Математические методы и модели в экономике. 2

ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «»

 

 

 

К О Н Т Р О Л Ь Н  А Я     Р А Б О Т  А

 

По предмету:  Математические методы и модели в экономике

На тему: __________________________________________________

Вариант №  3

 

 

 

Выполнил:

Студент 2 курса ()

_______  4 семестр

Ф.И.О. 

 

 

 

Ташкент-2009

№3. Пользуясь методом Жордано-Гаусса, решить систему линейных уравнений.

 

 

Решение. Все результаты вычислений заносим в таблицы, первый столбец которых отводится для записи базисных переменных, во второй столбец записываем свободные члены уравнений, в остальные – коэффициенты при переменных соответствующих уравнениях.

БП

В

х1

х2

х3

х4

 

30

8

-1

-1

3

 

1

5

-5

-1

-2

 

51

10

3

0

2

 

19

3

2

0

1


В качестве генерального элемента выбираем и в первом строке в первом столбце записываем название базисной переменной . Все элементы генеральной строки делим на генеральный элемент и результат деления записываем в той же строке. Число полученные в результате деления, умножаем поочередно на элементы генерального столбца с противоположными знаками и произведения записываем в соответствующие клетках

БП

В

х1

х2

х3

х4

 

30

8

-1

-1

3

x1

3,75

1

-0,125

-0,125

0,375

 

1

5

-5

-1

-2

 

-18,75

-5

0,625

0,625

-1,875

 

51

10

3

0

2

 

-37,5

-10

1,25

1,25

-3,75

 

19

3

2

0

1

 

-11,25

-3

0,375

0,375

-1,125


 

Переходим к следующей таблице: без изменения переносим элементы генеральной строки, полученные в  результате деления на генерального элемента; во всех остальных клетках  находим суммы и заносим их в соответствующие клетки новой таблицы

 

БП

В

х1

х2

х3

х4

x1

3,75

1

-0,125

-0,125

0,375

 

-17,75

0

-4,375

-0,375

-3,875

 

13,5

0

4,25

1,25

-1,75

 

7,75

0

2,375

0,375

-0,125


 

 

Продолжаем решение системы. В  качестве генерального элемента выбираем . Все дальнейшие действия видны из таблиц.

БП

В

х1

х2

х3

х4

x1

3,75

1

-0,125

-0,125

0,375

 

0,507143

0

0,125

0,010714

0,110714

 

-17,75

0

-4,375

-0,375

-3,875

x2

4,057143

0

1

0,085714

0,885714

 

13,5

0

4,25

1,25

-1,75

 

-17,2429

0

-4,25

-0,36429

-3,76429

 

7,75

0

2,375

0,375

-0,125

 

-9,63571

0

-2,375

-0,20357

-2,10357


 

БП

В

х1

х2

х3

х4

x1

4,257143

1

0

-0,11429

0,485714

x2

4,057143

0

1

0,085714

0,885714

 

-3,74286

0

0

0,885714

-5,51429

 

-1,88571

0

0

0,171429

-2,22857


 

БП

В

х1

х2

х3

х4

x1

4,257143

1

0

-0,11429

0,485714

 

-0,48295

0

0

0,114286

-0,71152

x2

4,057143

0

1

0,085714

0,885714

 

0,362212

0

0

-0,08571

0,533641

 

-3,74286

0

0

0,885714

-5,51429

x3

-4,22581

0

0

1

-6,22581

 

-1,88571

0

0

0,171429

-2,22857

 

0,724424

0

0

-0,17143

1,067281


 

БП

В

х1

х2

х3

х4

х1

3,774194

1

0

0

-0,22581

x2

4,419355

0

1

0

1,419355

x3

-4,22581

0

0

1

-6,22581

 

-1,16129

0

0

0

-1,16129


 

БП

В

х1

х2

х3

х4

х1

3,774194

1

0

0

-0,22581

 

0,225806

0

0

0

0,225806

x2

4,419355

0

1

0

1,419355

 

-1,41935

0

0

0

-1,41935

x3

-4,22581

0

0

1

-6,22581

 

6,225806

0

0

0

6,225806

 

-1,16129

0

0

0

-1,16129

x4

1

0

0

0

1


 

 

 

БП

В

х1

х2

х3

х4

х1

4

1

0

0

0

x2

3

0

1

0

0

x3

2

0

0

1

0

x4

1

0

0

0

1


 

Данная система  имеет единственное решение

 

 

 

№13.Построит на плоскости область решений системы линейных неравенств

и геометрически  найти наименьшее и наибольшее значения линейной функции  в этой области.

Решение. 1. Строим прямую границу области решений неравенства . Она делит плоскость на две полуплоскости. Точка (0,0)  удовлетворяет неравенству, следовательно, решением неравенства является множества всех точек полуплоскости, содержащей начало координат.

