Математические методы и модели в экономике. 4

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Иркутский Государственный технический университет

Кафедра Экономики и менеджмента

Контрольная работа

Математические методы и модели в экономике

                                                                        Выполнил: студент гр. ЭУПзу-10

Махутов Д.Д.

                                                           Проверил: преподаватель

Хващевская Л.Ф.

Иркутск,2012

Вариант 3

Задача 1. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода на 1 единицу продукции и прибыль от реализации 1 единицы каждого вида продукции приведены в таблице:

Требуется: 1) симплексным методом найти план выпуска продукции с учетом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный прибыль; 2) сформулировать в экономических терминах двойственную задачу и составить ее математическую модель. Найти оптимальное решение двойственной задачи, используя решение исходной; 3) указать наиболее дефицитный и недефицитный ресурсы, если они имеются; 4) как изменится прибыль и план  выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и III вида на 100 ед. и 120 ед. соответственно и уменьшении на 150 ед. сырья II-го вида?; 5) целесообразно ли включать в план выпуска продукцию вида Д, если нормы затрат сырья на изготовление одной единицы продукции этого вида 2, 4 и 3 ед. соответственно, а прибыль, от реализации 1ед. продукции равна 10 ден. ед.? 6) решите задачу с помощью ЕХСЕL.

1. Введем обозначения: пусть х1, х2, х3, х4 – число единиц продукции соответствующего вида А, Б, В, Г, запланированных к производству. Поскольку имеются ограничения на размеры допустимых затрат ресурсов, то переменные х1, х2, х3, х4  должны удовлетворять системе неравенств:

2х1 + х2 + 0,5х3 + 4х4 ≤ 2400,

х1 + 5х2 + 3х3 + 0х4 ≤ 1200,      - система ограничений

3х1 + 0х2 + 6х3 + х4 ≤ 3000.

По смыслу задачи переменные удовлетворяют условию неотрицательности: х1, х2, х3, х4 ≥ 0.

Суммарный прибыль от реализации продукции составит:

Z(x) = 7,5х1 + 3х2 + 6х3 + 12х4 → max – целевая функция.

Требуется найти такой план выпуска продукции Х = (х1, х2, х3, х4), удовлетворяющий системе ограничений и условию неотрицательности, при котором целевая функция принимает максимальное значение.

Экономико-математическая модель задачи описывается средствами табличного процессора Excel как совокупность формул, сведенных в таблицу и зависящих от изменяемых параметров – исходных данных.

2.

«Отчет по результатам» состоит из трех таблиц:

      «Целевая ячейка (Максимум)», в которой приведены адрес, исходное и результатное значение 9000 д.е. целевой функции. Максимальное значение целевой функции (прибыль) составляет 9000 д.е.;

      «Изменяемые ячейки», в которой находятся адреса, имена и значения всех искомых переменных задачи, в ней показаны результаты оптимального решения для ограничений задачи. В результате получен оптимальный план производства Х(0;0;400;550);

      «Ограничения», В графе «Формула» приведены зависимости, которые были введены в окне «Поиск решения». Также приводятся значения левых частей каждого ограничения задачи и разница между значениями правых и левых частей по каждому ограничению, т.е. каждая разница представляет собой разность между запасами соответствующего ресурса и его потреблением. В нашей задаче ресурсы сырья I и сырья II использованы полностью, а соответствующие им ограничения системы обратились в точные равенства при подстановке оптимального плана в систему ограничений экономико-математической модели задачи и эти ограничения имеют статус «связанное», т.е. эти ресурсы дефицитные.

Ресурс «сырье III» используется в оптимальном плане в объеме 2950 ед. и значит, остается в избытке в объеме, равном 50 ед. Соответствующее ограничение системы имеет вид строгого неравенства при подстановке оптимального решения, это ограничение имеет статус «несвязанное», т.е. этот вид ресурса в избытке на 50 ед., он недефицитный.

«Отчет по устойчивости»

Данный отчет содержит информацию о том, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных. Этот отчет имеет две таблицы: одна для изменяемых ячеек, вторая – для ограничений.

В таблице «Изменяемые ячейки» приведены результирующие значения для каждой переменной, а в графе «нормир. стоимость» приведены значения, показывающие, насколько затраты по производству превышают прибыль от реализации этого вида продукции.

