами и , уравнение прямой АС, расстояние от точки В до прямой АС.

Решение.

Найти координаты вектора α и β

Найти скалярное произведение векторов и

Найти длину вектора

Найти косинус угла между векторами и

Длина вектора 

Находим длину  вектора

Скалярное произведение векторов и

 

Находим косинус угла между векторами и

Найти уравнение прямой АС

А(8, 5), С(9, 7)

 

Найти расстояние от точки В до прямой АС

61-70. Что можно сказать о взаимном расположении прямых 3x + y – 5 = 0 и 21x + 7y – 35 = 0?

прямые совпадают.

71-80. Изобразить прямую 3х + у – 5 = 0.

Подставим в  уравнение прямой значение

х = 0

т.е., y = 5

т.М (0, 5) принадлежит этой прямой.

y = 0

т.е., y = 5/3

т.N (5/3, 0) принадлежит этой прямой. 

 

_{СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ}

_{1 Практикум по высшей математике для экономистов: учебное пособие для вузов [Текст]: учебник / Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 423 с.}

_{2 Конспект лекций по дисциплине «Линейная алгебра».}