Аналогично решаем графически остальные неравенства. Общая часть всех полуплоскостей – решений,  в нашем случае АВС, является областью решений системы линейных неравенств.

 

2. Строим вектор градиент целевой  функции  :

(координаты вектора-градиента – частные производные функции).

3. Проводим линию линейной функции  перпендикулярно вектору-градиенту.  Для отыскания точки, соответствующей максимальному значению функции, сдвигаем линию уровня параллельно самой себе в направлении, указанном вектором .  Для определения точки, соответствующей минимальному значению функции, сдвигаем линию уровню параллельно самой себе в противоположному направлении, указанном вектором

Вычислим координаты точек С и A, решая соответствующие системы уравнений.

Точка C пересечение линии 2 и 3:

 

Таким образом,  C(14;9) и

Точка A пересечение линии 1 и 3:

Таким образом, и

 

№23 Данную задачу линейного программирования привести к каноническому виду и составить для нее двойственную во всех задачах .

 

Для перехода от ограничений-неравенств к ограничениям-уравнениям из левой части первого неравенства вычитаем неотрицательную переменную , к левой части второго неравенства прибавляем неотрицательную переменную , Тогда получим кононическую форму записи исходной задачи:

 

Запишем задачу, двойственную канонической:

y3 имеет произвольный знак.

 

№33. Задача о рентабельности производства.

Для изготовления различных изделий  А и В используется три вида сырья. На производство единицы изделия А требуется затрать сырья первого вида - кг, сырья второго вида - кг, сырья третьего вида - кг, сырья второго вида. На производство единицы изделия В требуется затрать сырья первого вида - кг, сырья второго вида - кг, сырья третьего вида - кг.

Производство обеспечено сырьем первого  вида - кг, сырья второго вида - кг, сырья третьего вида - кг. Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет руб. , а изделия В - руб.

 Спланировать производство  изделий А и В, обеспечивающее  максимальную прибыль от их реализации.

Составить математическую модель задачи, решит ее симплекс-методом и графически.

       

Обозначим через  - количество изделий А, через - количество изделий В запланированных к выпуску. Тогда - количество сырья первого вида, необходимого для изготовления изделий А, - количество сырья первого вида, необходимого для изготовления изделий B. Поскольку общее количество используемого сырья первого вида не должно превышать 801 кг, получаем первое ограничение на переменные и :

.

Аналогично записываются ограничения по сырью второго и третьего видов. Учитывая, что прибыль от реализации  изделия А составляет руб., а от реализации  изделия В - руб., получаем целевую функцию . Запишем математическую модель задачи.

 

Приведём задачу к каноническому  виду

   

 

Поскольку имеется первое неотрицательное  базисное решение (НБР) , задачу можно решить симплекс-методом. Заполняем первую симплекс-таблицы. Во втором столбце записываем вектор координатами которой, являются коэффициенты при базисных переменных в целевой функции. Над переменными в первой строке таблицы выписываются соответствующие коэффициенты целевой функции. В последней оценочной строке таблицы записываем.

 где  - вектор-столбец коэффициентов в системе ограничений при :

 

 

Б.П.

С

В

3

2

0

0

0

x1

x2

x3

x4

x5

x3

0

801

9

4

1

0

0

x4

0

807

6

7

0

1

0

x5

0

768

3

8

0

0

1

F

0

-3

-2

0

0

0


 

Приступаем к решению задачи симплекс-методом. Из всех отрицательных  оценок

 выбираем наибольшую по  абсолютной величине:

Поскольку в первом столбце есть , тол допустимый план задачи можно улучшить. Так как, ,  то в качестве генерального элемента выбираем . Произведем гауссовы преобразования над всеми строками таблицы, включая оценочную строку:

 

Б.П.

С

В

3

2

0

0

0

x1

x2

x3

x4

x5

x3

0

801

9

4

1

0

0

x1

3

89

1

0,444444

0,111111

0

0

x4

0

807

6

7

0

1

0

   

-534

-6

-2,66667

-0,66667

0

0

x5

0

768

3

8

0

0

1

   

-267

-3

-1,33333

-0,33333

0

0

F

0

-3

-2

0

0

0

   

267

3

1,333333

0,333333

0

0


 

Строка с базисом x1 оставляем неизменно и слагая остальные соответствующий строк получим:

 

Б.П.

С

В

3

2

0

0

0

x1

x2

x3

x4

x5

x1

3

89

1

0,444444

0,111111

0

0

x4

0

273

0

4,333333

-0,66667

1

0

x5

0

501

0

6,666667

-0,33333

0

1

F

267

0

-0,66667

0,333333

0

0


 

Так как  и , допустимый план можно улучшить:

. В качестве генерального  элемента берем 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б.П.

