Высшая математика. 3

Введите координаты точек 
целые числа ( например: -5 , 10 )


 

x

y

A  

B  

C  

 


 

ДАНО:


Координаты вершин треугольника:


A (8, -2)


B (-4, -5)


C (-3, 1)


 

НАЙТИ:


·  длины сторон и углы треугольника


·  уравнения сторон треугольника


·  уравнения высот треугольника


·  уравнения медиан треугольника


 
РЕШЕНИЕ:

1.1 Найдем  угол А . (рис.1)


Напишем формулу  скалярного умножения для векторов  

  

 и  

  

.

AB

AC


   

*

  

= |

  

| * |

  

| * cos 

 A  

AB

AC

AB

AC


Для нахождения угла А, нам достаточно найти косинус  данного угла. Из предыдущей формулы  запишем выражение для косинуса угла А.


cos 

 A  =

          
 

AB

*

AC

  
 
         

|

AB

| * |

AC

|


·  Найдем скалярное произведение векторов  

  

 и  

  

.

AB

AC


Координаты точек A, B и C мы знаем. (см. условие задачи)


A (x a, y a) = (8, -2)


B (x b, y b) = (-4, -5)


C (x c, y c) = (-3, 1)


   

= ( x b - x a, y b - y a) = ( -4 - 8, -5 - (-2) ) = ( -12, -3)

AB


   

= ( x c - x a, y c - y a) = ( -3 - 8, 1 - (-2) ) = ( -11, 3)

AC


   

*

  

= -12 * (-11) + (-3) * 3 = 123

AB

AC


·  Найдем длины векторов  

  

 и  

  

.

AB

AC


|

  

| 2 = ( x b - x a) 2 + ( y b - y a) 2 = (-12) 2 + (-3) 2 = 153

AB


|

  

| = 

  

= 12.37 - длина вектора

  

   (длина стороны AB)

AB

153

AB


|

  

| 2 = ( x c - x a) 2 + ( y c - y a) 2 = (-11) 2 + 3 2 = 130

AC


|

  

| = 

  

= 11.40 - длина вектора

  

   (длина стороны AC)

AC

130

AC


Подставим найденные  значение в формулу.


cos 

 A  =

          

=

123

= 0.8722

 

AB

*

AC

  
   
         

12.37 * 11.40

|

AB

| * |

AC

|


 A   = arccos 0.8722 = 29.3 o

 
 
рис.1


1.2 Найдем  угол B . (рис.2)


Напишем формулу  скалярного умножения для векторов  

  

 и  

  

.

BA

BC


   

*

  

= |

  

| * |

  

| * cos 

 B  

BA

BC

BA

BC


Для нахождения угла B, нам достаточно найти косинус  данного угла. Из предыдущей формулы  запишем выражение для косинуса угла B.


cos 

 B  =

          
 

BA

*

BC

  
 
         

|

BA

| * |

BC

|


·  Найдем скалярное произведение векторов  

  

 и  

  

.

BA

BC


Координаты точек A, B и C мы знаем. (см. условие задачи)


A (x a, y a) = (8, -2)


B (x b, y b) = (-4, -5)


C (x c, y c) = (-3, 1)


   

= ( x a - x b, y a - y b) = ( 8 - (-4), -2 - (-5) ) = ( 12, 3)

BA


   

= ( x c - x b, y c - y b) = ( -3 - (-4), 1 - (-5) ) = ( 1, 6)

BC


   

*

  

= 12 * 1 + 3 * 6 = 30

BA

BC


·  Найдем длины векторов  

  

 и  

  

.

BA

BC


|

  

| 2 = ( x a - x b) 2 + ( y a - y b) 2 = 12 2 + 3 2 = 153

BA


|

  

| = 

  

= 12.37 - длина вектора

  

   (длина стороны BA)

BA

153

BA


|

  

| 2 = ( x c - x b) 2 + ( y c - y b) 2 = 1 2 + 6 2 = 37

BC


|

  

| = 

  

= 6.08 - длина вектора

  

   (длина стороны BC)

BC

37

BC


Подставим найденные  значение в формулу.


cos 

 B  =

          

=

30

= 0.3989

 

BA

*

BC

  
   
         

12.37 * 6.08

|

BA

| * |

BC

|


 B   = arccos 0.3989 = 66.5 o

 
 
рис.2


1.3 Найдем  угол C . (рис.3)


Напишем формулу  скалярного умножения для векторов  

  

 и  

  

.

