Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Линейная регрессивная модель

Содержание 1.Описание задания 2 2.Линейная регрессивная модель 3 3.Построение степной регрессивной модели 5 4. Показательная регрессивная модель 7 Выводы 10

Список литературы 12

1. ОПИСАНИЕ ЗАДАНИЯ

На основании данных нижеприведенной таблицы построить линейное и степенное уравнения регрессии.

Для построенных уравнений вычислить:

коэффициент корреляции;
коэффициент детерминации;
дисперсионное отношение Фишера;
стандартные ошибки коэффициентов регрессии;
t — статистики Стьюдента;
доверительные границы коэффициентов регрессии;
усредненное значение коэффициента эластичности;
среднюю ошибку аппроксимации.

Имеются данные за 5 лет по области об обеспечении жильем вынужденных переселенцев. Y-число семей, получивших жилье(тыс.чел); х- всего нуждающихся(тыс.чел).

Таблица 1. 1) для характеристики зависимости у от х рассчитываются параметры следующих функций (линейной, степенной, показательной, равносторонней гиперболы).

2) оценивается каждая модель через среднюю ошибку аппроксимации А и F- критерии Фишера.

2.ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ

Для расчета параметров а и b линейной регрессии у=а+b∙x ,решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

n∙a+b∙∑x=∑y

yx- y∙x

a∙∑x+b∙∑x²=∑y∙x получаем b= σ²x

табл.№2

год	у	х	ух	x²	y²	ŷx	у – ŷx	Аi
2001	21.5	28.3	608.45	800.89	462.25	21.96	-0.46	2.1
2002	21.8	31.2	680.16	973.44	475.24	21.35	0.45	2.1
2003	19.2	27.9	535.68	778.41	368.64	22.04	-2.84	14.8
2004	17.6	31.4	552.64	985.96	309.76	21.31	-3.71	21.1
2005	23.8	45.6	1085.28	2079.36	566.44	18.33	5.47	22.9
Итого	103.9	164.4	3462.21	5618.06	2182.33			63
Среднее значение	20.78	32.88	692.44	1123.61	436.47			12.6
σ	2.158	6.5199
σ²	4.66	42.51

Дисперсия получается, по формуле

σy²= n ∑(yi-y)²

σy²=437.47-20.78²=4.66 σх²=1123.61-32.88²=42.51 ух-у∙х

b= σ²x =(692.44-20.78*32.88)/ 42.51=0.21 а= у-b∙x=20.78+0.2164*32.88=27.9 уравнение регрессии ŷ=100,9-0.21х

ŷ2001=27.9-0.21∙28.3=21.96

ŷ2002=27.9-0,21∙31.2=21.35

ŷ2003=27.9-0.21*27.9=22.04

ŷ2004=27.9-0,21*31.4=21.31

ŷ2005=27.99-0,21*45.6=18.33

Считаем линейный коэффициент парной корреляции

rху=b∙σx ∕ σy=0.21*6.5199/5.5025=0.24 rху²= 0.24²=0.0576 коэффициент детерминации. Вариация результата на 57% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения ŷx и занесем их в таблицу. Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

|yi-ŷxi|

Аi= yi *100%

А2001=|-0.46|/21.5*100%=2.1%

А2002=0.45/21.8*100%=2.1%

А2003=|-2.84| / 19.2*100%=14.8%

А2004=|-3.71|/17.6*100%=21.1%

А2005=5.47 /23.8*100%=22.9%

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 12.6%

По каждому наблюдению вычислим величину отклонения. Полученные данные занесем в таблицу. Рассчитываем F критерий ∑(ỹx-y)²/m r²xy

Fфакт= = =0,0576/(1-0,0576)*(5-2)=0.19

∑(y-ỹ)² /(n-m-1) 1-r²xy (n-2)

т.к Fтабл.α=0,05 =10,13 следовательно Fтабл> Fфакт отсюда следует, что гипотеза Но принимается. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений. 3.ПОСТРОЕНИЕ СТЕПЕННОЙ РЕГРЕССИВНОЙ МОДЕЛИ

У=а*х предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Lg y=lg a+b* lg x;

Y=C+b*X где

Y=lg y.,C= lg a., X= lg x

Табл.№3

№ п/п	Y	X	YX	Y²	X²	ŷx	yi-ŷx	(yi-ŷx)²	Ai
2001	1,33	1,45	1,9285	1,7689	2.1025	20,83	0,67	0,449	3,12
2002	1,34	1,49	1,9966	1,7956	2,2201	22.97	-1,17	1,369	5,37
2003	1,28	1,44	1,8432	1,6384	2,0736	20,54	-1,34	1,796	6,98
2004	1,25	1,50	1,875	1,5625	2,25	23,11	-5,51	30,36	31,31
2005	1,38	1,66	2,2908	1,9044	2,7556	33,57	-9,77	95,46	41,05
Итого	6,58	7,54	9,9341	8,6698	11,402			174,97	87,83
Сред.знач	1,316	1,508	1,98682	1,7339	2,2804			34,99	17,57
σ	0,0448	0,0793
σ²	0,0020	0,0063