С

В

3

2

0

0

0

x1

x2

x3

x4

x5

x1

3

89

1

0,444444

0,111111

0

0

   

-28

0

-0,44444

0,068376

-0,10256

0

x4

0

273

0

4,333333

-0,66667

1

0

x2

2

63

0

1

-0,15385

0,230769

0

x5

0

501

0

6,666667

-0,33333

0

1

   

-420

0

-6,66667

1,025641

-1,53846

0

F

267

0

-0,66667

0,333333

0

0

 

42

0

0,666667

-0,10256

0,153846

0


 

Или

Б.П.

С

В

3

2

0

0

0

x1

x2

x3

x4

x5

x1

3

61

1

0

0,179487

-0,10256

0

x2

2

63

0

1

-0,15385

0,230769

0

x5

0

81

0

0

0,692308

-1,53846

1

F

309

0

0

0,230769

0,153846

0


 

Все оценки . Следовательно, найденное решение оптимально.

Ответ: ,  при этом прибыль .

Приведем  графическое решение данной задачи. Для этого построим область решений  системы ограничений

Область решения системы ограничений треугольником АВС, вектор градиент целевой функции и линя уровня точка С является точкой пересечения первой (1) и второй (2) прямых. Для определения ее координаты решаем систему уравнений

 

Таким образом,  С(61;63) и  .

 

№43. Задача о планировании производства.

Производственному участку может  быть запланировано к изготовлению на определенный плановый период времени  два вида изделий:  А и В. На производство единицы изделия А оборудование первого типа используется  часов, оборудование второго типа используется часов. На производство единицы изделия В оборудование первого типа используется  часов, оборудование второго типа используется часов.

Фонд полезного времени первого  типа оборудования составляет - часов, второго типа оборудования часов. Отпускная цена единицы изделия А составляет руб. , а изделия В - руб.

 Спланировать выпуск изделий  А и В при условии, что  план должен быть выполнен  в стоимостном выражении на  сумму не менее  руб.. и оборудование первого типа должно быт загружено минимально.

Решит задачу графически и симплексным  методом.

Решение.

Пусть - количество изделий А, - количество изделий В, планируемых к выпуску. Тогда на производство изделий А и на производство изделий B оборудования первого типа используется  и часов соответственно. Учитывая фонд полезного времени этого оборудования 220, получаем одно ограничение на переменные и : . Аналогично записывается второе ограничение. На производство изделий А и на производство изделий B оборудования второго типа используется  и часов соответственно. Так как фонд полезного времени второго оборудования равна 240, то можно записать . Общая стоимость изделий А составляет руб., а изделия В - руб., следовательно, стоимостное выражение плана должно быть не менее 300 руб. : . Так как по условии задачи оборудование первого типа должно быт загружено минимально и его используется в количестве часов, то целевая функция имеет вид:

Составим математическую модель задачи.

 

Приведем задачу к каноническому виду:

 

В третьем уравнении отсутствует  базисная переменная, принимающая положительное  значение. Решим задачу симплекс-методом  с искусственным базисом. Искусственную  переменную достаточно ввести в третье уравнение. Составим М-задачу:

Заполняем симплекс-таблицу с двумя  оценочными строками. Для вычисления оценок используются формулы  . В первую оценочную строку заносится свободные члены, во вторую – коэффициенты при М в выше указанных формулах.

 

Б.П.

С

В

-1

-3

0

0

0

-M

x1

x2

x3

x4

x5

z

x3

0

220

1

3

1

0

0

0

x4

0

240

4

2

0

1

0

0

z

- M

300

4

5

0

0

-1

1

F1

0

1

3

0

0

0

0

f

-300

-4

-5

0

0

1

0


 

При подборе генеральной столбца  руководимся последней строкой:

Так как  , а , то -генеральный элемент. Произведем гауссовы преобразования над всеми строками таблицы

 

Б.П.

С

В

-1

-3

0

0

0

-M

x1

x2

x3

x4

x5

z

x3

0

220

1

3

1

0

0

0

   

-180

-2,4

-3

0

0

0,6

-0,6

x4

0

240

4

2

0

1

0

0

   

-120

-1,6

-2

0

0

0,4

-0,4

z

- M

300

4

5

0

0

-1

1

x2

-3

60

0,8

1

0

0

-0,2

0,2

F1

0

1

3

0

0

0

0

   

-180

-2,4

-3

0

0

0,6

-0,6

f

-300

-4

-5

0

0

1

0

   

300

4

5

0

0

-1

1

Математические методы и модели в экономике. 2 📙 Контрольная → 🆔 85950

Математические методы и модели в экономике. 2 📙 Контрольная → 🆔 85950

Математические методы и модели в экономике. 2