Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Высшая математика и производные

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тихоокеанский государственный университет»

Кафедра «Математика»

Направление 190100.62 БНТК «Наземные транспортно-технологические комплексы»

Профиль: СДМ Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Математика»

ВАРИАНТ № 8

Выполнил: студент БЗФУО (ДОТ)

группы СДМ(б)зу-22

1 года обучения

шифр зач. кн. 12041031128

Фамилия Житник

Имя Александр

Отчество Иванович

Проверил:

___________________________

Хабаровск 2012 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ЗАДАНИЕ 8 ………………………………………………………………………...3

ЗАДАНИЕ 18 7

ЗАДАНИЕ 28 10

ЗАДАНИЕ 48 12

ЗАДАНИЕ 58 14

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

ЗАДАНИЕ 8 16

ЗАДАНИЕ 18 18

ЗАДАНИЕ 28 19

ЗАДАНИЕ 38 20

ЗАДАНИЕ 68 23

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 26

Высшая математика

Матрицы и действия с ними

Задание 8. Даны матрицы А и В

А=, В=

Найти:

1) Произведение матриц АхВ=С и определитель матрицы С;

2) Найти обратную матрицу А^-1 для матрицы А. Сделать проверку.

Решение

1) Найдем произведение матриц

С =

Найдем определитель матрицы С

detС = =

2) Найдем обратную матрицу А^-1

А=

detA==

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, обратная матрица А^-1 существует.

Найдем алгебраическое дополнение А₁₁ элемента а₁₁. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₁₁) элемента а₁₁.

М₁₁=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится элемент а₁₁, есть число четное (1+1=2) и выражение (-1)¹⁺¹=1, то алгебраическое дополнение элемента а₁₁ равно минору данного элемента.

А₁₁=

Найдем алгебраическое дополнение А₁₂ элемента а₁₂. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₁₂) элемента а₁₂.

М₁₂=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится элемент а₁₂, есть число нечетное (1+2=3) и выражение (-1)¹⁺²=-1, то алгебраическое дополнение элемента а₁₂ равно минору данного элемента, взятого со знаком минус.

А₁₂=

Найдем алгебраическое дополнение А₁₃ элемента а₁₃. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₁₃) элемента а₁₃.

М₁₃=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится элемент а₁₃, есть число четное (1+3=4) и выражение (-1)¹⁺³=1, то алгебраическое дополнение элемента а₁₃ равно минору данного элемента.

А₁₃=

Найдем алгебраическое дополнение А₂₁ элемента а₂₁. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₂₁) элемента а₂₁.

М₂₁=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится элемент а₂₁, есть число нечетное (2+1=3) и выражение (-1)²⁺¹=-1, то алгебраическое дополнение элемента а₂₁ равно минору данного элемента, взятого со знаком минус.

А₂₁=

Найдем алгебраическое дополнение А₂₂ элемента а₂₂. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₂₂) элемента а₂₂.

М₂₂=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится элемент а₂₂, есть число четное (2+2=4) и выражение (-1)²⁺²=1, то алгебраическое дополнение элемента а₂₂ равно минору данного элемента.

А₂₂=

Найдем алгебраическое дополнение А₂₃ элемента а₂₃. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₂₃) элемента а₂₃.

М₂₃=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится элемент а₂₃, есть число нечетное (2+3=5) и выражение (-1)²⁺³=-1, то алгебраическое дополнение элемента а₂₃ равно минору данного элемента, взятого со знаком минус.

А₂₃=

Найдем алгебраическое дополнение А₃₁ элемента а₃₁. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₃₁) элемента а₃₁.

М₃₁=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится элемент а₃₁, есть число четное (3+1=4) и выражение (-1)³⁺¹=1, то алгебраическое дополнение элемента а₃₁ равно минору данного элемента.

А₃₁=

Найдем алгебраическое дополнение А₃₂ элемента а₃₂. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₃₂) элемента а₃₂.

М₃₂=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится элемент а₃₂, есть число нечетное (3+2=5) и выражение (-1)³⁺²=-1, то алгебраическое дополнение элемента а₃₂ равно минору данного элемента, взятого со знаком минус.