σ²x= n ∑(хi-х)²=2,2804-1,508²=0,0063 σy²= n ∑(yi-y)²=1,7339-1,73189²=0,0020 вычислим значения С и b по формуле:

b= yx-y∙x =(1,98682-1,316*1,508)/0,0063=0,36825 С=Y+b∙X=1,316+0,36825*1,508=1,8713 Получим линейное уравнение Ỹ=1,8713-0,36825*Х, после потенцировании

1,8713 0.36825 0.36825

получим: ŷ=10 *х =315,7 *х

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоритические значения результата ŷx. По ним рассчитываем показатели: тесноты связи – индекс корреляции ρxy и среднюю ошибку аппроксимации Аi

1.8713

Ŷ2001=10 *28.3=20,83

1,8713

Ŷ2002=10 *31,2=22,97

1,8713

Ŷ2003=10 *27,9=20,54

1,8713

Ŷ2004=10 *31,4=23,11

1,8713

Ŷ2005=10 *45,6=33,57 далее рассчитаем Аi

l (yi-ỹхi)

А= n ∑ Аi = уi ∙100%

А2001=0,67/21,5*100%=3,12%

А2002=1,17/21,8*100%=5,37%

А2003=1,34/19,2*100%=6,98%

А2004=5,51/17,6*100%=31,31%

А2005=9,77/23,8*100%=41,05%

ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√ l-34,99/4,66=0,27 определим коэффициент по формуле детерминации:

r²xy=(Pxy)²=(0,27)²=0,0729 Характеристика степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь. 4.ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ

Построению уравнения показательной кривой у=а ·bx предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

Lg y=lg a+x*lgb

Y=C+Bx где,

Y=lg y., C=lg a., B=lgb

Табл.№4

год	Y	X	YX	Y²	X²	ŷx	yi-ŷx	(yi-ŷx)²	Ai
2001	1,33	28,3	37,639	1,7689	800,89	20,18	1,32	1,742	6,14
2002	1,34	31,2	41,808	1,7956	973,44	22,91	-1,11	1,232	5,09
2003	1,28	27,9	35,712	1,6384	778,41	20,24	-1,04	1,081	5,42
2004	1,25	31,4	39,25	1,5625	985,96	22,84	-5,24	27,46	29,77
2005	1,38	45,6	62,928	1,9044	2079,36	33,46	-9,66	93,32	40,93
Итого	6,58	164,4	217,337	8,6698	5618,06	119,63		124,84	87,35
Сред.знач	1,316	32,88	47,467	1,7339	1123,61			24,967	17,47
σ	0,046	6,52
σ²	0,0021	42,52

Значения параметров регрессии А. и В составили:

b= Υ·x - Υ· x =(47,467-1,316*32,88)/42,52=0,0987

σ²x

А=Υ-В * х=1,316+0,0987*32,88=4,5612 Получено линейное уравнение : Ỹ=4,516-0,0987* х рассчитаем Аi

l (yi-ỹхi)

А= n ∑ Аi = уi ∙100%

А2001=1,32/21,5*100%=6,14%

А2002=1,11/21,8*100%=5,09%

А2003= 1,04/19,2*100%=5,42%

А4=5,24/17,6*100%=29,77%

А2005=9,66/23,8*100%=40,93%

Аi=17,47%

Тесноту связи оцениваем через индекс корреляции:

ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√l-24,967/4,66=0,26

Связь умеренная, но немного хуже чем в предыдущем случае.

Коэффициент детерминации : r²xy=(Pxy)²=(0,26)²=0,068 Аi=17,47%. Показательная функция чуть хуже, чем степенная- она описывает изучаемую зависимость.

РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ РАВНОСТОРОННЕЙ ГИПЕРБОЛЫ.