CA

CB


   

*

  

= |

  

| * |

  

| * cos 

 C  

CA

CB

CA

CB


Для нахождения угла С, нам достаточно найти косинус  данного угла. Из предыдущей формулы  запишем выражение для косинуса угла С.


cos 

 C  =

          
 

CA

*

CB

  
 
         

|

CA

| * |

CB

|


·  Найдем скалярное произведение векторов  

  

 и  

  

.

CA

CB


Координаты точек A, B и C мы знаем. (см. условие задачи)


A (x a, y a) = (8, -2)


B (x b, y b) = (-4, -5)


C (x c, y c) = (-3, 1)


   

= ( x a - x c, y a - y c) = ( 8 - (-3), -2 - 1 ) = ( 11, -3)

CA


   

= ( x b - x c, y b - y c) = ( -4 - (-3), -5 - 1 ) = ( -1, -6)

CB


   

*

  

= 11 * (-1) + (-3) * (-6) = 7

CA

CB


·  Найдем длины векторов  

  

 и  

  

.

CA

CB


|

  

| 2 = ( x a - x c) 2 + ( y a - y c) 2 = 11 2 + (-3) 2 = 130

CA


|

  

| = 

  

= 12.37 - длина вектора

  

   (длина стороны CA)

CA

130

CA


|

  

| 2 = ( x b - x c) 2 + ( y b - y c) 2 = (-1) 2 + (-6) 2 = 37

CB


|

  

| = 

  

= 6.08 - длина вектора

  

   (длина стороны CB)

CB

37

CB


Подставим найденные  значение в формулу.


cos 

 C  =

          

=

7

= 0.1010

 

CA

*

CB

  
   
         

11.40 * 6.08

|

CA

| * |

CB

|


 C   = arccos 0.1010 = 84.2 o

 
 
рис.3


2.1. Найдем  уравнение стороны AB. (рис.4)


Уравнение прямой проходящей через точки A (x a, y a) и B (x b, y b) в общем виде:


x - x a

=

y - y a

     (1)       Что это за уравнение?

   

x b - x a

y b - y a


Подставим координаты точек A (8, -2)  и  B (-4, -5) в уравнение прямой (1).


x - 8

=

y - (-2)

  
   

-4 - 8

-5 - (-2)


x - 8

=

y + 2

  
   

-12

-3


x - 8

=

y + 2

  
   

-4

-1


В знаменателях пропорции  стоят числа -4 и -1.


Вектор

  

AB = (-4, -1) называется направляющим вектором прямой AB.

S


Вектор

  

AB = (-4, -1) параллелен прямой AB.

S


-1 ( x - 8 ) = -4 ( y + 2 )


- x + 8 = - 4 y - 8


- x + 4 y + 16 = 0 - уравнение прямой AB.


Коэффициенты при  переменных х и y в уравнении прямой AB равны -1 и 4.


Вектор

  

AB = (-1, 4) называется нормальным вектором прямой AB.

N


Вектор

  

AB = (-1, 4) перпендикулярен прямой AB.

N

 
 
рис.4

Замечание:   векторы  

  

AB   и  

  

AB   изображены не в масштабе.

S

N



 

2.2. Найдем  уравнение стороны AC. (рис.5)


Уравнение прямой проходящей через точки A (x a, y a) и C (x c, y c) в общем виде:


x - x a

=

y - y a

     (2)       Что это за уравнение?

   

x c - x a

y c - y a


Подставим координаты точек A (8, -2)  и  C (-3, 1) в уравнение прямой (2).


x - 8

=

y - (-2)

  
   

-3 - 8

1 - (-2)


x - 8

=

y + 2

  
   

-11

3


В знаменателях пропорции  стоят числа -11 и 3.


Вектор

  

AC = (-11, 3) называется направляющим вектором прямой AC.

S


Вектор

  

AC = (-11, 3) параллелен прямой AC.

S


3 ( x - 8 ) = -11 ( y + 2 )


3 x - 24 = - 11 y - 22


3 x + 11 y - 2 = 0 - уравнение прямой AC.


Коэффициенты при  переменных х и y в уравнении прямой AC равны 3 и 11.


Вектор

  

AC = (3, 11) называется нормальным вектором прямой AC.

N


Вектор

  

AC = (3, 11) перпендикулярен прямой AC.

N

 
 
рис.5

Замечание:   векторы  

  

AC   и  

  

AC   изображены не в масштабе.

S

N



 

2.3. Найдем  уравнение стороны CВ. (рис.6)


Уравнение прямой проходящей через точки C (x c, y c) и B (x b, y b) в общем виде:


x - x c

=

y - y c

     (3)       Что это за уравнение?