А₃₂=

Найдем алгебраическое дополнение А₃₃ элемента а₃₃. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₃₃) элемента а₃₃.

М₃₃=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится элемент а₃₃, есть число четное (3+3=6) и выражение (-1)³⁺³=1, то алгебраическое дополнение элемента а₃₃ равно минору данного элемента.

А₃₃=

Согласно теореме, обратная матрица найдена правильно, т.к.

Системы линейных уравнений

Задание 18. Дана система линейных уравнений

Решить систему тремя способами:

1) методом Крамера

2) методом Гаусса;

3) средствами матричного исчисления.

Решение

1) Решение методом Крамера

Дана система линейных уравнений (в матричном виде)

, ,

2) Решение методом Гаусса

Сформируем расширенную матрицу

Применяя к расширенной матрице последовательность операций, стремимся, чтобы каждая строка, кроме первой начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Разделим строку 1 на а₁₁=2. Получим:

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на а₂₁=4. Получим:

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на а₃₁=1. Получим:

Разделим строку 2 на а₂₂=3. Получим:

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на а₃₂=3/2. Получим:

Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на а₁₃=1. Получим:

Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на а₁₂=-1/2. Получим:

Заданная система уравнений имеет единственной решение:

х₁ =0

х₂ =2

х₃ =1

3) Решение матричным методом

, ,

, значит

Найдем детерминант матрицы А

detА = 6

Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А.

Найдем обратную матрицу ^А-1

Найдем решение:

Заданная система уравнений имеет единственной решение:

х₁ =0, х₂=2, х₃ =1

Элементы векторной алгебры

Задание 28. Даны четыре точки А₁(х₁; у₁; z₁), А₂(х₂; у₂; z₂), А₃(х₃; у₃; z₃), А₄(х₄; у₄; z₄) – вершины пирамиды. Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) площадь грани А₁А₂А₃;

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А₁А₂;

6) уравнение плоскости А₁А₂А₃.

Решение

А₁(6, 1, 1), А₂(4, 6, 6), А₃(4, 2, 0), А₄(1, 2, 6)

1) Найдем длину ребра А₁А₂

А₁А₂=

2) Найдем угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄. Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ равен углу между векторами А₁А₂ и А₁А₄. Найдем:

А₁А₂=

А₁А₄=

Тогда угол a определим:

3) Найдем площадь грани А₁А₂А₃. Для этого найдем векторное произведение

, т.е

Тогда площадь грани равна

4) Найдем объем пирамиды

Объем пирамиды, построенной на векторах a₁(х₁;y₁;z₁), a₂(x₂;y₂;z₂), a₃(x₃;y₃;z₃) равен:

здесь x, y, z - координаты вектора.

Координаты векторов находим по формуле:

X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i

здесь x_i, y_i, z_i - координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j - координаты точки А_j;

Например, для вектора A₁A₂.

X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁; Z = z₂ - z₁

X = 4 - 6 = -2; Y = 6 - 1 = 5; Z = 6 - 1 = 5

A₁A₂(-2; 5; 5)

A₁A₃(-2; 1; -1)

A₁A₄(-5; 1; 5)

Где нашли как определитель матрицы

∆ =

5) Найдем уравнение прямой А₁А₂. Для этого используем общую формулу прямой:

– каноническое уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Вектор =(-2, 5, 5) – направляющий вектор прямой.

6) Найдем уравнение плоскости А₁А₂А₃

Уравнение плоскости А₁А₂А₃=, нормаль к плоскости

Предел функции

Задание 48. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) ;

б) ;

в) ;

г)

Решение

а)

Ни числитель, ни знаменатель этой дроби не имеют конечного предела, так как они неограниченно возрастают при неограниченном возрастании , т.е. неопределенность . Поделим числитель и знаменатель дроби на .

Так как , , , при величины бесконечно малые.

б)

Функция не определена при и поэтому разрывна в этой точке. Числитель и знаменатель в точке обращаются в нуль, неопределенность . Выделим общий множитель и сократим на него числитель и знаменатель, считая , .

Домножим числитель и знаменатель дроби на число сопряженное числителю:

в)

Поскольку числитель и знаменатель обращаются в нуль при , то неопределенность .

