Виды средних величин

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

I. Теоретическая часть

 

Вариант № 10:

 

Виды средних величин. Обусловленность выбора средней характером исходной информации.

В статистике применяются степенные и структурные средние (рис 1), выбор вида которой определяется содержанием определённого показателя и исходных данных.

Статистические средние рассчитываются на основе  массовых  данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного и выборочного).  Однако статистическая средняя будет  объективна  и типична, если  она  рассчитывается  по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений).  Например,  если рассчитывать среднюю  заработную плату в кооперативах и на госпредприятиях,  а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, так как рассчитана  по  неоднородной совокупности,  и такая средняя теряет всякий смысл.

При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака,  которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения.

Например, средняя выработка продавца зависит  от  многих  причин: квалификации, стажа,  возраста,  формы обслуживания,  здоровья и т.д.

Средняя выработка отражает общее свойство всей совокупности.

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак.

Каждая средняя  величина  характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку.  Чтобы  получить  полное  и  всестороннее представление об  изучаемой  совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин,  которые могут описать явление с разных сторон.

К степенным средним относятся следующие виды: арифметическая, гармоническая, хронологическая, квадратическая и геометрическая.

Выбор вида степенной средней зависит от содержания логической формулы расчёта осредняемого признака и имеющихся исходных данных, на основании которых производится расчёт.

Структурные средние представлены модой и медианой. Средняя имеет те же единицы измерения, что и варианты х. Если осредняются относительные величины, то средняя представляется коэффициентом (%,‰).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1. Виды средних в статистике

Также виды средних  разделяются по:

1. Наличию признака-веса:

а) невзвешенная средняя величина;

б) взвешенная средняя величина.

2. Форме расчета:

а) средняя арифметическая величина;

б) средняя гармоническая величина;

в) средняя геометрическая величина;

г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.

3. Охвату совокупности:

а) групповая средняя величина;

б) общая средняя величина.

Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину:

Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней.

Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.

По форме расчета выделяют несколько видов средних величин, которые образованы из единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет форму:

,

где - среднее значение исследуемого явления;

k – показатель степени средней;

x – текущее значение (вариант) осредняемого признака;

i –i-тый элемент совокупности;

n – число наблюдений (число единиц  совокупности).

При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные по форме средние величины. (Табл. 1):

Таблица 1

Формы средних величин

Степень средней величины (k)	Название средней
-1	гармоническая
0	геометрическая
1	арифметическая
2	квадратическая
3	кубическая
1	хронологическая

 

Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок расчета средней величины:

1. Определение исходного соотношения  для исследуемого показателя.

2. Определение недостающих данных  для расчета исходного соотношения.

3. Расчет средней величины.

Рассмотрим виды средних, которые наиболее часто используются в статистике.

1.1 Степенные  средние

 

1. Средняя арифметическая.

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объём признака в совокупности остаётся неизменным. Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина – среднее слагаемое. При её вычислении общий объём признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности.

Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака (х) и количество единиц совокупности с определённым значением признака (f).

Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая

Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, т.е. для каждого х значение признака f=1, или если исходные данные не упорядочены и неизвестно, сколько единиц имеют определённые значения признака.

Формула средней арифметической простой имеет вид:

,

где - средняя величина; х – значение осредняемого признака (варианта), - число единиц изучаемой совокупности.

 

Средняя арифметическая взвешенная

В отличие от простой средней средняя арифметическая взвешенная применяется, если каждое значение признака х встречается несколько раз, т.е. для каждого значения признака f≠1. Данная средняя широко используется при исчислении средней на основании дискретного ряда распределения:

,

где - число групп, х – значение осредняемого признака, f- вес значения признака (частота, если f – число единиц совокупности; частость, если f- доля единиц с вариантой х в общем объёме совокупности).

Расчёт средней по интервальному ряду

Статистический материал в результате обработки может быть  представлен не  только  в виде дискретных рядов распределения,  но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами.

Если исходные данные заданы в виде интервального ряда, то:

1. закрывают открытые интервалы, приняв их равными ближайшим закрытым;
2. за значения осредняемого признака х берут середины интервалов и строят условный дискретный ряд распределения:

               ,

где - значение нижней границы интервала («от»); - значение верхней границы интервала («до»).

3. расчёт средней производится по средней арифметической взвешенной.

Способ моментов

Если интервальный ряд имеет равные интервалы или дискретный ряд построен с одним и тем же шагом между ближайшими значениями признака, для расчёта средней применим способ «моментов». Алгоритм метода заключается в следующем:

1. строится новый дискретный ряд распределения, в котором одна из вариант приравнивается к нулю. К нулю можно приравнять любую варианту, но для упрощения расчётов лучше «занулить» варианту, находящуюся в середине ряда и имеющую наибольшую частоту. Нулевая варианта называется основанием и обозначается ;
2. остальные варианты нового ряда обозначаются и рассчитывается по формуле:

    , где h – ширина равного интервала или шага; x’ – условные варианты;

3. определяется средняя по способу моментов:

,   где  - момент первого порядка.

Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения  признака х в n раз величина средней арифметической не изменится.
2. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число,  то величина  средней не изменится.
3. Общий множитель индивидуальных значений  признака  может  быть вынесен за знак средней:

                         

4. Средняя  суммы  (разности)  двух  или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

                               

5. Если х = с, где с - постоянная величина, то .
6. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:

                .

2. Средняя гармоническая.

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей (т.е. тогда, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель). 

Средняя гармоническая взвешенная

Произведение xf даёт объём осредняемого признака х для совокупности единиц и обозначается w.  Если в исходных данных имеются значения осредняемого признака х и объём осредняемого признака w, то для расчёта средней применяется гармоническая взвешенная:

,

где х – значение осредняемого признака х (варианта); w – вес варианты х, объем осредняемого признака.

Средняя гармоническая невзвешенная (простая)

Эта форма средней, используемая значительно реже, имеет следующий вид:

,

где х – значение осредняемого признака; n – число значений х.

Т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.

На практике средняя гармоническая простая применяется редко, в тех случаях, когда значения w для единиц совокупности равны.

3. Средняя квадратическая и средняя кубическая

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной, простой или взвешенной.

Средняя квадратическая простая

Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, в общем имеет вид:

,

где - квадрат значений осредняемого признака; - число единиц совокупности.

Средняя квадратическая взвешенная

Средняя квадратическая взвешенная применяется, если каждое значение осредняемого признака х встречается f раз:

,

где f – вес варианты х.

Средняя кубическая простая и взвешенная

Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы кубов отдельных значений признака на их число:

,

где - значения признака, n- их число.

Средняя кубическая взвешенная:

,

где f-вес варианты х.

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов x, и из их отклонений от средней при расчете показателей вариации.

Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).

4. Средняя геометрическая

Если значения осредняемого признака существенно отстоят друг от друга или заданы коэффициентами (темпы роста, индексы цен), то для расчёта применяют среднюю геометрическую.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов признака х:

где n — число вариантов; П — знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

5 Средняя хронологическая  величина

Если значения осредняемого признака известны на несколько равноотстающих дат внутри определённого временного периода, расчёт производится по средней хронологической:

,

где  - значение осредняемого признака; n – число дат внутри периода, на которые заданы значения х.

По средней хронологической исчисляется среднегодовая стоимомть основных фондов предприятия из данных о наличии на начало каждого месяца; средний остаток вкладов на счетах в банке по информации на начало месяца.

1.2 Структурные  средние. 

 

Структурные средние – вспомогательные характеристики изучаемой статистической совокупности; ими являются мода и медиана. В отличии от степенных средних структурные средние имеют не обобщенное значение признака, а вполне конкретное, т.е. значение одной их вариант.

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана.

1. Мода

Мода Мо – значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

,

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным.

3.2.2. Медиана

Медиана Ме – это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

Что бы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:

, где 

x0 - нижняя гранича медианного интервала;

iMe - величина медианного интервала;

Sme-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

fMe - частота медианного интервала.

 

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей — квинтели, на десять частей — децели, на сто частей — перцентели.

 

 

 

 

II. Расчетная часть

Вариант № 1

Задача № 1.

По условию задачи в таблице приведены данные о работе 24 заводов в одной из отраслей промышленности

 

№ п/п	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Среднесписочное число работающих за отчетный период, чел.	Производство продукции за отчетный период, млн. руб.	Выполнение плана, %
1	3,0	360	3,2	103,1
2	7,0	380	9,6	120,0
3	2,0	220	1,5	109,5
4	3,9	460	4,2	104,5
5	3,3	395	6,4	104,8
6	2,8	280	2,8	94,3
7	6,5	580	9,4	108,1
8	6,6	200	11,9	125,0
9	2,0	270	2,5	101,4
10	4,7	340	3,5	102,4
11	2,7	200	2,3	108,5
12	3,3	250	1,3	102,1
13	3,0	310	1,4	112,7
14	3,1	410	3,0	92,0
15	3,1	635	2,5	108,0
16	3,5	400	7,9	111,1
17	3,1	310	3,6	96,9
18	5,6	450	8,0	114,1
19	3,5	300	2,5	108,0
20	4,0	350	2,8	107,0
21	1,0	330	1,6	100,7
22	7,0	260	12,9	118,0
23	4,5	435	5,6	111,9
24	4,9	505	4,4	104,7

 

Исходя из поставленного условия, требуется сгруппировать заводы по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав 5 групп заводов с равными интервалами, рассчитать по каждой группе и в целом:

• количество заводов и их удельный вес;
• среднесписочное число работающих;
• производство продукции;
• средний процент выполнения плана.

Проанализировать данные таблицы и сделать выводы.

Для того, чтобы решить данную задачу необходимо выполнить аналитическую группировку статистических данных для установления зависимости между результативным признаком (среднегодовая стоимость основных производственных фондов) и факторными признаками.