   

x b - x c

y b - y c


Подставим координаты точек C (-3, 1)  и  B (-4, -5) в уравнение прямой (3).


x - (-3)

=

y - 1

  
   

-4 - (-3)

-5 - 1


x + 3

=

y - 1

  
   

-1

-6


В знаменателях пропорции  стоят числа -1 и -6.


Вектор

  

CB = (-1, -6) называется направляющим вектором прямой CB.

S


Вектор

  

CB = (-1, -6) параллелен прямой CB.

S


-6 ( x + 3 ) = -1 ( y - 1 )


- 6 x - 18 = - y + 1


- 6 x + y - 19 = 0 - уравнение прямой CB.


Коэффициенты при  переменных х и y в уравнении прямой CB равны -6 и 1.


Вектор

  

CB = (-6, 1) называется нормальным вектором прямой CB.

N


Вектор

  

CB = (-6, 1) перпендикулярен прямой CB.

N

 
 
рис.6

Замечание:   векторы  

  

CB   и  

  

CB   изображены не в масштабе.

S

N



 

3.1. Найдем  уравнение высоты CH проведенной  из вершины С на сторону  АВ и координаты точки H. (рис.7)


·  Как найти уравнение прямой (высоты) CH ?


Уравнение прямой проходящей через точки С (x c, y c) и H (x h, y h) в общем виде:


x - x c

=

y - y c

(4)

   

x h - x c

y h - y c


Мы не знаем координаты точки H, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой CH.


Mы знаем, что  прямая CH перпендикулярна прямой AB, следовательно, направляющий вектор  прямой CH параллелен нормальному  вектору прямой AB.


   

CH ||

  

AB (см. рис.7)

S

N


T.е. в качестве  направляющего вектора прямой CH можно принять нормальный вектор  прямой AB.


Вектор

  

AB (-1, 4), мы нашли в пункте 1.1.

N


Подставим координаты вектора

  

AB = (-1, 4) в уравнение (4).

N


x - x c

=

y - y c

  
   

-1

4


Подставим координаты точки C (-3, 1).


x - (-3)

=

y - 1

  
   

-1

4


x + 3

=

y - 1

  
   

-1

4


4 ( x + 3 ) = -1 ( y - 1 )


4 x + 12 = - y + 1


4 x + y + 11 = 0 - уравнение высоты CH.


·  Как найти координаты точки H ?


Точка H принадлежит  прямой AB, следовательно, координаты точки H (x h, y h) должны удовлетворять уравнению прямой AB.


Точка H принадлежит  прямой CH, следовательно, координаты точки H (x h, y h) должны удовлетворять уравнению прямой CH.


Составим систему  из данных уравнений и решим ее.


Получим координаты точки H (x h, y h).

- x h + 4 y h + 16 = 0

4 x h + y h + 11 = 0

x h = -28/17

y h = -75/17


Координаты  точки H (-28/17, -75/17).


Подробное решение  данной системы уравнений...

 
 
рис.7

Замечание:   векторы  

  

AB   и  

  

CH   изображены не в масштабе.

N

S



3.2. Найдем  уравнение высоты BK проведенной  из вершины B на сторону АC  и координаты точки K. (рис.8)


·  Как найти уравнение прямой (высоты) BK ?


Уравнение прямой проходящей через точки B (x b, y b) и K (x k, y k) в общем виде:


x - x b

=

y - y b

(5)

   

x k - x b

y k - y b


Мы не знаем координаты точки K, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой BK


Mы знаем, что  прямая BK перпендикулярна прямой AC, следовательно, направляющий вектор  прямой BK параллелен нормальному  вектору прямой AC.


   

BK ||

  

AC (см. рис.8)

S

N


T.е. в качестве  направляющего вектора прямой BK можно принять нормальный вектор  прямой AC.


Вектор

  

AC (3, 11), мы нашли в пункте 1.2.

N


Подставим координаты вектора

  

AC = (3, 11) в уравнение (5).

N


x - x b

=

y - y b

  
   

3

11


Подставим координаты точки B (-4, -5).


x - (-4)

=

y - (-5)

  
   

3

11


x + 4

=

y + 5

  
   

3

11


11 ( x + 4 ) = 3 ( y + 5 )


11 x + 44 = 3 y + 15


11 x - 3 y + 29 = 0 - уравнение высоты BK.


·  Как найти координаты точки K ?


Точка K принадлежит  прямой AC, следовательно, координаты точки K (x k, y k) должны удовлетворять уравнению прямой AC.


Точка K принадлежит  прямой BK, следовательно, координаты точки K (x k, y k) должны удовлетворять уравнению прямой BK.


Составим систему  из данных уравнений и решим ее.


Получим координаты точки K (x k, y k).