По оптимальному плану следует производить продукцию В и Г; превышение затрат над прибыль. от реализации равно нулю. Например, для продукции В затраты на ресурсы составляют 0,5*3 + 3*1,5 + 6*0 = 6 д.е., и прибыль от реализации равна 6 д.е.

Для продукции Г затраты на ресурсы составляют 4*3 + 0*1,5 + 1*0 = 12 д.е., и прибыль от реализации равна 12 д.е.

Если включить в план производства продукцию А, то целевая функция не изменится, так как затраты на ресурсы для изготовления этого вида продукции составят  2*3 + 1*1,5 + 3*0 = 7,5 д.е., а прибыль от  реализации 7,5 д.е. Если включить в план производства продукцию Б, то целевая функция уменьшится на -7,5, так как затраты на ресурсы для изготовления этого вида продукции составят  1*3 + 5*1,5 + 0*0 = 10,5 д.е., а цена реализации 3 д.е. Следовательно, производить этот вид продукции не выгодно. В оптимальный план производства попадают только рентабельные, неубыточные виды продукции. Критерием рентабельности здесь считается равенство цены и затрат на производство продукции.

Также в этой таблице есть графа «Целевой коэффициент», который показывает значения целевой функции. Допустимое увеличение и уменьшение содержат информацию о предельных значениях приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется значение целевой функции (оптимального плана).

Допустимое увеличение 0 (продукция А) говорит о том, что прибыль от реализации этой продукции увеличить нельзя. Допустимое увеличение 7,5 (продукция Б) говорит о том, что прибыль от реализации этой продукции можно увеличить с 3 до 10,5 д.е., что приведет к тому, что она станет рентабельной и ее можно будет ввести в оптимальный план выпуска продукции. Допустимое увеличение 36 (продукция Г) говорит о том, что прибыль от реализации этой продукции можно увеличить с 12 до 48 д.е. Уменьшать прибыль продукции А нет смысла т.к. ее выпуск убыточен при прибыли 7,5 д.е. и мы ее не выпускаем. Аналогично с продукцией Б. Допустимое уменьшение 0 по продукции В и Г говорит о том, что прибыль от реализации этих видов продукции для сохранения их в оптимальном плане уменьшать не следует.

В таблице «Ограничения» для каждого вида ресурса указано, какое количество его используется в оптимальном плане (графа «Результ. значение»); в графе «Теневая цена» приведены двойственные оценки ресурсов. Эти оценки показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная прибыль от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу.

Ресурсы, использованный в оптимальном плане не полностью, называется недефицитным и получают нулевую двойственную оценку в отличие от ресурсов, использованных полностью. В этой же таблице указано для каждого вида ресурса его исходное значение (графа «Ограничение Правая часть»), а также, на какое предельное значение можно увеличить или уменьшить запас каждого ресурса с сохранением теневых цен. Увеличивать запасы сырья III не имеет смысла, т.к. они итак в избытке и не являются дефицитными, их увеличение не повлияет на теневые цены, а уменьшить можно на 50 ед. Запас сырья I можно увеличить на 200 ед., уменьшить на 2200 ед. Запас сырья II можно увеличивать на 25,532 ед., а уменьшить на 1200 ед. и это не повлияет на теневые цены.

«Отчет по пределам»

Первая таблица отражает значение прибыли от реализации 9000 д.е.

В графах «Нижний предел» и «Верхний предел» приведены возможные предельные значения переменных, а также соответствующие значения целевой функции. Продукцию вида А и Б мы не производим, их значение в таблице равно нулю. Нижний предел продукции В равен 0, целевой результат 6600, следовательно, если предприятие будет выпускать только продукцию Г, а продукцию В нет, то прибыль составит 6600 денежных единиц, нижний предел продукции Г равен 0, целевой результат 2400, следовательно, если предприятие будет выпускать только продукцию В, а продукцию Г нет, то прибыль составит 2400. ед.

2. Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы фирмы; необходимо определить цены на ресурсы у1, у2, у3 (на сырье I, II и III соответственно). Естественно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на покупку ресурсов по ценам у1, у2, у3 были минимальны, то есть F(y) = 2400у1+1200у2+3000у3 → min.

Но с другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы получить выручку не меньше той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. Затраты на изготовление продукции должны быть не меньше, чем цена реализации, т.е. приходим к ограничениям, они записаны ниже в графе «Двойственная задача».