Для этого необходимо определить величину интервала, которая определяется по формуле:

i=(Xmax Xmin)/n

где: Xmax  = 7 млн. руб.,

        Xmin  = 1 млн. руб ,

n = 5 (заданное число групп)

Воспользовавшись данной формулой на основании исходных данных можно определить величину интервала для заданного примера.

i=(7-1)/5 = 1,2 млн. руб.

Преобразуем исходную таблицу

№ группы	№ п/п	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Среднесписочное число работающих за отчетный период, чел.	Производство продукции за отчетный период, млн. руб.	Выполнение плана, %
1	1	1	330	1,6	100,7
	2	2	220	1,5	109,5
	3	2	270	2,5	101,4
2	4	2,7	200	2,3	108,5
	5	2,8	280	2,8	94,3
	6	3	360	3,2	103,1
	7	3	310	1,4	112,7
	8	3,1	410	3	92
	9	3,1	635	2,5	108
	10	3,1	310	3,6	96,9
	11	3,3	395	6,4	104,8
	12	3,3	250	1,3	102,1
3	13	3,5	400	7,9	111,1
	14	3,5	300	2,5	108
	15	3,9	460	4,2	104,5
	16	4	350	2,8	107
	17	4,5	435	5,6	111,9
4	18	4,7	340	3,5	102,4
	19	4,9	505	4,4	104,7
	20	5,6	450	8	114,1
5	21	6,5	580	9,4	108,1
	22	6,6	200	11,9	125
	23	7	380	9,6	120
	24	7	260	12,9	118

 

Сформируем группы заводов, каждая из которых, как и их совокупность в целом, характеризуется приведенными в условии задачи показателями. Результат представлен ниже в таблице.

 

№ группы	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Количество заводов, ед.	Удельный вес заводов в общем количестве, %	Среднесписочное число работающих за отчетный период, чел.	Производство продукции за отчетный период, млн. руб.	Средний процент выполнения плана, %
1	1-2,2	3	12,5%	273	5,6	103,2%
2	2,2-3,4	9	37,5%	350	26,5	101,5%
3	3,4-4,6	5	20,8%	389	23,0	109,2%
4	4,6-5,8	3	12,5%	432	15,9	108,7%
5	5,8-7	4	16,7%	355	43,8	117,9%
Итого:		24	100%	8630	114,8	109,99%

 

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

Для расчетов средних величин воспользуемся средней арифметической простой и средней гармонической взвешенной:

Среднесписочное число работающих за отчетный период по каждой  рассчитывается при помощи средней арифметической простой   следующим образом.

Группа 1

 

И так далее, по каждой группе.

Производство продукции за отчетный период рассчитывается путем суммирования данного показателя по всем заводам в каждой группе.

Группа 1

 И так далее, по каждой  группе.

Средний процент выполнения плана по каждой группе рассчитывается при помощи средней гармонической взвешенной. Формула для расчета средней гармонической взвешенной общем виде выглядит следующим образом:

где (в нашем случае):

n -  производство продукции за отчетный период, млн. руб.;

х -  средний процент выполнения плана, %.

Подставив в данную форму  имеющиеся данные, рассчитаем средний % выполнения плана по 1 группе:

Группа 1

И так далее, по каждой группе.

Средний % выполнения плана в целом по отрасли рассчитывается аналогично средней, рассчитанной по каждой группе при помощи средней гармонической взвешенной.

 

На основании проделанных расчетов можно сделать следующие выводы: 

- общее количество заводов в  отрасли – 24;

-  наибольший удельный вес  занимает группа II,  которая включает 9 заводов - 37,5% от общего количества заводов в отрасли;

- общее среднесписочное число  работающих за отчетный период  в целом по отрасли – 8630 чел;

- максимальное среднесписочное число работающих приходится на группу II и составляет 3150 чел;

- общий объем производства продукции  в целом по отрасли за отчетный период составляет  114,8 млн. руб.;

- наибольшее количество продукции произведено в группе V  и составляет  43,8 млн. руб.;

- наименьшее количество продукции  произведено в группе I и составляет 5,6 млн. руб.;

- средний процент выполнения  плана в целом по отрасли  составляет 109,99%;

- наибольший средний процент выполнения плана приходится на группу V и составляет  117,9 %

-  минимальная величина  среднего процента выполнения плана в приходится на группу II и составляет  101,5%.

 

Задача № 2.

 

По данным варианта определить:

1. Показатели динамики с постоянной и переменной базой сравнения.
2. Графически изобразить ряд динамики в зависимости от номера варианта.
3. Рассчитать среднегодовые показатели динамики.
4. Произвести сглаживание ряда методом 3-х летней скользящей средней.
5. Выровнять ряд по прямой.
6. Построить графики искомого и выровненных рядов (линейные диаграммы).
7. Использовать полученное уравнение для экстраполяции уровней на 2006 г.
8. Сделать выводы.