3 x k + 11 y k - 2 = 0

11 x k - 3 y k + 29 = 0

x k = -313/130

y k = 109/130


Координаты  точки K (-313/130, 109/130).


Подробное решение  данной системы уравнений...

 
 
рис.8

Замечание:   векторы  

  

AC   и  

  

BK   изображены не в масштабе.

N

S



3.3. Найдем  уравнение высоты AM проведенной  из вершины A на сторону CB и  координаты точки М. (рис.9)


·  Как найти уравнение прямой (высоты) AM ?


Уравнение прямой проходящей через точки A (x a, y a) и M (x m, y m) в общем виде:


x - x a

=

y - y a

(6)

   

x m - x a

y m - y a


Мы не знаем координаты точки M, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой AM


Mы знаем, что  прямая AM перпендикулярна прямой CB, следовательно, направляющий вектор  прямой AM параллелен нормальному  вектору прямой CB.


   

AM ||

  

CB (см. рис.9)

S

N


T.е. в качестве  направляющего вектора прямой AM можно принять нормальный вектор  прямой CB.


Вектор

  

CB (-6, 1), мы нашли в пункте 1.3.

N


Подставим координаты вектора

  

CB = (-6, 1) в уравнение (6).

N


x - x a

=

y - y a

  
   

-6

1


Подставим координаты точки A (8, -2).


x - 8

=

y - (-2)

  
   

-6

1


x - 8

=

y + 2

  
   

-6

1


1 ( x - 8 ) = -6 ( y + 2 )


x - 8 = - 6 y - 12


x + 6 y + 4 = 0 - уравнение высоты AM.


·  Как найти координаты точки M ?


Точка M принадлежит  прямой BC, следовательно, координаты точки M (x m, y m) должны удовлетворять уравнению прямой BC.


Точка M принадлежит  прямой AM, следовательно, координаты точки M (x m, y m) должны удовлетворять уравнению прямой AM.


Составим систему  из данных уравнений и решим ее.


Получим координаты точки М (x m, y m).

- 6 x m + y m - 19 = 0

x m + 6 y m + 4 = 0

x m = -118/37

y m = -5/37


Координаты  точки M (-118/37, -5/37).


Подробное решение  данной системы уравнений...

 
 
рис.9

Замечание:   векторы  

  

CB   и  

  

AM   изображены не в масштабе.

N

S



4.1. Найдем  уравнение медианы CN проведенной  из точки С на сторону АВ  и координаты точки N. (рис.10)


·  Как найти уравнение прямой (медианы) CN ?


Уравнение прямой проходящей через точки C (x c, y c) и N (x n, y n) в общем виде:


x - x c

=

y - y c

(7)

   

x n - x c

y n - y c


Мы не знаем координаты точки N, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой CN.


Поступим следующим  образом.


Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD, таким образом, чтобы сторона AB являлась диагональю.


Очевидный факт, что  диагонали в параллелограмме  делятся пополам, т.е.


AN = NB


Следовательно, точка N лежит на прямой CD.


В качестве направляющего  вектора прямой CN можно принять


вектор

  

, который несложно  найти.

CD


Координаты точек A, B и C мы знаем. (см. условие задачи)


A (x a, y a) = (8, -2)


B (x b, y b) = (-4, -5)


C (x c, y c) = (-3, 1)


   

=

  

+

  

CD

CA

CB


   

= ( x a - x c, y a - y c) = ( 8 - (-3), -2 - 1 ) = ( 11, -3)

CA


   

= ( x b - x c, y b - y c) = ( -4 - (-3), -5 - 1 ) = ( -1, -6)

CB


   

=

  

+

  

= ( 11 + (-1), -3 + (-6)) = ( 10, -9)

CD

CA

CB


Подставим координаты вектора

  

= (10, -9) в уравнение  (7).

CD


x - x c

=

y - y c

  
   

10

-9


Подставим координаты точки C (-3, 1).


x - (-3)

=

y - 1

  
   

10

-9


x + 3

=

y - 1

  
   

10

-9


-9 ( x + 3 ) = 10 ( y - 1 )


- 9 x - 27 = 10 y - 10


- 9 x - 10 y - 17 = 0 - уравнение медианы CN.


·  Как найти координаты точки N (x n, y n) ?


Точка N является серединой AB.


x n = (x a + x b) /2 = (8 + (-4) ) / 2 = 2


y n = (y a + y b) /2 = (-2 + (-5) ) / 2 = -7/2


Координаты  точки N (2, -7/2).

 
 
рис.10

Высшая математика. 3 📙 Контрольная → 🆔 20501

Высшая математика. 3 📙 Контрольная → 🆔 20501

Высшая математика. 3