Уравнение равносторонней гиперболы у=а+b х линеаризуется при замене

Z= х , тогда уравнение равносторонней гиперболы принимает следующий вид: у=а+b*z

Табл.№5

№ п/п	Y	Z	YZ	Z²	Y²	ŷz	yi-ŷz	(yi-ŷz)²	Ai
1	21,5	0,035	0,75	0,001225	462,25	22,60	-1,1	1,21	5,12
2	21,8	0,032	0,68	0,001024	475,24	21,01	0,79	0,63	3,62
3	19,2	0,036	0,69	0,001296	368,64	23,11	-3,91	15,28	20,36
4	17,6	0,032	0,56	0,001024	309,76	21,01	-3,41	11,62	19,38
5	23,8	0,022	0,52	0,000484	566,44	15,99	7,81	60,99	32,81
Итого	103,9	0,157	3,2	0,005053	2182,33	103,72	0,18	89,73	81,29
Сред знач	20,78	0,0314	0,64	0,001010	436,47			17,95	16,26
σ	2,16	0,0049
σ²	4,66	0,0000246

σy²= n ∑( yi – y )²=436.47-20,78²=4,66 σ²z=0,0010106-0,0314²=0,0000246 значения параметров регрессии а и b составили:

b= y·z - y · z =(0,64-20,78*0,0314)/0,0000246=508,13

σ²z

а=y - b * z =20,78-508,13*0,0314=4,82 получено уравнение

ŷ=4,82+508,13*z ŷ2001=4,82+508,13*0,035=22,60

ŷ2002=4,82+508,13*0,032=21,01

ŷ2003=4,82+508,13*0,036=23,11

ŷ2004=4,82+508.13*,032=21,01

ŷ2005=4,82+508,13*0,022=15,99

Индекс корреляции: ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√l-17,95/4,66 =0,19 Связь тесная, но хуже чем в предыдущих моделях.

r²xy=(Pxy)²=(0,19)²=0,361

А=16,26%, т.е остается на допустимом уровне.

P²xy n-m-l 0,361 0,331

Fфакт= l-P²xy * m = l- 0,361 *3 = 0,3184 *3 =3,11

Т.к Fтабл.α=0,05=10,13 следовательно Fфакт< Fтабл отсюда следует, что гипотеза Но принимается. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

Вывод В заключении проанализируем полученные в курсовой работе результаты исследований и выберем рабочую модель.

Экономический анализ моделей, по результатам исследования получил следующие значения:

Коэффициент парной корреляции rxy= 0,24 у линейной модели;

Индекса корреляции Pxy =0,27 у степенной модели;

Индекса корреляции Pxy =0,26 у показательной модели;

Индекса корреляции Pxy =0,19 у модели равносторонней гиперболы.

Данные индексы показывают, что связь у(х) (среднесуточная производительность труда от стоимости основных производственных фондов) прямая, тесная, высокая.

С экономической точки зрения, все модели достаточно хороши, т.е у всех моделей при увеличении расходов на подготовку и освоение производства – производительность труда увеличивается. Это значит что на данных предприятиях есть резервы для расширения производства, резервы для введения новых технологий с целью увеличения прибыли.

Руководствуясь целью курсовой работы можно сделать вывод, что из всех рассмотренных моделей линейная модель лучше всех отражает экономический смысл. А теперь сравним регрессивные модели по средней ошибке аппроксимации А ,которая показывает, на сколько фактические значения отличаются от теоретических рассчитанных по уравнению регрессии т.е у и ŷx:

У линейной модели А1=12,6%;

У степенной модели А2=17.5%;

У показательной модели А3=17,47%;

У равносторонней гиперболы А4=16,26%.

Средняя ошибка аппроксимации А1, А2, А3, А4 находятся в допустимом пределе.

Вывод: чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным (лучшее качество модели). По расчетным данным моей работы показательная модель имеет лучшее качество. Сравнивая регрессивные модели по коэффициенту детерминации r²xy линейной, степенной. Показательной и равносторонней гиперболы видим, что статистические характеристики модели равносторонней гиперболы превосходят аналогичные характеристика других моделей, а именно : коэффициент детерминации у линейной модели равен 0,576; у степенной 0,729; у показательной 0,68 и у равносторонней гиперболы 0,361. Это означает, что факторы, вошедшие в модель равносторонней гиперболы. Объясняют изменение в обеспечении жильем на 57.6%, тогда как факторы, вошедшие в линейную модель на 72,9%, в показательную на 68% и в степенную на 36,1%, следовательно, значения, полученные с помощью коэффициента детерминации модели равносторонней гиперболы более близки к фактическим. На основании этого, модель равносторонней гиперболы выбирается за рабочую модель в данном примере. Список литературы

Кравченко Г.В. Эконометрика: Компьютерный практикум: Учебное пособие Барнаул, 2008. - 56 с.
Практикум по эконометрике: Учебное пособие / Под ред. Елисеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 192с

Эконометрика: Учебник / Под ред. Елисеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2004 . - 344с.

Магнус Я., Катышев П. К., Пересецкий А.А. Эконометрика (начальный курс). М., Изд-во Дело, 2007. – 352 с.
Эконометрика. Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на ПЭВМ М.: Вузовский учебник, 2005. - 122 с.

Линейная регрессивная модель 📙 Контрольная → 🆔 83683