Воспользуемся первым замечательным пределом .

г)

Неопределенность , воспользуемся вторым замечательным пределом .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

Непрерывность функции

Задание 58. Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики.

Решение.

Рассмотрим точку .

Найдем левый предел функции:

Найдем правый предел функции:

Точка является точкой разрыва 1-го рода, так как функция в этой точке имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Рассмотрим точку .

Найдем левый предел функции:

Найдем правый предел функции:

Построим график функции.

Ответ: и - точки разрыва 1-го рода.

Производная и ее приложения

Задание 8. Найти производные данных функций.

а) ;

б) ;

в) ;

г)

д)

Решение

а)

б)

в)

г)

Прологарифмируем левую и правую часть:

. Дифференцируем левую и правую часть, учитывая, что .

д)

Дифференцируем левую и правую часть, учитывая, что .

Ответ: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

Задание 18. Найти и .

а)

б) ;

Решение.

а)

б) ;

Ответ: а) , ;

б) ; .

Задание 28. Найдите наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

Решение.

Исследуем функцию на экстремум. Если точки экстремума принадлежат данному отрезку, то вычисляем значения функции в точках экстремума и на концах отрезка и выбираем из них наибольшее и наименьшее.

Итак, ; ; ;

- критическая точка.

Точка принадлежит отрезку .

Наименьшее значение функция достигает в граничной точке отрезка , , наибольшее значение функция достигает в критической точке , ;

Ответ: ;

Задание 38. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

Решение

1. Область определения функции: , точка - точка разрыва функции.

2. Функция не является ни четной ни нечетной.

3. Точки пересечения с осью :

- точка пересечения с осью

Точка пересечения с осью :

- точка пересечения с осью

4. Так как точка разрыва , то функция имеет вертикальную асимптоту .

Определим наклонную асимптоту.

– наклонная асимптота.

5. Найдем точки возможного экстремума.

или

Получили две точки возможного экстремума.

6. Найдем критические точки.

Получили две критические точки.

7. Исследуем знаки первой и второй производных, определим участки монотонности функции, направление выпуклости графика, точки экстремума и перегиба.

Для исследования знака первой производной в интервалах , , и на числовой оси отметим точки возможного экстремума и и точку, в которой функция не определена . Определим знаки в указанных интервалах.

+ - - +

0 1

При и , функция монотонно возрастает.

При и , функция монотонно убывает.

Точка является точкой локального максимума функции, точка является точкой локального минимума функции.

Для исследования знака второй производной в интервалах , , и на числовой оси отметим критические точки и и точку, в которой функция не определена . Определим знаки в указанных интервалах.

+ - - +

0 1

При и , выпуклость графика функции направлена вверх; при и , выпуклость графика функции направлена вниз. Точка является точкой перегиба функции.

8. Наибольшего значения функции не существует, поскольку область ее значений неограниченна сверху и снизу.

9. Построим график функции.

Задание 68. Экспериментально получены пять значений искомой функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в табличной форме. Методом наименьших квадратов найти функцию в виде ,

Решение

Для определения параметров уравнения составим систему уравнений:

Составим вспомогательную таблицу


1	5,5	1	5,5
2	6,5	4	13
3	5	9	15
4	3	16	12
5	3,5	25	17,5
15	23,5	55	63

Тогда система будет иметь вид:

Решим систему методом исключения

Итак, , .

Искомая прямая имеет уравнение .

Сделаем чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построим экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции .

- экспериментальные точки

Так как экспериментальные точки расположены вокруг аппроксимирующей прямой, то уравнение прямой найдено верно.

Ответ:

_{Список
литературы}

1. Высшая математика : методические указания по выполнению контрольной работы №1 для студентов заочного факультета всех специальностей ускоренного курса обучения / сост. Г. М. Карань, Л. И. Целоусова. Хабаровск, 2000

2. Производная и ее приложения: методические указания и задания к контрольной работе №2 для студентов 1 курса заочного факультета ускоренной формы обучения / сост. Г.И. Целоусова, Т.С. Нам. – Хабаровск, 2000

3. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.: в 2ч. М.: Высш.шк., 1986. Ч.1.